Penulis: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Abstrak Akumulasi kesalahan fisik , , mencegah eksekusi algoritma skala besar di komputer kuantum saat ini. Koreksi kesalahan kuantum menjanjikan solusi dengan menyandikan qubit logis ke sejumlah besar qubit fisik, sehingga kesalahan fisik ditekan cukup untuk memungkinkan menjalankan komputasi yang diinginkan dengan fidelitas yang dapat ditoleransi. Koreksi kesalahan kuantum menjadi dapat direalisasikan secara praktis setelah tingkat kesalahan fisik berada di bawah nilai ambang batas yang bergantung pada pilihan kode kuantum, sirkuit pengukuran sindrom, dan algoritma dekode . Kami menyajikan protokol koreksi kesalahan kuantum ujung ke ujung yang mengimplementasikan memori tahan kesalahan atas dasar keluarga kode low-density parity-check (LDPC) . Pendekatan kami mencapai ambang batas kesalahan 0,7% untuk model kebisingan berbasis sirkuit standar, setara dengan kode permukaan , , , yang selama 20 tahun menjadi kode terkemuka dalam hal ambang batas kesalahan. Siklus pengukuran sindrom untuk kode dengan panjang dalam keluarga kami memerlukan qubit tambahan dan sirkuit kedalaman-8 dengan gerbang CNOT, inisialisasi qubit, dan pengukuran. Konektivitas qubit yang diperlukan adalah graf berderajat 6 yang terdiri dari dua subgraph planar yang terdisjoin sisi. Khususnya, kami menunjukkan bahwa 12 qubit logis dapat dilestarikan selama hampir 1 juta siklus sindrom menggunakan total 288 qubit fisik, dengan asumsi tingkat kesalahan fisik 0,1%, sedangkan kode permukaan akan memerlukan hampir 3.000 qubit fisik untuk mencapai kinerja tersebut. Temuan kami membawa demonstrasi memori kuantum tahan kesalahan dengan overhead rendah dalam jangkauan prosesor kuantum jangka pendek. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Utama Komputasi kuantum menarik perhatian karena kemampuannya menawarkan solusi yang secara asimtotik lebih cepat untuk serangkaian masalah komputasi dibandingkan dengan algoritma klasik terbaik yang diketahui . Diyakini bahwa komputer kuantum skala besar yang berfungsi dapat membantu memecahkan masalah komputasi di bidang-bidang seperti penemuan ilmiah, penelitian material, kimia, dan desain obat, dan lain-lain , , , . 5 11 12 13 14 Hambatan utama dalam membangun komputer kuantum adalah kerapuhan informasi kuantum, karena berbagai sumber kebisingan yang memengaruhinya. Karena isolasi komputer kuantum dari efek eksternal dan pengendaliannya untuk memicu komputasi yang diinginkan bertentangan satu sama lain, kebisingan tampaknya tidak dapat dihindari. Sumber kebisingan termasuk ketidaksempurnaan dalam qubit, material yang digunakan, peralatan kontrol, kesalahan persiapan keadaan dan pengukuran, serta berbagai faktor eksternal mulai dari faktor buatan manusia lokal, seperti medan elektromagnetik liar, hingga yang melekat pada Alam Semesta, seperti sinar kosmik. Lihat ref. untuk ringkasan. Meskipun beberapa sumber kebisingan dapat dihilangkan dengan kontrol yang lebih baik , material dan perisai , , , beberapa sumber lain tampaknya sulit, jika tidak mustahil, untuk dihilangkan. Jenis terakhir dapat mencakup emisi spontan dan terstimulasi pada ion yang terperangkap , , dan interaksi dengan bak (efek Purcell) pada sirkuit superkonduktor—mencakup kedua teknologi kuantum terkemuka. Dengan demikian, koreksi kesalahan menjadi persyaratan utama untuk membangun komputer kuantum skala besar yang berfungsi. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 Kemungkinan toleransi kesalahan kuantum sudah mapan . Penyandian qubit logis secara redundan ke dalam banyak qubit fisik memungkinkan diagnosis dan koreksi kesalahan dengan mengukur sindrom operator paritas secara berulang. Namun, koreksi kesalahan hanya bermanfaat jika tingkat kesalahan perangkat keras berada di bawah nilai ambang batas tertentu yang bergantung pada protokol koreksi kesalahan tertentu. Proposal pertama untuk koreksi kesalahan kuantum, seperti kode yang dikonkatenasi , , , berfokus pada demonstrasi kemungkinan teoretis penekanan kesalahan. Seiring pemahaman tentang koreksi kesalahan kuantum dan kemampuan teknologi kuantum matang, fokus bergeser ke pencarian protokol koreksi kesalahan kuantum yang praktis. Hal ini menghasilkan pengembangan kode permukaan , , , yang menawarkan ambang batas kesalahan tinggi mendekati 1%, algoritma dekode cepat, dan kompatibilitas dengan prosesor kuantum yang ada yang mengandalkan konektivitas kisi kuantum dua dimensi (2D). Contoh kecil kode permukaan dengan satu qubit logis telah didemonstrasikan secara eksperimental oleh beberapa grup , , , , . Namun, peningkatan skala kode permukaan menjadi 100 atau lebih qubit logis akan sangat mahal karena efisiensi penyandiannya yang buruk. Hal ini memicu minat pada kode kuantum yang lebih umum yang dikenal sebagai kode low-density parity-check (LDPC) . Kemajuan baru-baru ini dalam studi kode LDPC menunjukkan bahwa mereka dapat mencapai toleransi kesalahan kuantum dengan efisiensi penyandian yang jauh lebih tinggi . Di sini, kami berfokus pada studi kode LDPC, karena tujuan kami adalah menemukan kode dan protokol koreksi kesalahan kuantum yang efisien dan dapat didemonstrasikan dalam praktik, mengingat keterbatasan teknologi komputasi kuantum. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 Kode koreksi kesalahan kuantum bersifat tipe LDPC jika setiap operator pemeriksaan kode hanya bekerja pada beberapa qubit dan setiap qubit berpartisipasi dalam beberapa pemeriksaan. Berbagai varian kode LDPC telah diajukan baru-baru ini termasuk kode permukaan hiperbolik , , , produk hypergraph , kode produk seimbang , kode dua blok berdasarkan grup hingga , , , dan kode Tanner kuantum , . Yang terakhir ditunjukkan , menjadi secara asimtotik ‘baik’ dalam arti menawarkan tingkat penyandian konstan dan jarak linier: parameter yang mengukur jumlah kesalahan yang dapat dikoreksi. Sebaliknya, kode permukaan memiliki tingkat penyandian asimtotik nol dan hanya jarak akar kuadrat. Mengganti kode permukaan dengan kode LDPC dengan tingkat tinggi dan jarak tinggi dapat memiliki implikasi praktis yang besar. Pertama, overhead toleransi kesalahan (rasio antara jumlah qubit fisik dan logis) dapat dikurangi secara nyata. Kedua, kode dengan jarak tinggi menunjukkan penurunan yang sangat tajam dalam tingkat kesalahan logis: ketika probabilitas kesalahan fisik melintasi nilai ambang batas, jumlah penekanan kesalahan yang dicapai oleh kode dapat meningkat berlipat ganda bahkan dengan sedikit pengurangan tingkat kesalahan fisik. Fitur ini membuat kode LDPC jarak tinggi menarik untuk demonstrasi jangka pendek yang kemungkinan akan beroperasi di rezim dekat ambang batas. Namun, sebelumnya diyakini bahwa mengungguli kode permukaan untuk model kebisingan realistis termasuk kesalahan memori, gerbang, dan persiapan keadaan serta pengukuran mungkin memerlukan kode LDPC yang sangat besar dengan lebih dari 10.000 qubit fisik . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Di sini kami menyajikan beberapa contoh konkret kode LDPC tingkat tinggi dengan beberapa ratus qubit fisik yang dilengkapi dengan sirkuit pengukuran sindrom berkedalaman rendah, algoritma dekode yang efisien, dan protokol tahan kesalahan untuk menangani qubit logis individu. Kode-kode ini menunjukkan ambang batas kesalahan mendekati 0,7%, menunjukkan kinerja yang sangat baik di rezim dekat ambang batas, dan menawarkan pengurangan 10 kali lipat dalam overhead penyandian dibandingkan dengan kode permukaan. Persyaratan perangkat keras untuk mewujudkan protokol koreksi kesalahan kami relatif ringan, karena setiap qubit fisik terhubung oleh gerbang dua qubit dengan hanya enam qubit lainnya. Meskipun graf konektivitas qubit tidak dapat ditanamkan secara lokal ke dalam kisi 2D, ia dapat didekomposisi menjadi dua subgraph planar. Seperti yang kami bahas di bawah, konektivitas qubit seperti itu cocok untuk arsitektur berbasis qubit superkonduktor. Kode kami adalah generalisasi dari kode sepeda yang diajukan oleh MacKay dkk. dan dipelajari lebih dalam di ref. , , . Kami menamai kode kami sepeda bivariat (BB) karena didasarkan pada polinomial bivariat, seperti yang dirinci dalam . Ini adalah kode stabilisator tipe Calderbank–Shor–Steane (CSS) , yang dapat dijelaskan oleh kumpulan operator pemeriksaan enam-qubit (stabilisator) yang terdiri dari Pauli dan . Secara umum, kode BB mirip dengan kode torik dua dimensi . Khususnya, qubit fisik kode BB dapat ditempatkan pada kisi dua dimensi dengan kondisi batas periodik sedemikian rupa sehingga semua operator pemeriksaan diperoleh dari satu pasang pemeriksaan dan dengan menerapkan pergeseran horizontal dan vertikal pada kisi. Namun, berbeda dengan stabilisator plakat dan simpul yang menggambarkan kode torik, operator pemeriksaan kode BB tidak bersifat lokal secara geometris. Selain itu, setiap pemeriksaan bekerja pada enam qubit daripada empat qubit. Kami akan menjelaskan kode tersebut dengan graf Tanner sedemikian rupa sehingga setiap simpul mewakili qubit data atau operator pemeriksaan. Simpul pemeriksaan dan simpul data dihubungkan oleh tepi jika operator pemeriksaan ke- bekerja secara non-trivial pada qubit data ke- (dengan menerapkan Pauli atau ). Lihat Gambar untuk contoh graf Tanner kode permukaan dan BB. Graf Tanner dari setiap kode BB memiliki derajat simpul enam dan ketebalan graf sama dengan dua, yang berarti ia dapat didekomposisi menjadi dua subgraph planar yang terdisjoin sisi ( ). Konektivitas qubit ketebalan-2 cocok untuk qubit superkonduktor yang dihubungkan oleh resonator gelombang mikro. Misalnya, dua lapisan planar kopler dan jalur kontrolnya dapat dipasang di sisi atas dan bawah chip yang menampung qubit, dan kedua sisi tersebut dapat disatukan. 