希尔伯特方案的扩展：GIT 稳定性

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4. GIT 稳定性

在本节中，我们建立了一些类似于 [GHH19] 的结果，以描述方案 X[n] 上关于上一节中描述的 G 线性化线束的可能选择的各种 GIT 稳定性条件。具体而言，我们表明这些稳定性条件不依赖于长度为 m 的零维子方案的方案结构，而是可以简化为 n 点配置的组合标准。

4.1 希尔伯特-芒福德准则

在本节中，我们将回顾希尔伯特-芒福德不变量的定义，并根据这些不变量给出稳定性和半稳定性的数值准则。

假设 H 是作用于方案 S 的约化群，该方案在代数闭域 k 上是适当的。假设 L 是 H 线性化的充足线束。则 H 的 1 参数子群（为方便起见，记为 1-PS）被定义为同态

4.2 单参数子群的作用

4.3 有界权重和组合权重

在本节中，我们解释 [GHH19] 所称的希尔伯特-芒福德不变量的有界权重和组合权重之间的关系。

保持符号尽可能与 [GHH19] 一致，让

是通用家族，第一和第二个投影为 p 和 q。线束

当 l ≫ 0 且是 G 线性化时，是相对充分的，与 [GHH19] 第 2.2.1 节完全一致。

有界权重和组合权重之间的关系。以下引理描述了如何将希尔伯特-芒福德不变量分解为不变量之和。

请注意，组合权重取决于线性线束的选择，而有界权重则不然。与 [GHH19] 类似，我们可以证明有界权重（顾名思义）可以给定一个上限。

以下结果基于 [GHH19] 的引理 2.3，并进行了一些细微的修改以适合我们的设置。

现在让我们讨论有界权重如何影响整体稳定性条件。以下引理来自 [GHH19]，但为了方便起见，我们在此回顾其证明。

证明。正如我们已经证明的那样，有界权重可以表示为

只需选择一个足够大的l值，使组合权重超过有界权重即可。这使我们能够有效地将有界权重视为可忽略不计，并在计算中忽略它。

注释4.3.5. 注意，这样的 Z 不一定被平滑支撑，并且 Z 支撑的每个点也不一定包含在 ∆ 分量中。

对所有 k ∈ {1, . . . , n} 重复此过程将为我们提供 L 的描述，并且我们可以按照本节开头所述的方式从此线束形成 G 线性化线束 M。有关为什么这会产生正组合权重的更多详细信息，请参阅以下引理的证明。请注意，这不是 Z 稳定的唯一 GIT 稳定性条件。

证明。显然，组合权重可以写成总和

4.4 半稳定位点和 GIT 商

证明。这由引理 4.3.3 和 4.3.7 得出。事实上，根据引理 4.3.3，如果组合权重可以写成如下形式

证明. 让我们选择一个任意的G线性化线束M，不一定如上构造，对于它Z具有Hilbert-Mumford不变量

证明。这直接源于引理 4.4.1 和 4.4.2。

现在我们可以描述由这些构造产生的 GIT 商。设

然后我们回顾引理 3.1.13，同构

对于上面描述的所有线性线束选择，基上的 GIT 商表现如下

证明. 该结果直接源自 [GHH15] 的相对 Hilbert-Mumford 标准。