```html Authors: Neereja Sundaresan Theodore J. Yoder Youngseok Kim Muyuan Li Edward H. Chen Grace Harper Ted Thorbeck Andrew W. Cross Antonio D. Córcoles Maika Takita Abstrakti Kvanttivirheenkorjaus tarjoaa lupaavan polun korkean uskollisuuden kvanttilaskentaan. Vaikka algoritmien täysin vikasietoisia toteutuksia ei ole vielä saavutettu, äskettäiset parannukset ohjauselektroniikassa ja kvanttilaitteistoissa mahdollistavat virheenkorjauksen kannalta välttämättömien operaatioiden yhä edistyneemmät demonstraatiot. Tässä työssä suoritamme kvanttivirheenkorjausta suprajohtaville kubiteille, jotka on kytketty raskaaseen heksagonaaliseen hilaan. Koodaamme loogisen kubitin etäisyydellä kolme ja suoritamme useita kierroksia vikasietoisia syndroomamittauksia, jotka mahdollistavat piirin minkä tahansa yksittäisen vian korjaamisen. Reaaliaikaisen palautteen avulla nollaamme syndrooma- ja lippukubitteja ehdollisesti jokaisen syndrooman erotusjakson jälkeen. Raportoimme dekoodeririippuvaisen loogisen virheen, jonka keskimääräinen looginen virhe syndroomamittausta kohden Z(X)-kannassa on ~0,040 (~0,088) ja ~0,037 (~0,087) vastaavasti yhdistämis- ja suurimman todennäköisyyden dekoodereille, vuotojen jälkivalikoituilla tiedoilla. Johdanto Kvanttilaskentojen tulokset voivat olla epätarkkoja käytännössä laitteiston kohinan vuoksi. Tuloksena olevien vikojen poistamiseksi kvanttivirheenkorjauskoodeja (QEC) voidaan käyttää kvanttitiedon koodaamiseen suojattuihin, loogisiin vapausasteisiin ja sitten korjaamalla viat nopeammin kuin ne kertyvät, mahdollistamalla vikasietoiset (FT) laskelmat. Täydellinen QEC-toteutus vaatii todennäköisesti: loogisten tilojen valmistelun; universaalin loogisten porttien joukon toteuttamisen, mikä voi vaatia taikatilojen valmistelua; toistuvia syndroomamittauksia; ja syndroomien dekoodauksen virheiden korjaamiseksi. Onnistuessaan tuloksena olevien loogisten virheiden määrän tulisi olla pienempi kuin taustalla olevien fysikaalisten virheiden määrä, ja sen tulisi pienentyä koodietäisyyden kasvaessa merkityksettömiin arvoihin. QEC-koodin valinta vaatii taustalla olevan laitteiston ja sen kohinaominaisuuksien huomioon ottamista. Raskaan heksagonaalisen hilakubitin tapauksessa[1,2], alijärjestelmän QEC-koodit[3] ovat houkuttelevia, koska ne sopivat hyvin kubiteille, joilla on rajoitettu kytkettyvyys. Muut koodit ovat osoittaneet lupaavuutta suhteellisen korkean FT-kynnyksen[4] tai suuren määrän poikittaisloogisia portteja[5] ansiosta. Vaikka niiden tila- ja aikasovitus voi muodostaa merkittävän esteen skaalautuvuudelle, on olemassa rohkaisevia lähestymistapoja kalleimpien resurssien vähentämiseksi hyödyntämällä jonkinlaista virheiden lievennystä[6]. Dekoodausprosessissa onnistunut korjaus riippuu paitsi kvanttilaitteiston suorituskyvystä, myös ohjauselektroniikan toteutuksesta, jota käytetään syndroomamittausten tuottaman klassisen tiedon hankkimiseen ja käsittelyyn. Meidän tapauksessamme sekä syndrooma- että lippukubittien alustaminen reaaliaikaisella palautteella mittausjaksojen välillä voi auttaa virheiden lieventämisessä. Dekoodaustasolla, vaikka on olemassa protokollia QEC:n asynkroniseen suorittamiseen FT-formalismissa[7,8], virheiden syndroomien vastaanoton nopeuden tulee olla sopusoinnussa niiden klassisen käsittelyajan kanssa, jotta vältetään syndroomatiedon kasvava kasautuminen. Lisäksi jotkin protokollat, kuten taikatilan käyttö loogiselle T-portille[9], vaativat reaaliaikaisen syötön soveltamista. Siksi QEC:n pitkän aikavälin visio ei keskity yhteen perimmäiseen tavoitteeseen, vaan sitä tulisi pitää syvästi toisiinsa liittyvien tehtävien jatkumona. Tämän teknologian kehityksen kokeellinen polku sisältää näiden tehtävien demonstroinnin ensin erikseen ja sitten niiden asteittaisen yhdistämisen, samalla kun niiden liittyviä mittareita parannetaan jatkuvasti. Osa tästä edistyksestä heijastuu lukuisissa viimeaikaisissa edistysaskelissa kvanttijärjestelmissä eri fysikaalisilla alustoilla, jotka ovat osoittaneet tai approksimoineet useita FT-kvanttilaskennan edellyttämiä näkökohtia. Erityisesti FT-loogisten tilojen valmistelu on osoitettu ioneilla[10], timanttiydinpinnoilla[11] ja suprajohtavilla kubiteilla[12]. Syndrooman erotuksen toistuvia jaksoja on näytetty suprajohtavilla kubiteilla pienissä virheenpaljastavissa koodeissa[13,14], mukaan lukien osittainen virheenkorjaus[15] sekä universaali (vaikkakaan ei FT) yhden kubitin porttijoukko[16]. Viime aikoina on raportoitu kahdella loogisella kubitilla tapahtuva universaalin porttijoukon FT-demonstraatio ioneilla[17]. Virheenkorjauksen alalla on viime aikoina toteutettu etäisyyden 3 pintakoodi suprajohtavilla kubiteilla dekoodauksella[18] ja jälkivalinnalla[19], sekä dynaamisesti suojatun kvanttimuistin FT-toteutus värikoodilla[20] ja Bacon-Shor-koodin FT-tilojen valmistelu, operaatio ja mittaus, mukaan lukien sen stabilisaattorit, loogisen tilan osalta ioneilla[20,21]. Tässä yhdistämme reaaliaikaisen palautteen kyvyn suprajohtavilla kubittijärjestelmillä suurimman todennäköisyyden dekoodausprotokollaan, jota ei ole aiemmin kokeellisesti tutkittu, parantaaksemme loogisten tilojen selviytymistä. Osoitamme nämä työkalut osana FT-operaatiota alijärjestelmäkoodissa[22], raskaassa heksagonaalisessa koodissa[1], suprajohtavalla kvanttiprosessorilla. Jotta tämän koodin toteutuksemme olisi vikasietoinen, välttämättömiä ovat lippukubittit, jotka ei-nollina havaitessaan hälyttävät dekooderia piirivirheistä. Nollaamalla ehdollisesti lippu- ja syndroomakubittit jokaisen syndroomamittausjakson jälkeen suojaamme järjestelmäämme energian rentoutumiseen liittyvän kohinaepäsymmetrian aiheuttamilta virheiltä. Hyödynnämme edelleen äskettäin kuvattuja dekoodausstrategioita[15] ja laajennamme dekoodausideoita kattamaan suurimman todennäköisyyden käsitteet[4,23,24]. Tulokset Raskas heksagonaalinen koodi ja monikierrospiirit Tarkastelemamme raskas heksagonaalinen koodi on n=9 kubitin koodi, joka koodaa k=1 loogisen kubitin etäisyydellä d=3[11]. Z- ja X-mittari (katso kuva 1a) ja stabilisaattoriryhmät on generoitu Stabilisaattoriryhmät ovat vastaavien mittariryhmien keskuksia. Tämä tarkoittaa, että stabilisaattorit, mittarioperaatioiden tuloksina, voidaan johtaa vain