Szerzők: Youngseok Kim Andrew Eddins Sajant Anand Ken Xuan Wei Ewout van den Berg Sami Rosenblatt Hasan Nayfeh Yantao Wu Michael Zaletel Kristan Temme Abhinav Kandala Összefoglalás A kvantumszámítás bizonyos problémák esetén jelentős gyorsulást ígér a klasszikus számítástechnikai eljárásokhoz képest. E potenciál teljes kiaknázásának legnagyobb akadálya azonban a rendszerekben rejlő zaj. E kihívásra a széles körben elfogadott megoldás a hibatűrő kvantumszámítások megvalósítása, amely azonban a jelenlegi processzorok számára még elérhetetlen. Itt egy zajos, 127 qubitet tartalmazó processzoron végzett kísérleteket mutatunk be, és demonstráljuk a körfolyamat-mértékű áramkörök várható értékeinek mérését, amely méretben meghaladja a durva klasszikus számításokat. Állítjuk, hogy ez bizonyíték a kvantumszámítás hasznosságára a hibatűrő korszak előtti időszakban. Ezeket a kísérleti eredményeket a koherencia és a kalibráció terén elért fejlődés teszi lehetővé egy ilyen méretű szupravezető processzoron, valamint a zaj karakterizálása és szabályozott manipulálása ezen a nagyméretű eszközön. A mért várható értékek pontosságát azzal állapítottuk meg, hogy összehasonlítottuk őket pontosan ellenőrizhető körfolyamatok kimenetével. Erős összefonódás (entanglement) esetén a kvantumszámítógép helyes eredményeket ad, amelyekre a vezető klasszikus közelítési módszerek, mint például az 1D (mátrix-szorzat állapotok, MPS) és a 2D (izometrikus tenzorhálózati állapotok, isoTNS) tenzorhálózati módszerek nem képesek. Ezek a kísérletek az alapvető eszközöket mutatják be a közeli távú kvantumszámítási alkalmazások megvalósításához. Fő rész Szinte egyetemes az elfogadás, hogy az olyan fejlett kvantumszámítási algoritmusok, mint a faktorizálás vagy a fázisbecslés, kvantumhibajavítást igényelnek. Azonban akut vita tárgya, hogy a jelenleg elérhető processzorok elegendően megbízhatóvá tehetők-e más, rövidebb mélységű kvantumkörfolyamatok futtatásához olyan méretben, amely előnyt nyújthat gyakorlati problémák megoldásában. Jelenleg az az általános elvárás, hogy az egyszerű kvantumkörfolyamatok megvalósítása, amelyek potenciálisan meghaladják a klasszikus képességeket, csak a fejlettebb, hibatűrő processzorok megjelenéséig várathatnak. A kvantumhardverek elmúlt években tapasztalt hatalmas fejlődése ellenére az egyszerű hűségkorlátok alátámasztják ezt a sötét jóslatot; becslések szerint egy 100 qubit széles és 100 kapu réteg mély kvantumkörfolyamat, 0,1%-os kapuhibával futtatva, kevesebb mint 5 × 10⁻⁴-es állapot hűséget eredményez. Mindazonáltal továbbra is kérdéses, hogy az ideális állapot tulajdonságai még ilyen alacsony hűség mellett is elérhetők-e. A hibamítigációs megközelítés a közeli távú kvantumszámítási előnyhöz zajos eszközökön pontosan erre a kérdésre válaszol, ti. hogy zajos kvantumkörfolyamatok több futtatásából klasszikus utófeldolgozás segítségével pontos várható értékek állíthatók elő. A kvantumszámítási előny két lépésben közelíthető meg: először is, a meglévő eszközök pontos számítások elvégzésének képességének demonstrálásával olyan méretben, amely meghaladja a durva klasszikus szimulációt, másodszor pedig olyan problémák megtalálásával, amelyekhez tartozó kvantumkörfolyamatok előnyt merítenek ezekből az eszközökből. Itt az első lépés megtételére összpontosítunk, és nem célozzuk meg kvantumkörfolyamatok implementálását olyan problémákra, amelyekre bizonyított gyorsulást ígérnek. Egy szupravezető kvantumszámítási processzort