मनमाने आयाम में हैमिल्टोनियन प्रणालियों के लिए रैखिक स्थिरता का संयोजन: प्रारंभिक

लिंक की तालिका

• अमूर्त
• परिचय
• प्रारंभिक
• बी-हस्ताक्षर
• जीआईटी अनुक्रम: निम्न आयाम
• जीआईटी अनुक्रम: मनमाना आयाम
• परिशिष्ट A. स्थिरता, क्रेन-मोजर प्रमेय, और परिशोधन और संदर्भ

2. प्रारंभिक

जीआईटी अनुक्रम की परिभाषा को याद करने के लिए, हमें निम्नलिखित धारणा की आवश्यकता है।

परिभाषा 2.1 (जीआईटी भागफल)। मान लीजिए कि G एक समूह है जो होमोमोर्फिज्म द्वारा टोपोलॉजिकल स्पेस X पर कार्य करता है। जीआईटी भागफल, भागफल स्पेस X//G है जिसे तुल्यता संबंध x ∼ y द्वारा परिभाषित किया जाता है यदि x और y की G-कक्षाओं के बंद होने पर भागफल टोपोलॉजी से संपन्न होता है।

विशेष रूप से, सममित आवधिक कक्षा का आधा हिस्सा फ़िक्स (ρ) से खुद तक एक हैमिल्टनियन कॉर्ड (यानी प्रक्षेप पथ) है। इसलिए हम सममित आवधिक कक्षा के बारे में दो तरह से सोच सकते हैं, या तो एक बंद स्ट्रिंग के रूप में, या लैग्रेंजियन फ़िक्स (ρ) से खुद तक एक खुली स्ट्रिंग के रूप में।

एक सममित बिंदु पर एक सममित कक्षा का मोनोड्रोमी मैट्रिक्स एक वोनेनबर्गर मैट्रिक्स है, यानी यह संतुष्ट करता है

कहाँ

समीकरण जो सुनिश्चित करते हैं कि M सिम्पलेक्टिक है। M के आइगेनवैल्यू पहले ब्लॉक A के आइगेनवैल्यू द्वारा निर्धारित किए जाते हैं (देखें [FM]):

प्रमेय 1 (वोननबर्गर)। प्रत्येक सिम्पलेक्टिक मैट्रिक्स M ∈ Sp(2n) सिम्पलेक्टिक रूप से एक वोननबर्गर मैट्रिक्स से संयुग्मित होता है।

दूसरे शब्दों में, प्राकृतिक मानचित्र

आच्छादनात्मक है।

एक सममित आवधिक कक्षा की उपस्थिति में, उपरोक्त बीजीय तथ्य की एक ज्यामितीय व्याख्या होती है: कक्षा के प्रत्येक बिंदु पर मोनोड्रोमी मैट्रिक्स (एक सिम्पलेक्टिक मैट्रिक्स) को कक्षा के किसी भी सममित बिंदु (एक वोनेनबर्गर मैट्रिक्स) पर मोनोड्रोमी मैट्रिक्स में रैखिकीकृत प्रवाह के माध्यम से सिम्पलेक्टिक रूप से संयुग्मित किया जाता है।