mittarioperaatioiden mittauksista. Loogisiksi operaattoreiksi voidaan valita XL = X1X2X3 ja ZL = Z1Z3Z7. Z (sininen) ja X (punainen) mittarioperaattorit (yhtälöt (1) ja (2)) kartoitettuna 23 kubitin raskaaseen heksagonaaliseen koodiin, jonka etäisyys on 3. Koodikubittit (Q1−Q9) näytetään keltaisina, syndroomakubittit (Q17, Q19, Q20, Q22), joita käytetään Z-stabilisaattoreihin, sinisinä, ja lippukubittit ja syndroomat, joita käytetään X-stabilisaattoreihin, valkoisina. CX-porttien soveltamisen järjestys ja suunta kunkin osajakson (0–4) sisällä on merkitty numeroiduilla nuolilla. Yhden syndroomamittauskierroksen piirikaavio, joka sisältää sekä X- että Z-stabilisaattorit. Piirikaavio havainnollistaa porttioperaatioiden sallittua rinnakkaistamista: ne, jotka ovat aikataulutusesteiden (pystysuorat katkoviivat) rajoissa. Koska jokaisen kahden kubitin portin kesto vaihtelee, lopullinen porttien aikataulutus määräytyy tavallisella mahdollisimman myöhäisellä piirin transpilointivaiheella; tämän jälkeen lisätään dynaaminen sammutus datakubiteille, jos aika sallii. Mittaus- ja nollausoperaatiot on eristetty muista porttioperaatioista esteillä, jotta idlaaville datakubiteille voidaan lisätä yhtenäinen dynaaminen sammutus. Kolmen kierroksen ( ) Z- ja ( ) X-stabilisaattorimittausten dekoodausgraafit piiritason kohinalla mahdollistavat X- ja Z-virheiden korjaamisen vastaavasti. Graafien siniset ja punaiset solmut vastaavat erotussyndroomia, kun taas mustat solmut ovat raja. Reunat koodaavat erilaisia tapoja, joilla piirissä voi esiintyä virheitä, kuten tekstissä kuvataan. Solmut on merkitty stabilisaattorimittauksen tyypillä (Z tai X) sekä alaindeksillä, joka indeksoi stabilisaattorin, ja yläindeksillä, joka ilmaisee kierroksen. Mustat reunat, jotka johtuvat Pauli Y -virheistä koodikubiteilla (ja ovat siten vain kokoa 2), yhdistävät kaksi graafia kohdissa ja , mutta niitä ei käytetä yhdistämisdekooderissa. Kokoa 4 olevat hyperreunat, joita sovitus ei käytä, mutta joita suurimman todennäköisyyden dekooderi käyttää. Värit ovat vain selvyyden vuoksi. Jokaisen ajassa yhden kierroksen siirtäminen antaa myös kelvollisen hyperreunan (jonkin verran vaihtelua aika-alueilla). Myöskään hyperreunoja, joiden koko on 3, ei näytetä. a b c d e c d f Keskitymme tässä tiettyyn FT-piiriin, monet tekniikoistamme voidaan käyttää yleisemmin eri koodeilla ja piireillä. Kaksi alipiiriä, jotka näytetään kuviossa 1b, on rakennettu X- ja Z-mittarioperaatioiden mittaamiseksi. Z-mittarioperaation piiri hankkii myös hyödyllistä tietoa mittaamalla lippukubitteja. Valmistamme kooditilat loogiseen |0L () tilaan valmistamalla ensin yhdeksän kubitin |+X) tilaan ja mittaamalla X-mittarin (Z-mittarin). Suoritamme sitten r kierrosta syndroomamittausta, jossa yksi kierros sisältää sekä Z- että X-mittarin (vastaavasti X-mittarin ja Z-mittarin). Lopuksi luemme kaikki yhdeksän koodikubittia Z- (X-) kannassa. Suoritamme samat kokeet myös alkuperäisille loogisille tiloille |+X) ja |+Y) vain alustamalla yhdeksän kubitin |+X) ja |+Y) tiloihin. Dekoodausalgoritmit FT-kvanttilaskennan puitteissa dekooderi on algoritmi, joka