használunk 127 qubittel, amely legfeljebb 60 réteg kételemű kapuval rendelkező kvantumkörfolyamatokat futtat, összesen 2880 CNOT kaput. Az ilyen méretű általános kvantumkörfolyamatok túlmutatnak a durva klasszikus módszerekkel megvalósíthatókon. Ezért először specifikus tesztesetekre összpontosítunk a körfolyamatok közül, amelyek lehetővé teszik a mért várható értékek pontos klasszikus ellenőrzését. Ezután áttérünk a körfolyamati rezsimre és azokra az obszerválókra, ahol a klasszikus szimuláció kihívást jelent, és összehasonlítjuk az eredményeket a legmodernebb közelítő klasszikus módszerek eredményeivel. A mi referenciakörfolyamatunk a 2D transzverzális mező Ising-modell Trotter-féle időfejlődése, amely a qubitprocesszor topológiáját osztja meg (1. ábra, a). Az Ising-modell széles körben elterjedt a fizika különböző területein, és kreatív kiterjesztéseket talált a kvantum-soktest jelenségek, mint például az időbeli kristályok, a kvantum-heg és a Majorana perem módusok feltárására irányuló szimulációkban. A kvantumszámítás hasznosságának tesztjeként azonban a 2D transzverzális mező Ising-modell időfejlődése a nagy összefonódásnövekedés határán a legrelevánsabb, ahol a skálázható klasszikus közelítések nehézségekbe ütköznek. , Az Ising-szimuláció minden Trotter-lépése egyszemélyes X és kétszemélyes ZZ rotációkat tartalmaz. Véletlenszerű Pauli-kapuk vannak beiktatva a zaj twirlingjére (spirálok) és szabályozott skálázására minden CNOT-réteg esetén. A daggerszimbolum az ideális réteggel való konjugációt jelöli. , Három mélység-1 CNOT-kapu réteg elegendő az összes szomszédos pár közötti kölcsönhatás megvalósításához az ibm_kyiv-en. , Karakterizációs kísérletek hatékonyan tanulják meg a helyi Pauli-hibarátákat λl,i (színskála), amelyek az l-edik twirlezett CNOT-réteghez tartozó Λl Pauli-csatornát alkotják. (Az ábra a kiegészítő információkban [IV.A] kerül bővítésre). , A proporcionális arányban beiktatott Pauli-hibák felhasználhatók a belső zaj kioltására (PEC) vagy felerősítésére (ZNE). a b c d Konkrétan a Hamilton-féle idődinamikát vizsgáljuk, ahol J > 0 a szomszédos spin-ek csatolási állandója az i < j relációval, és h a globális transzverzális mező. A kezdeti állapotból induló spindiknámiát az időfejlődési operátor elsőrendű Trotter-dekompozíciójával lehet szimulálni, ahol az idő T n Trotter-lépésre van felosztva, és Uxz és Ux az ZZ és X rotációs kapuk, illetve. Nem foglalkozunk a Trotterizáció miatti modellhibával, így a Trotterizált körfolyamatot ideálisnak tekintjük minden klasszikus összehasonlításhoz. A kísérleti egyszerűség kedvéért a θJ = −2Jδt = −π/2 esetet vizsgáljuk, ahol az ZZ rotáció csak egy CNOT-ot igényel, ahol az egyenlőség globális fázistól eltekintve fennáll. Az így keletkező körfolyamatban (1. ábra, a) minden Trotter-lépés egy egyszemélyes rotációs réteg, RX(θh), majd párhuzamosított kétszemélyes rotációk, RZZ(θJ) kommunáló rétegeiből áll. A kísérleti megvalósításhoz elsősorban az IBM Eagle processzort (ibm_kyiv) használtuk, amely 127 fix-frekvenciás transzmon qubitből áll, nehéz-hatos csatlakozással és 288 µs, illetve 127 µs medián T1 és T2 idővel. Ezek a koherenciaidők példátlanok ilyen méretű szupravezető processzorok esetében, és lehetővé teszik a munkánkban elérhető körfolyamati mélységeket. A szomszédok közötti kétszemélyes CNOT kapuk a kereszt-rezonancia kölcsönhatás kalibrálásával valósulnak meg. Mivel minden qubit legfeljebb három szomszéddal rendelkezik, az összes ZZ kölcsönhatás három párhuzamosított CNOT kapu rétegében [1. ábra, b] elvégezhető. Az egyes rétegekben lévő CNOT kapukat az optimális szimultán működéshez kalibrálták (további részletek a Módszerek részben). Most látjuk, hogy ezek a hardveres teljesítményjavulások még nagyobb problémák sikeres végrehajtását teszik lehetővé hiba-mitigációval, összehasonlítva a platformon végzett korábbi munkákkal. A valószínűségi hibatörlés (PEC) hatékonynak bizonyult a megfigyelhetők torzítatlan becslésének biztosításában. A PEC-ben egy reprezentatív zajmodell kerül megtanulásra, és hatékonyan inverzre van fordítva a megtanult modellhez kapcsolódó zajos körfolyamatok eloszlásából mintát véve. Azonban a mi eszközünk jelenlegi hibarái-aránya mellett a körfolyamat-mértékű mintavételi többletköltség továbbra is korlátozó, ahogy az alább részletesebben tárgyaljuk. Ezért a nulla-zaj-extrapoláció (ZNE) felé fordulunk, amely egy torzított becslőt kínál, potenciálisan sokkal alacsonyabb mintavételi költséggel. A ZNE egy polinomiális vagy exponenciális extrapolációs módszer a zajos várható értékekre a zajparaméter függvényében. Ez megköveteli a belső hardveres zaj szabályozott erősítését egy ismert nyereségi tényezővel (G) a tökéletes G = 0 eredmény extrapolálása érdekében. A ZNE széles körben elterjedt, részben azért, mert a pulzus-nyújtáson vagy al-körfolyamat-ismétlésen alapuló zaj-erősítési sémák megkerülték a pontos zajtanulás szükségességét, miközben az eszköz zajára vonatkozó egyszerűsített feltételezésekre támaszkodtak. A pontosabb zaj-erősítés azonban jelentős csökkentést eredményezhet az extrapolált becslő torzításában, ahogy azt itt bemutatjuk. A ref. által javasolt ritka Pauli-Lindblad zajmodell különösen jól illeszkedik a ZNE-beli zajformáláshoz. A modell alakja Λ(ρ) = ∑i λi Pi ρ Pi† − ∑i λi {Pi† Pi , ρ}/2, ahol a Pi ugrás-operátorok a λi rátákkal súlyozott Pauli-operátorok. A ref.-ben kimutattuk, hogy a helyi qubitpárokra ható ugrás-operátorokra való korlátozás egy ritka zajmodellt eredményez, amely sok qubit esetén hatékonyan megtanulható, és amely pontosan rögzíti a kétszemélyes Clifford-kapuk rétegeihez kapcsolódó zajt, beleértve a kereszteződést is, véletlenszerű Pauli-twirls kombinálásával. A kapuk zajos rétegét egy zajcsatornát (Λ) megelőző ideális kapuk sorozataként modellezzük. Így az Λα alkalmazása a zajos réteg előtt egy ΛG teljes zajcsatornát eredményez G = α + 1 nyereséggel. A Pauli-Lindblad zajmodell exponenciális alakja miatt a Λα térképet egyszerűen a λi Pauli-ráták α-val való szorzásával kapjuk meg. A keletkező Pauli-térképet mintavételezhetjük a megfelelő körfolyamat-példányok megszerzéséhez; α ≥ 0 esetén a térkép egy Pauli-csatorna, amelyből közvetlenül mintát vehetünk, míg α < 0 esetén kvázi-valószínűségi mintavételre van szükség, amelynek mintavételi többletköltsége γ⁻²α bizonyos modell-specifikus γ esetén. A PEC-ben α = -1-et választunk, hogy teljes nulla-nyereségű zajszintet kapjunk. A ZNE-ben ehelyett a zajt erősítjük különböző nyereségi szintekre, és extrapolációval becsüljük meg a nulla-zaj határt. Gyakorlati alkalmazások esetén figyelembe kell vennünk a megtanult zajmodell stabilitását az idő múlásával (kiegészítő információk III.A), például a qubit-ek és a kétállapotú rendszereknek, más néven kétállapotú rendszereknek nevezett ingadozó mikroszkopikus hibákkal való kölcsönhatásai miatt. A Clifford-körfolyamatok hasznos referenciaként szolgálnak a hiba-mitigációval előállított becslésekhez, mivel