41 35 36 42 Metode 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 Metode , Graf Tanner dari kode permukaan, sebagai perbandingan. , Graf Tanner dari kode BB dengan parameter [] yang tertanam dalam torus. Setiap tepi graf Tanner menghubungkan simpul data dan pemeriksaan. Qubit data yang terkait dengan register ( ) dan ( ) ditampilkan oleh lingkaran biru dan oranye. Setiap simpul memiliki enam tepi yang berdekatan termasuk empat tepi jarak pendek (menunjuk ke utara, selatan, timur, dan barat) dan dua tepi jarak jauh. Kami hanya menampilkan beberapa tepi jarak jauh untuk menghindari kekacauan. Tepi putus-putus dan solid menunjukkan dua subgraph planar yang membentang di graf Tanner, lihat . , Sketsa ekstensi graf Tanner untuk mengukur dan mengikuti ref. , yang terhubung ke kode permukaan. Ancilla yang sesuai dengan pengukuran dapat dihubungkan ke kode permukaan, memungkinkan operasi muat-simpan untuk semua qubit logis melalui teleportasi kuantum dan beberapa unitaris logis. Graf Tanner yang diperluas ini juga memiliki implementasi dalam arsitektur ketebalan-2 melalui tepi dan ( ). a b q L q R Metode c 50 A B Metode Kode BB dengan parameter [[ , , ]] menyandikan qubit logis ke dalam qubit data yang menawarkan jarak kode , yang berarti setiap kesalahan logis mencakup setidaknya qubit data. Kami membagi qubit data menjadi register ( ) dan ( ) ukuran /2 masing-masing. Setiap pemeriksaan bekerja pada tiga qubit dari ( ) dan tiga qubit dari ( ). Kode ini bergantung pada qubit tambahan untuk mengukur sindrom kesalahan. Kami membagi qubit tambahan menjadi register ( ) dan ( ) ukuran /2 yang mengumpulkan sindrom tipe dan , masing-masing. Secara total, penyandian bergantung pada 2 qubit fisik. Oleh karena itu, tingkat penyandian bersih adalah = /(2 ). Misalnya, arsitektur kode permukaan standar menyandikan = 1 qubit logis ke dalam = qubit data untuk kode jarak- dan menggunakan − 1 qubit tambahan untuk pengukuran sindrom. Tingkat penyandian bersih adalah ≈ 1/(2 ), yang dengan cepat menjadi tidak praktis karena seseorang terpaksa memilih jarak kode yang besar, karena, misalnya, kesalahan fisik mendekati nilai ambang batas. Sebaliknya, kode BB memiliki tingkat penyandian ≫ 1/ , lihat Tabel untuk contoh kode. Sejauh pengetahuan kami, semua kode yang ditunjukkan dalam Tabel adalah baru. Kode jarak-12 [] mungkin yang paling menjanjikan untuk demonstrasi jangka pendek, karena menggabungkan jarak besar dan tingkat penyandian bersih tinggi = 1/24. Sebagai perbandingan, kode permukaan jarak-11 memiliki tingkat penyandian bersih = 1/241. Di bawah ini, kami menunjukkan bahwa kode BB jarak-12 mengungguli kode permukaan jarak-11 untuk rentang laju kesalahan yang relevan secara eksperimental. n k d k n d d n q L q R n q L q R n n q X q Z n X Z n r k n k n d 2 d n r d 2 r d 2 1 1 r r Untuk mencegah akumulasi kesalahan, seseorang harus dapat mengukur sindrom kesalahan cukup sering. Hal ini dicapai dengan sirkuit pengukuran sindrom yang menghubungkan qubit data dalam dukungan setiap operator pemeriksaan dengan qubit tambahan yang sesuai melalui urutan gerbang CNOT. Qubit pemeriksaan kemudian diukur mengungkapkan nilai sindrom kesalahan. Waktu yang dibutuhkan untuk mengimplementasikan sirkuit pengukuran sindrom berbanding lurus dengan kedalamannya: jumlah lapisan gerbang yang terdiri dari CNOT yang tidak tumpang tindih. Karena kesalahan baru terus terjadi saat sirkuit pengukuran sindrom dieksekusi, kedalamannya harus diminimalkan. Siklus lengkap pengukuran sindrom untuk kode BB diilustrasikan pada Gambar . Siklus sindrom hanya memerlukan tujuh lapisan CNOT terlepas dari panjang kode. Qubit pemeriksaan diinisialisasi dan diukur di awal dan di akhir siklus sindrom masing-masing (lihat untuk detail). Sirkuit menghormati simetri pergeseran siklik dari kode yang mendasarinya. 