ottaa syötteenään syndroomamittauksia virheenkorjauskoodista ja tuottaa korjauksen kubiteille tai mittaustiedoille. Tässä osiossa kuvaamme kaksi dekoodausalgoritmia: täydellinen yhdistämisdekoodaus ja suurin todennäköisyysdekoodaus. Dekoodaus hypergraafi[15] on tiivis kuvaus FT-piirin keräämästä tiedosta ja sen saatavuudesta dekoodausalgoritmille. Se koostuu joukosta solmuja eli virheriippuvaisia tapahtumia V ja joukosta hyperreunoja E, jotka koodaavat virheiden aiheuttamia korrelaatioita piirissä. Kuva 1c–f esittää osia dekoodauksen hypergraafista kokeessamme. Stabilisaattoripiirien dekoodaus hypergraafin rakentaminen Pauli-kohinalla voidaan tehdä käyttämällä standardeja Gottesman-Knill-simulaatioita[25] tai vastaavia Pauli-jäljitysmenetelmiä[26]. Ensinnäkin, jokaiselle mittaukselle, joka on deterministinen virheetön piiri, luodaan virheriippuvainen tapahtuma. Deterministinen mittaus M on mikä tahansa mittaus, jonka tulos m ∈ {0, 1} voidaan ennustaa lisäämällä modulo kaksi joukon S aikaisempia mittauksia. Eli virheetön piiri, , missä S voidaan löytää simuloimalla piiriä. Aseta virheriippuvaisen tapahtuman arvoksi m − FM(mod2), joka on nolla (kutsutaan myös triviaalia) virheiden puuttuessa. Siten ei-triviaalin (kutsutaan myös ei-triviaalia) virheriippuvaista tapahtumaa havaitsemalla merkitsee, että piiri kärsi vähintään yhden virheen. Meidän piireissämme virheriippuvaiset tapahtumat ovat joko lippukubitin mittauksia tai saman stabilisaattorin peräkkäisten mittausten erotusta (kutsutaan myös erotussyndroomiksi). Seuraavaksi lisätään hyperreunoja harkitsemalla piirivikoja. Mallimme sisältää piirikomponenttien vikojen todennäköisyyden pC Tässä erottelemme identiteettioperaation id kubiteilla aikana, jolloin muut kubitit suorittavat unitäärisiä portteja, identiteettioperaatiosta idm kubiteilla aikana, jolloin muut suorittavat mittausta ja nollausta. Nollaamme kubittit niiden mittaamisen jälkeen, kun taas alustamme kubittit, joita ei ole vielä käytetty kokeessa. Lopuksi cx on controlled-not-portti, h on Hadamard-portti ja x, y, z ovat Pauli-portteja. (katso menetelmät "IBM_Peekskill ja kokeelliset yksityiskohdat" lisätietoja). pC:n numeeriset arvot luetellaan menetelmissä "IBM_Peekskill ja kokeelliset yksityiskohdat". Virhemallimme on piirin depolarisoiva kohina. Alustus- ja nollausvirheille Pauli X sovelletaan vastaavilla todennäköisyyksillä pinit ja preset ihanteellisen tilan valmistelun jälkeen. Mittausvirheille Pauli X sovelletaan todennäköisyydellä ennen ihanteellista mittausta. Yhden kubitin unitäärinen portti (kahden kubitin portti) C kärsii todennäköisyydellä pC yhdestä kolmesta (viisitoista) ei-identiteetti yhden kubitin (kahden kubitin) Pauli-virheestä ihanteellisen portin jälkeen. Kolmesta (viisitoista) Pauli-virheestä voi esiintyä yhtä suuri todennäköisyys. Kun piirissä tapahtuu yksittäinen vika, se aiheuttaa tiettyjen virheriippuvaisten tapahtumien tulemisen ei-triviaaleiksi. Tämä joukko virheriippuvaisia tapahtumia muodostaa hyperreunan. Kaikkien hyperreunojen joukko on E. Kaksi eri vikaa voi johtaa samaan hyperreunaan, joten kutakin hyperreunaa