hatékonyan szimulálhatók klasszikusan. Nevezetesen, a teljes Ising-Trotter körfolyamat Clifford-zá válás, ha a θh a π/2 többszörösére van választva. Mint első példa, ezért a transzverzális mezőt nullára állítjuk (RX(0) = I) és az |0⟩⊗127 kezdeti állapotot fejlődtetjük (1. ábra, a). A CNOT kapuk névlegesen nem változtatják meg ezt az állapotot, így a súly-1 megfigyelhetők Zq mindegyikének várható értéke 1; a minden rétegen végzett Pauli-twirling miatt a csupasz CNOT-ok befolyásolják az állapotot. Minden Trotter-kísérlethez először jellemeztük a három Pauli-twirlezett CNOT-réteg zajmodelljeit (1. ábra, c), majd ezeket a modelleket használtuk a zajnyereség-szintű (G ∈ {1, 1.2, 1.6}) Trotter-körfolyamatok megvalósításához. A 2. ábra, a a ⟨Z106⟩ becslését mutatja négy Trotter-lépés (12 CNOT-réteg) után. Minden G esetén 2000 körfolyamat-példányt generáltunk, amelyekben minden l réteg előtt a ∏i∈l P_i Pauli hibák szorzataiból (a P_i valószínűségekkel mintavételezve) álló hibákat iktattunk be, és minden példányt 64-szer futtattunk le, összesen 384 000 végrehajtással. Ahogy a körfolyamat-példányok száma növekszik, a ⟨Z106⟩G, a különböző G-khez tartozó becslések, különálló értékekhez konvergálnak. A különböző becsléseket ezután egy G-ben extrapoláló függvénnyel illesztjük, hogy megbecsüljük az ideális értéket ⟨Z106⟩0. A 2. ábra, a eredményei kiemelik az exponenciális extrapoláció csökkentett torzítását a lineáris extrapolációhoz képest. Mindazonáltal az exponenciális extrapoláció instabilitást mutathat, például, amikor a várható értékek feloldhatatlanul közel vannak a nullához, és ilyen esetekben iteratívan csökkentjük az extrapolációs modell komplexitását (lásd kiegészítő információk II.B). A 2. ábra, a-ban ismertetett eljárást minden qubit (q) mérési eredményére alkalmaztuk, hogy megbecsüljük az összes N = 127 Pauli-várható értéket, ⟨Zq⟩0. A nem- és hiba-mitigált megfigyelhetők eltérése a 2. ábra, b-ben a teljes processzoron keresztüli nem egyenletes hibaráta jelzi. Jelentjük a globális magnetizációt az ⟨Mz⟩ = (1/N) ∑q ⟨Zq⟩ mentén, növekvő mélység mellett a 2. ábra, c-ben. Bár a nem-mitigált eredmény fokozatosan csökken 1-ről, növekvő eltéréssel a mélyebb körfolyamatoknál, a ZNE nagymértékben javítja az egyezést, bár kis torzítással, az ideális értékkel egészen 20 Trotter-lépésig, vagy 60 CNOT-mélységig. Figyelemre méltó, hogy az itt használt minták száma sokkal kisebb, mint a naiv PEC megvalósításban szükséges mintavételi többletköltség becslése (lásd kiegészítő információk IV.B). Elvileg ez a különbség nagymértékben csökkenthető a fejlettebb PEC-megvalósításokkal, amelyek fénykúszó nyomkövetést használnak, vagy a hardveres hibaráta javításával. Ahogy a jövőbeli hardveres és szoftveres fejlesztések csökkentik a mintavételi költségeket, a PEC előnyösebb lehet, ha megfizethető, hogy elkerülje a ZNE potenciálisan torzított természetét. Mitigált várható értékek Trotter-körfolyamatokból a Clifford-feltételnél (θh = 0). , nem-mitigált (G=1), zaj-erősített (G>1) és zaj-mitigált (ZNE) ⟨Z106⟩ becslések konvergenciája négy Trotter-lépés után. Minden panelen a hiba-sávok 68%-os konfidencia-intervallumot jelölnek, amelyek percenkénti bootstrap útján nyertek. Az exponenciális extrapoláció (exp, sötétkék) hajlamos felülmúlni a lineáris extrapolációt (linear, világoskék), amikor a ⟨Z106⟩G≠0 konvergens becslések közötti különbségek jól feloldottak. , A magnetizációt (nagy jelölők) az egyes ⟨Zq⟩ becslések átlagaként számítjuk