2 Metode Siklus lengkap pengukuran sindrom yang mengandalkan tujuh lapisan CNOT. Kami menyediakan tampilan lokal dari sirkuit yang hanya mencakup satu qubit data dari setiap register ( ) dan ( ). Sirkuit simetris di bawah pergeseran horizontal dan vertikal dari graf Tanner. Setiap qubit data dihubungkan oleh CNOT dengan tiga *X-*cek dan tiga *Z-*cek qubit: lihat untuk detail lebih lanjut. q L q R Metode Protokol koreksi kesalahan lengkap melakukan c ≫ 1 siklus pengukuran sindrom dan kemudian memanggil dekoder: algoritma klasik yang mengambil sindrom yang diukur sebagai input dan menghasilkan tebakan kesalahan akhir pada qubit data. Koreksi kesalahan berhasil jika tebakan dan kesalahan sebenarnya bertepatan modulo produk operator pemeriksaan. Dalam kasus ini, kedua kesalahan memiliki tindakan yang sama pada setiap keadaan logis yang disandikan. Dengan demikian, menerapkan kebalikan dari kesalahan yang ditebak mengembalikan qubit data ke keadaan logis awal. Sebaliknya, jika tebakan dan kesalahan sebenarnya berbeda oleh operator logis yang tidak sepele, koreksi kesalahan gagal yang mengakibatkan kesalahan logis. Eksperimen numerik kami didasarkan pada propagasi keyakinan dengan dekoder statistik terurut (BP-OSD) yang diajukan oleh Panteleev dan Kalachev . Karya asli menggambarkan BP-OSD dalam konteks model kebisingan mainan dengan hanya kesalahan memori. Di sini kami menunjukkan cara memperluas BP-OSD ke model kebisingan berbasis sirkuit, lihat untuk detailnya. Pendekatan kami mengikuti erat ref. , , , . N 36 36 Informasi Tambahan 45 46 47 48 Versi bising dari sirkuit pengukuran sindrom dapat mencakup beberapa jenis operasi yang salah seperti kesalahan memori pada qubit data atau pemeriksaan yang menganggur, gerbang CNOT yang salah, inisialisasi dan pengukuran qubit. Kami mempertimbangkan model kebisingan berbasis sirkuit di mana setiap operasi gagal secara independen dengan probabilitas . Probabilitas kesalahan logis L bergantung pada tingkat kesalahan , detail sirkuit pengukuran sindrom, dan algoritma dekode. Biarkan L( c) menjadi probabilitas kesalahan logis setelah melakukan c siklus sindrom. Definisikan tingkat kesalahan logis sebagai . Secara informal, L dapat dilihat sebagai probabilitas kesalahan logis per siklus sindrom. Mengikuti praktik umum, kami memilih c = untuk kode jarak- . Gambar menunjukkan tingkat kesalahan logis yang dicapai oleh kode dari Tabel . Tingkat kesalahan logis dihitung secara numerik untuk ≥ 10 dan diekstrapolasi ke tingkat kesalahan yang lebih rendah menggunakan formula fitting ( ). Pseudo-ambang batas 0 didefinisikan sebagai solusi dari persamaan break-even L( ) = . Di sini adalah perkiraan probabilitas bahwa setidaknya satu dari qubit yang tidak disandikan mengalami kesalahan. Kode BB menawarkan pseudo-ambang batas mendekati 0,7%, lihat Tabel , yang hampir sama dengan ambang batas kesalahan kode permukaan dan melebihi ambang batas semua kode LDPC tingkat tinggi yang diketahui oleh penulis. 10 p p p P N N p N d d 3 1 p −3 Metode p p p kp kp k 1 49