voidaan pitää joukkona vikoja, joista kukin yksin aiheuttaa hyperreunan tapahtumien tulemisen ei-triviaaleiksi. Kunkin hyperreunan todennäköisyys on vähintään ensimmäisessä kertoimessa vikojen todennäköisyyksien summa. Vika voi myös aiheuttaa virheen, joka piirin loppuun kuljetettuna antikommotoi yhden tai useamman koodin loogisen operaattorin kanssa, mikä vaatii loogisen korjauksen. Oletamme yleisyyden vuoksi, että koodilla on k loogista kubittia ja 2k loogisen operaattorin kanta, mutta huomaa, että raskaan heksagonaalisen koodin tapauksessa k=1. Voimme seurata, mitkä loogiset operaattorit antikommotoivat virheen kanssa käyttämällä vektoria . Siten jokainen hyperreuna h on myös merkitty yhdellä näistä vektoreista , jota kutsutaan loogiseksi merkinnäksi. Huomaa, että jos koodin etäisyys on vähintään kolme, jokaisella hyperreunalla on yksilöllinen looginen merkintä. Lopuksi huomautamme, että dekoodausalgoritmi voi valita dekoodaus hypergraafin yksinkertaistamisen eri tavoin. Yksi tapa, jota aina käytämme, on lippujen poistoprosessi. Lippumittauksia kubiteista 16, 18, 21, 23 yksinkertaisesti jätetään huomiotta ilman korjauksia. Jos lippu 11 on ei-triviaali ja 12 triviaali, sovelletaan Z:tä 2:lle. Jos 12 on ei-triviaali ja 11 triviaali, sovelletaan Z:tä kubittiin 6. Jos lippu 13 on ei-triviaali ja 14 triviaali, sovelletaan Z:tä kubittiin 4. Jos 14 on ei-triviaali ja 13 triviaali, sovelletaan Z:tä kubittiin 8. Katso viite [15] lisätietoja siitä, miksi tämä riittää vikasietoisuuteen. Tämä tarkoittaa, että sen sijaan, että sisällytettäisiin virheriippuvaisia tapahtumia lippukubitin mittauksista suoraan, esikäsittelemme tiedot käyttämällä lipputietoja virtuaalisten Pauli Z -korjausten soveltamiseen ja säätämällä seuraavia virheriippuvaisia tapahtumia vastaavasti. Lippujen poistamisen jälkeen deflagged hypergraafin hyperreunat voidaan löytää stabilisaattorisimulaation avulla, joka sisältää Z-korjaukset. Olkoon r edustaa kierrosten määrää. Lippujen poistamisen jälkeen Z- (vastaavasti X-) kokeiden V-joukon koko on |V| = 6r + 2 (vastaavasti 6r + 4), koska mitataan kuusi stabilisaattoria kierrosta kohden ja kaksi (vastaavasti neljä) alustavaa virheriippuvaista stabilisaattoria tilan valmistelun jälkeen. E:n koko on samoin |E| = 60r - 13 (vastaavasti 60r - 1) r > 0. Tarkasteltaessa erikseen X- ja Z-virheitä, pintakoodin minimipainoisen täydellisen yhdistämisen ongelma voidaan pelkistää minimipainoisen täydellisen yhdistämisen löytämiseksi graafissa[4]. Yhdistämisdekoodereita tutkitaan edelleen niiden käytännöllisyyden[27] ja laajan sovellettavuuden[28,29] vuoksi. Tässä osiossa kuvaamme etäisyydeltä 3 olevan raskaan heksagonaalisen koodin yhdistämisdekooderin. Dekoodausgraafit, yksi X-virheille (kuva 1c) ja yksi Z-virheille (kuva 1d), minimipainoiselle täydelliselle yhdistämiselle ovat itse asiassa aligraafeja edellisessä osiossa olevasta dekoodauksen hypergraafista. Keskitytään tässä X-virheiden korjaamisen graafiin, koska Z-virhegraafi on analoginen. Tässä tapauksessa dekoodaus hypergraafista säilytämme solmut VZ, jotka vastaavat (peräkkäisten) Z-stabilisaattorimittausten