ki minden qubitre (kis jelölők). , Ahogy a körfolyamat mélysége növekszik, az Mz nem-mitigált becslései monoton módon csökkennek az ideális 1 értékből. A ZNE nagymértékben javítja a becsléseket még 20 Trotter-lépés után is (lásd kiegészítő információk II a ZNE részleteihez). a b c Ezután teszteljük módszereink hatékonyságát nem-Clifford körfolyamatok és a Clifford θh = π/2 pont esetében, nem-triviális összefonódási dinamikával, összehasonlítva a 2. ábrán tárgyalt, identitás-ekvivalens körfolyamatokkal. A nem-Clifford körfolyamatok különösen fontosak tesztelésre, mivel az exponenciális extrapoláció érvényessége már nem garantált (lásd kiegészítő információk V és ref.). A körfolyamat mélységét öt Trotter-lépésre (15 CNOT-réteg) korlátozzuk, és gondosan kiválasztunk olyan megfigyelhetőket, amelyek pontosan ellenőrizhetők. A 3. ábra az eredményeket mutatja a θh 0 és π/2 közötti söprésénél három ilyen, növekvő súlyú megfigyelőre. A 3. ábra, a az Mz-t mutatja a korábbiakhoz hasonlóan, ami a súly-1 ⟨Z⟩ megfigyelők átlaga, míg a 3. ábra, b és c súly-10 és súly-17 megfigyelőket mutat. Az utóbbi operátorok a Clifford-körfolyamat stabilizátorai θh = π/2 esetén, amelyek az |0⟩⊗127 kezdeti stabilizátorok, Z13 és Z58, illetve öt Trotter-lépésen keresztüli fejlődéséből származnak, biztosítva a nem-el tűnő várható értékeket a különösen érdekelt, erősen összefonódott rezsimben. Bár a teljes 127 qubites körfolyamat kísérletileg végrehajtásra kerül, a fénykúszó és mélység-csökkentett (LCDR) körfolyamatok lehetővé teszik a magnetizáció és a súly-10 operátor durva klasszikus szimulációját ezen a mélységen (lásd kiegészítő információk VII). A θh söprés teljes tartományában a hiba-mitigált megfigyelők jól egyeznek a pontos fejlődéssel (lásd 3. ábra, a, b). Azonban a súly-17 operátor esetében a fénykúszó 68 qubitre terjed ki, ami a durva klasszikus szimulációt meghaladó méret, ezért tenzorhálózati módszerekhez fordulunk. Várható érték becslések θh söprésekre fix öt Trotter-lépés mélységen az 1. ábra, a körfolyamatához. A vizsgált körfolyamatok nem-Cliffordok, kivéve θh = 0, π/2 esetén. A fénykúszó és mélység-csökkentések lehetővé teszik az összes θh értékre vonatkozó megfigyelők pontos klasszikus szimulációját. Minden három ábrázolt mennyiség (panel címek) esetében a mitigált kísérleti eredmények (kék) szorosan követik a pontos viselkedést (szürke). Minden panelen a hiba-sávok 68%-os konfidencia-intervallumot jelölnek, amelyeket percenkénti bootstrap útján nyertek. A súly-10 és súly-17 megfigyelők a és panelekben a θh = π/2-es körfolyamat stabilizátorai, rendre +1 és −1 sajátértékekkel; a panelen minden érték vizuális egyszerűség kedvéért negatívvá lett téve. Az panel alsó betétje a ⟨Zq⟩ eltérését mutatja θh = 0.2 esetén az eszközön, a mitigáció előtt és után, és összehasonlítja azokat a pontos eredményekkel. Az összes panelen lévő felső betétek kauzális fénykúszókat illusztrálnak, kék színnel jelölve a végső mért qubiteket (fent) és az ideális, a végső qubitek állapotát befolyásolni képes kezdeti qubitek halmazát (lent). Az Mz 126 másik kúpuzziótól is függ, a bemutatott példán kívül. Bár minden panelen a pontos eredmények csak kauzális qubitek szimulációjából származnak, tenzorhálózati szimulációkat (MPS, isoTNS) is végeztünk mind a 127 qubittel, hogy segítsük ezeknek a technikáknak az érvényességi tartományának felmérését, amint azt a főszöveg tárgyalja. Az isoTNS eredmények a súly-17 megfigyelőre a panelen nem érhetők el a