Forfattere: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Resumé Akkumuleringen af fysiske fejl , , forhindrer udførelsen af storskala algoritmer i nuværende kvantecomputere. Kvantefejlkorrektion lover en løsning ved at indkode logiske qubits i et større antal fysiske qubits, således at de fysiske fejl undertrykkes tilstrækkeligt til at tillade kørsel af en ønsket beregning med acceptabel nøjagtighed. Kvantefejlkorrektion bliver praktisk realiserbar, når den fysiske fejlrate er under en tærskelværdi, der afhænger af valget af kvantekode, syndrommålingskredsløb og afkodningsalgoritme . Vi præsenterer en ende-til-ende kvantefejlkorrektionsprotokol, der implementerer fejltolerant hukommelse baseret på en familie af lav-densitets paritetskontrolkoder (LDPC-koder) . Vores tilgang opnår en fejl-tærskel på 0,7% for standard kredsløbsbaserede støjmodeller, på niveau med overfladekoden , , , , som i 20 år var den ledende kode med hensyn til fejl-tærskel. Syndrommålingscyklussen for en kode af længde i vores familie kræver hjælpe-qubits og et dybde-8 kredsløb med CNOT-porte, qubit-initialiseringer og målinger. Den krævede qubit-konnektivitet er en grad-6 graf bestående af to kant-disjunkte planære delgrafer. Vi viser specifikt, at 12 logiske qubits kan bevares i næsten 1 million syndromcyklusser ved hjælp af i alt 288 fysiske qubits, antaget en fysisk fejlrate på 0,1%, hvorimod overfladekoden ville kræve næsten 3.000 fysiske qubits for at opnå nævnte ydeevne. Vores fund bringer demonstrationer af fejltolerant kvantehukommelse med lav overhead inden for rækkevidde af nærtids kvantecomputere. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Hoveddel Kvanteberegning har tiltrukket opmærksomhed på grund af dens evne til at tilbyde asymptotisk hurtigere løsninger på et sæt beregningsproblemer sammenlignet med de bedst kendte klassiske algoritmer . Det menes, at en fungerende skalerbar kvantecomputer kan hjælpe med at løse beregningsproblemer inden for områder som videnskabelig opdagelse, materialeforskning, kemi og lægemiddeldesign, for blot at nævne nogle få , , , . 5 11 12 13 14 Den primære hindring for at bygge en kvantecomputer er skrøbeligheden af kvanteinformation, der skyldes forskellige støjkilder, der påvirker den. Da isolering af en kvantecomputer fra eksterne effekter og styring af den til at inducere en ønsket beregning er i konflikt med hinanden, synes støj at være uundgåelig. Støjkilderne omfatter ufuldkommenheder i qubits, anvendte materialer, kontrolapparat, tilstandsforberedelses- og målingsfejl samt en række eksterne faktorer, der spænder fra lokal menneskeskabt, såsom spredte elektromagnetiske felter, til dem, der er iboende for universet, såsom kosmisk stråling. Se ref. for en oversigt. Mens nogle støjkilder kan elimineres med bedre kontrol , materialer og afskærmning , , , synes flere andre kilder at være svære, hvis ikke umulige, at fjerne. Den sidste type kan omfatte spontan og stimuleret emission i indfangne ioner , og interaktionen med badet (Purcell-effekten) i superledende kredsløb – der dækker begge førende kvanteteknologier. Derfor bliver fejlkodning et nøglekrav for at bygge en fungerende skalerbar kvantecomputer. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 Muligheden for kvantefejltolerance er veletableret . Indkodning af en logisk qubit redundant i mange fysiske qubits gør det muligt at diagnosticere og korrigere fejl ved gentagne målinger af syndromer af paritetstjekoperatører. Fejlkodning er dog kun gavnlig, hvis hardwarens fejlrate er under en bestemt tærskelværdi, der afhænger af en bestemt fejlkodningsprotokol. De første forslag til kvantefejlkorrektion, såsom konkatenerede koder , , , fokuserede på at demonstrere den teoretiske mulighed for fejlundertrykkelse. Efterhånden som forståelsen af kvantefejlkorrektion og kvanteteknologiers kapaciteter modnedes, skiftede fokus til at finde praktiske kvantefejlkorrektionsprotokoller. Dette resulterede i udviklingen af overfladekoden , , , , som tilbyder en høj fejl-tærskel tæt på 1%, hurtige afkodningsalgoritmer og kompatibilitet med eksisterende kvantecomputere, der er afhængige af todimensionale (2D) gitterstruktur-konnektivitet. Små eksempler på overfladekoden med en enkelt logisk qubit er allerede blevet demonstreret eksperimentelt af flere grupper , , , , . Imidlertid vil opskalering af overfladekoden til 100 eller flere logiske qubits være uoverkommeligt dyrt på grund af dens dårlige indkodningseffektivitet. Dette har øget interessen for mere generelle kvantekoder kendt som LDPC-koder (low-density parity-check) . Nylige fremskridt i studiet af LDPC-koder tyder på, at de kan opnå kvantefejltolerance med en meget højere indkodningseffektivitet . Her fokuserer vi på studiet af LDPC-koder, da vores mål er at finde kvantefejlkorrektionskoder og protokoller, der både er effektive og mulige at demonstrere i praksis, givet begrænsningerne i kvanteberegningsteknologier. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 En kvantefejlkorrigerende kode er af LDPC-typen, hvis hver kontroloperator i koden kun virker på få qubits, og hver qubit deltager i kun få kontroller. Flere varianter af LDPC-koder er blevet foreslået for nylig, herunder hyperbolske overfladekoder , , , hypergrafprodukt , balancerede produktkoder , to-blokkoder baseret på endelige grupper , , , og kvante-Tanner-koder , . Sidstnævnte er vist , at være asymptotisk "gode" i den forstand, at de tilbyder en konstant indkodningsrate og lineær afstand: en parameter, der kvantificerer antallet af korrigerbare fejl. I modsætning hertil har overfladekoden en asymptotisk nul indkodningsrate og kun kvadratrod-afstand. Udskiftning af overfladekoden med en LDPC-kode med høj rate og høj afstand kan have store praktiske implikationer. For det første kunne fejlkorrigeringsoverheadet (forholdet mellem antallet af fysiske og logiske qubits) reduceres bemærkelsesværdigt. For det andet viser koder med høj afstand et meget skarpt fald i den logiske fejlrate: når den fysiske fejl sandsynlighed krydser tærskelværdien, kan graden af fejlundertrykkelse opnået ved koden øges med størrelsesordener, selv med en lille reduktion af den fysiske fejlrate. Denne egenskab gør LDPC-koder med høj afstand attraktive til nærtids demonstrationer, der sandsynligvis vil operere i nær-tærskelregimet. Det blev imidlertid tidligere antaget, at overgåelse af overfladekoden for realistiske støjmodeller, herunder hukommelses-, gate- og tilstandsforberedelses- og målingsfejl, kan kræve meget store LDPC-koder med mere end 10.000 fysiske qubits . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Her præsenterer vi flere konkrete eksempler på LDPC-koder med høj rate og få hundrede fysiske qubits udstyret med et lavdybt syndrommålingskredsløb, en effektiv afkodningsalgoritme og en fejltolerant protokol til at adressere individuelle logiske qubits. Disse koder viser en fejl-tærskel tæt på 0,7%, viser fremragende ydeevne i nær-tærskelregimet og tilbyder en 10-dobbelt reduktion af indkodningsoverheadet sammenlignet med overfladekoden. Hardwarekrav til realisering af vores fejlkodningsprotokoller er relativt milde, da hver fysisk qubit er koblet af to-qubit gates med kun seks andre qubits. Selvom qubit-konnektivitetsgrafen ikke er lokalt indlejret i et 2D-gitter, kan den dekomponeres i to kant-disjunkte planære delgrafer. Som vi argumenterer nedenfor, er en sådan qubit-konnektivitet velegnet til arkitekturer baseret på superledende qubits. Vores koder er en generalisering af cykelkoder foreslået af MacKay et al. og studeret i dybere grad i ref. , , . Vi har kaldt vores koder bivariate cykel (BB), fordi de er baseret på bivariate polynomier, som detaljeret beskrevet i . Disse er stabilisatorkoder af Calderbank–Shor–Steane (CSS)-typen , , som kan beskrives ved en samling af seks-qubit kontrol (stabilisator) operatorer bestående af Pauli og . På et overordnet niveau ligner en BB-kode den todimensionale torus-kode . Specifikt kan fysiske qubits af en BB-kode placeres på et todimensionelt gitter med periodiske grænsebetingelser, således at alle kontroloperatorer opnås fra et enkelt par af og -kontroller ved at anvende horisontale og vertikale forskydninger af gitteret. I modsætning til de plaquet- og vertex-stabilisatorer, der beskriver torus-koden, er kontroloperatorer af BB-koder ikke geometrisk lokale. Desuden virker hver kontrol på seks qubits i stedet for fire qubits. Vi vil beskrive koden ved hjælp af en Tanner-graf , således at hver vertex i repræsenterer enten en datak qubit eller en kontroloperator. En kontrol-vertex og en datak qubit-vertex er forbundet med en kant, hvis den -te kontroloperator virker ikke-trivielt på den -te datak qubit (ved at anvende Pauli eller ). Se fig. for eksempler på Tanner-grafer af overflade- og BB-koder. Tanner-grafen for enhver BB-kode har vertex-grad seks og graf-tykkelse lig med to, hvilket betyder, at den kan dekomponeres i to kant-disjunkte planære delgrafer ( ). Tykkelse-2 qubit-konnektivitet er velegnet til superledende qubits, der er koblet af mikrobølge-resonatorer. For eksempel kan to planære lag af koblere og deres kontrol-linjer fastgøres til top- og bundsiden af chippen, der huser qubits, og de to sider kan kobles sammen. 41 35 36 42 Metoder 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 Metoder , Tanner-graf af en overfladekode til sammenligning. , Tanner-graf af en BB-kode med parametrene [[144, 12, 12]] indlejret i en torus. Enhver kant af Tanner-grafen forbinder en data- og en kontrolvertex. Data qubits associeret med registre ( ) og ( ) vises med blå og orange cirkler. Hver vertex har seks pålagte kanter, herunder fire kortrækkende kanter (pegende nord, syd, øst og vest) og to langtrækkende kanter. Vi viser kun få langtrækkende kanter for at undgå rod. Stiplede og ubrudte kanter indikerer to planære delgrafer, der spænder over Tanner-grafen; se . , Skitse af en Tanner-graf udvidelse til måling af og ifølge ref. , der kobles til en overfladekode. Ancillaen, der svarer til målingen, kan kobles til en overfladekode, hvilket muliggør load-store operationer for alle logiske qubits ved hjælp af kvanteteleportation og visse logiske unitarer. Denne udvidede Tanner-graf har også en implementering i en tykkelse-2 arkitektur gennem - og -kanterne ( ). a b q L q R Metoder c 50 A B Metoder En BB-kode med parametrene [[ , , ]] indkoder logiske qubits i datak qubits, der tilbyder en kodningsafstand , hvilket betyder, at enhver logisk fejl spænder over mindst datak qubits. Vi opdeler datak qubits i registre ( ) og ( ) af størrelsen /2 hver. Enhver kontrol virker på tre qubits fra ( ) og tre qubits fra ( ). Koden er afhængig af hjælpe-kontrol qubits til at måle fejlsyndromet. Vi opdeler kontrol qubits i registre ( ) og ( ) af størrelsen /2, der indsamler syndromer af - og -typer, henholdsvis. Samlet set er indkodningen baseret på 2 fysiske qubits. Den nette indkodningsrate er derfor = /(2 ). For eksempel indkoder den standard overfladekodearkitektur = 1 logisk qubit i = datak qubits for en afstand kode og bruger − 1 kontrol qubits til syndrommålinger. Den nette indkodningsrate er ≈ 1/(2 ), hvilket hurtigt bliver upraktisk, da man tvinges til at vælge en stor kodningsafstand, f.eks. fordi de fysiske fejl er tæt på tærskelværdien. I modsætning hertil har BB-koder en indkodningsrate ≫ 1/ , se tabel for kodeeksempler. Så vidt vi ved, er alle koder vist i tabel nye. Afstand-12 koden [[144, 12, 12]] kan være den mest lovende til nærtids demonstrationer, da den kombinerer stor afstand og høj net indkodningsrate = 1/24. Til sammenligning har afstand-11 overfladekoden en net indkodningsrate = 1/241. Nedenfor viser vi, at afstand-12 BB-koden overgår afstand-11 overfladekoden for det eksperimentelt relevante område af fejlrater. n k d k n d d n q L q R n q L q R n n q X q Z n X Z n r k n k n d 2 d n r d 2 r d 2 1 1 r r For at forhindre akkumulering af fejl skal man kunne måle fejlsyndromet hyppigt nok. Dette opnås ved et syndrommålingskredsløb, der kobler datak qubits i understøttelsen af hver kontroloperator med den respektive hjælpe-qubit via en sekvens af CNOT-porte. Hjælpe-qubits måles derefter, hvilket afslører værdien af fejlsyndromet. Den tid, det tager at implementere syndrommålingskredsløbet, er proportional med dets dybde: antallet af gate-lag bestående af ikke-overlappende CNOTs. Da nye fejl fortsat opstår, mens syndrommålingskredsløbet udføres, bør dets dybde minimeres. Hele syndrommålingscyklussen for en BB-kode er illustreret i fig. . Syndromcyklussen kræver kun syv lag af CNOTs uafhængigt af kodens længde. Hjælpe-qubits initialiseres og måles henholdsvis i begyndelsen og slutningen af syndromcyklussen (se for detaljer). Kredsløbet respekterer den cykliske forskydningssymmetri af den underliggende kode. 2 Metoder Fuld cyklus af syndrommålinger, der afhænger af syv lag af CNOTs. Vi giver et lokalt billede af kredsløbet, der kun inkluderer én datak qubit fra hvert register ( ) og ( ). Kredsløbet er symmetrisk under horisontal og vertikal forskydning af Tanner-grafen. Hver datak qubit er koblet via CNOTs med tre *X-*kontrol qubits og tre *Z-*kontrol qubits: se for flere detaljer. q L q R Metoder Den fulde fejlkodningsprotokol udfører ≫ 1 syndrommålingscyklusser og kalder derefter en afkoder: en klassisk algoritme, der tager de målte syndromer som input og giver et gæt på den endelige fejl på datak qubits. Fejlkodning lykkes, hvis det gættede og det faktiske fejl sammenfalder modulo et produkt af kontroloperatorer. I dette tilfælde har de to fejl samme virkning på enhver indkodet (logisk) tilstand. Anvendelse af inversen af den gættede fejl returnerer derfor datak qubits til den oprindelige logiske tilstand. Ellers, hvis den gættede og den faktiske fejl adskiller sig med en ikke-triviel logisk operator, mislykkes fejlkodning og resulterer i en logisk fejl. Vores numeriske eksperimenter er baseret på trofast udbredelse med en ordnet statistisk afkoder (BP-OSD) foreslået af Panteleev og Kalachev . Det originale arbejde beskrev BP-OSD i forbindelse med en legetøjsstøjmodel med kun hukommelsesfejl. Her viser vi, hvordan man udvider BP-OSD til den kredsløbsbaserede støjmodel; se N c 36 36