erotusta ja niiden välisiä reunoja (eli hyperreunoja, joiden koko on kaksi). Lisäksi luodaan raja-solmu b, ja yksi reuna olevat hyperreunat muotoa {v} esitetään reunoilla {v, b}. Kaikki X-virheiden graafin reunat perivät todennäköisyydet ja loogiset merkinnät vastaavista hyperreunoista (katso taulukko 1 X- ja Z-virhereunojen tiedot 2-kierroksen kokeesta). Täydellinen yhdistämisalgoritmi ottaa syötteenään graafin, jolla on painotetut reunat ja parillisen kokoinen korostettujen solmujen joukko, ja tuottaa joukon reunoja graafissa, jotka yhdistävät kaikki korostetut solmut pareittain ja jolla on vähimmäiskokonaispaino kaikkien tällaisten reunajoukkojen joukossa. Meidän tapauksessamme korostetut solmut ovat ei-triviaaleja virheriippuvaisia tapahtumia (jos niitä on pariton määrä, myös raja-solmu on korostettu), ja reunapainot ovat joko asetettu yhdeksi (yhtenäinen menetelmä) tai asetettu , missä pe on reunan todennäköisyys (analyyttinen menetelmä). Jälkimmäinen valinta tarkoittaa, että reunajoukon kokonaispaino on yhtä suuri kuin sen lokitodennäköisyys, ja minimipainoinen täydellinen yhdistäminen yrittää maksimoida tämän todennäköisyyden graafin reunojen yli. Annetun minimipainoisen täydellisen yhdistämisen perusteella voidaan käyttää yhdistämisen reunojen loogisia merkintöjä loogisen tilan korjauksen päättämiseksi. Vaihtoehtoisesti X-virheiden (Z-virheiden) graafi yhdistämisdekooderille on sellainen, että kukin reuna voidaan liittää koodikubittiin (tai mittausvirheeseen), siten että reunan sisällyttäminen yhdistämiseen tarkoittaa, että vastaavaan kubittiin tulisi soveltaa X- (Z-) korjausta. Suurin todennäköisyysdekoodaus (MLD) on optimaalinen, vaikkakaan ei skaalautuva, menetelmä kvanttivirheenkorjauskoodien dekoodaamiseen. Alkuperäisessä konseptissaan MLD sovellettiin fenomenologisiin kohinamalleihin, joissa virheitä esiintyy juuri ennen syndroomien mittaamista[24,30]. Tämä luonnollisesti jättää huomiotta realistisemman tapauksen, jossa virheet voivat levitä syndrooman mittauspiirin läpi. Viime aikoina MLD:tä on laajennettu kattamaan piirin kohina[23,31]. Tässä kuvaamme, miten MLD korjaa piirin kohinaa dekoodauksen hypergraafin avulla. MLD päättelee todennäköisimmän loogisen korjauksen virheriippuvaisten tapahtumien havainnon perusteella. Tämä tehdään laskemalla todennäköisyysjakauma Pr[β, γ], missä edustaa virheriippuvaisia tapahtumia ja edustaa loogista korjausta. Voimme laskea Pr[β, γ] sisällyttämällä jokaisen hyperreunan dekoodauksen hypergraafista, kuva 1c–f, alkaen nolla-virhejakaumasta, eli Pr[0∣V∣, 02k] = 1. Jos hyperreunalla h on todennäköisyys ph esiintyä, riippumatta muista hyperreunoista, sisällytämme h suorittamalla päivityksen missä edustaa vain binääristä vektoriesitystä hyperreunasta. Tämä päivitys tulisi suorittaa kerran jokaiselle hyperreunalle E:ssä. Kun Pr[β, γ] on laskettu, voimme käyttää sitä parhaan loogisen korjauksen päättämiseen. Jos havaittu kokeen aikana, osoittaa, miten loogisten operaattoreiden mittaukset tulisi korjata. Lisätietoja MLD:n erityistoteutuksista löytyy menetelmistä "Suurimman todennäköisyyden toteutukset". Kokeellinen