jelenlegi módszerekkel (lásd kiegészítő információk VI). Minden kísérlet G = 1, 1.2, 1.6 értékekre lett elvégezve, és extrapolálva a kiegészítő információk II.B szerint. Minden G esetén 1800–2000 véletlenszerű körfolyamat-példányt generáltunk a és panelekhez, és 2500–3000 példányt a panelhez. b c c a c a b c A tenzorhálózatokat széles körben használták a kvantumállapot-vektorok közelítésére és tömörítésére, amelyek az alacsony energiájú sajátállapotok és a helyi Hamilton-terek időbeli fejlődésének tanulmányozásában, és újabban sikeresen használták az alacsony mélységű zajos kvantumkörfolyamatok szimulálására. A szimulációs pontosság javítható a kötéldimenzió (χ) növelésével, amely korlátozza az összefonódás mennyiségét az ábrázolt kvantumállapotban, és amelynek számítási költsége polinomiálisan skálázódik χ-szel. Ahogy az összefonódás (kötéldimenzió) egy általános állapotban lineárisan (exponenciálisan) nő az időfejlődés során, amíg el nem telíti a térfogat-törvényt, a mély kvantumkörfolyamatokinherenten nehézkesek a tenzorhálózatok számára. Vizsgáljuk mind a kvázi-1D mátrix-szorzat állapotokat (MPS), mind a 2D izometrikus tenzorhálózati állapotokat (isoTNS), amelyek χ² és χ⁴ időfejlődési komplexitási skálázással rendelkeznek, illetve. Mindkét módszer, valamint erősségeik részletei a Módszerek és a kiegészítő információk VI. részében találhatók. Konkrétan a 3. ábra, c-ben bemutatott súly-17 operátor esetében azt találtuk, hogy egy MPS szimuláció az LCDR körfolyamatból χ = 2048 esetén elegendő a pontos fejlődés eléréséhez (lásd kiegészítő információk VIII). A súly-17 megfigyelő nagyobb kauzális kúpja gyengébb kísérleti jelet eredményez a súly-10 megfigyelőhöz képest; mindazonáltal a mitigáció továbbra is jó egyezést mutat a pontos nyommal. Ez az összehasonlítás arra utal, hogy a kísérleti pontosság tartománya meghaladhatja a pontos klasszikus szimuláció méretét. Várjuk, hogy ezek a kísérletek végül olyan körfolyamat-méretű és megfigyelők felé terjednek, ahol az ilyen fénykúszó és mélység-csökkentések már nem fontosak. Ezért vizsgáljuk az MPS és az isoTNS teljesítményét is a 3. ábrán végrehajtott teljes 127 qubites körfolyamathoz, χ = 1024 és χ = 12 kötéldimenzió mellett, amelyeket elsősorban memóriakövetelmények korlátoznak. A 3. ábra azt mutatja, hogy a tenzorhálózati módszerek nehézségekbe ütköznek a χ növekedésével, pontosságot és folytonosságot veszítenek a θh = π/2-es ellenőrizhető Clifford pont közelében. Ez a lebontás az állapot összefonódási tulajdonságaiban érthető meg. A θh = π/2-es körfolyamat által termelt stabilizátor állapotnak pontosan sík bipartite összefonódási spektruma van, amelyet a qubitek 1D rendezésének Schmidt-dekompozíciójából nyerünk. Így a kis Schmidt-súllyal rendelkező állapotok csonkolása – az összes tenzorhálózati algoritmus alapja – nem indokolt. Azonban, mivel az exakt tenzorhálózati reprezentációk általában exponenciális kötéldimenziót igényelnek a körfolyamat mélységétől függően, a csonkolás szükséges a kezelhető numerikus szimulációkhoz. Végül a 4. ábrán kísérleteinket olyan rezsimekre terjesztjük ki, amelyeknél a pontos megoldás nem áll rendelkezésre a jelenleg vizsgált klasszikus módszerekkel. Az első példa (4. ábra, a) hasonló a 3. ábra, c-hez, de egy további utolsó egyszemélyes Pauli-rotációs réteggel, amely megszakítja a körfolyamat-mélység-csökkentést, amely korábban lehetővé tette a pontos ellenőrzést bármely θh esetén (lásd kiegészítő információk VII). A θh = π/