toteutus Tähän demonstraatioon käytämme ibm_peekskill v2.0.0, 27 kubitin IBM Quantum Falcon -prosessoria[32], jonka kytkentäkartta mahdollistaa etäisyydeltä 3 olevan raskaan heksagonaalisen koodin, katso kuva 1. Kubitin mittauksen ja sitä seuraavan reaaliaikaisen ehdollisen nollauksen kokonaisaika per kierros on 768 ns ja on sama kaikille kubiteille. Kaikki syndroomamittaukset ja nollaukset tapahtuvat samanaikaisesti suorituskyvyn parantamiseksi. Kaikkiin koodikubittien idle-jaksoihin lisätään yksinkertainen Xπ-Xπ dynaaminen sammutussekvenssi. Kubittien vuoto on merkittävä syy siihen, miksi dekooderin suunnittelun olettama Pauli depolarisoiva virhemalli voi olla epätarkka. Joissakin tapauksissa voimme havaita, onko kubitti vuotanut laskentatilan ulkopuolelle sen mittaushetkellä (katso menetelmät "Jälkivalintamenetelmä" lisätietoja jälkivalintamenetelmästä ja rajoituksista). Tämän avulla voimme jälkivalita kokeen ajot, jolloin vuotoa ei ole havaittu, samoin kuin viitteessä [18]. Kuviossa 2a alustamme loogisen tilan |0L (), ja sovellamme r syndroomamittauskierrosta, jossa yksi kierros sisältää sekä X- että Z-stabilisaattorit (noin 5,3 μs kokonaisaika per kierros, kuva 1b). Käyttämällä analyyttistä täydellistä yhdistämisdekoodausta täydellisellä datajoukolla (500 000 laukausta per ajo), poimimme loogiset virheet kuviossa 2a, punaiset (siniset) kolmiot. Yksityiskohdat analyyttisessä täydellisessä yhdistämisdekoodauksessa käytetyistä optimoiduista parametreista löytyvät menetelmistä "IBM_Peekskill ja kokeelliset yksityiskohdat". Sovittamalla täydelliset vaimenemiskäyrät (yhtälö (14)) aina 10 kierrokseen asti, poimimme loogisen virheen per kierros ilman jälkivalintaa kuviossa 2b 0,059(2) (0,058(3)) |0L () ja 0,113(5) (0,107(4)) |+X) tiloille. Looginen virhe verrattuna syndroomamittauskierrosten määrään r, jossa yksi kierros sisältää sekä Z- että X-stabilisaattorimittauksen. Siniset oikealle osoittavat kolmiot (punaiset kolmiot) merkitsevät loogisia virheitä, jotka on saatu käyttämällä analyyttistä yhdistämisdekoodausta raakadataan |0L () tiloille. Vaaleansiniset neliöt (vaaleanpunaiset ympyrät) merkitsevät niitä |+X) tiloille samalla dekoodausmenetelmällä, mutta käyttämällä vuoto-jälkivalikoitua kokeellista dataa. Virhepalkit osoittavat kunkin ajon otantavirheen (500 000 laukausta raakadatalle, muuttuva määrä laukauksia jälkivalitulle). Katkoviivaiset sovitukset virheen tuotosta kierroskohtaiseksi virheeksi esitetään kohdassa . Samaa dekoodausmenetelmää soveltamalla vuoto-jälkivalikoituun dataan, osoitetaan merkittävä kokonaisvirheen väheneminen kaikille neljälle loogiselle tilalle. Katso menetelmät "Jälkivalintamenetelmä" yksityiskohtia varten. Sovitetut hylkäysasteet kierrosta kohden , , , ja ovat 4,91%, 4,64%, 4,37% ja 4,89% vastaavasti. Virhepalkit osoittavat sovitetun nopeuden yhden standardipoikkeaman. , Käyttämällä jälkivalikoitua dataa vertaamme loogista virhettä, joka on saatu neljällä dekooderilla: yhdistävä yhtenäinen (vaaleanpunainen ympyrä), yhdistävä analyyttinen (vihreä ympyrä), yhdistävä analyyttinen pehmeällä informaatiolla (har a b b c d
