量子计算突破：实时纠错

作者： Neereja Sundaresan Theodore J. Yoder Youngseok Kim Muyuan Li Edward H. Chen Grace Harper Ted Thorbeck Andrew W. Cross Antonio D. Córcoles Maika Takita 摘要 量子纠错提供了一条实现高保真度量子计算的途径。尽管完全容错的算法执行仍未实现，但控制电子和量子硬件的最新改进使得实现纠错所需操作的演示越来越先进。在这里，我们在相互连接的重六边形晶格上的超导量子比特上执行量子纠错。我们编码了一个距离为 3 的逻辑量子比特，并执行了多轮容错的综合子测量，从而可以纠正电路中的任何单比特故障。通过实时反馈，我们在每次综合子提取周期后有条件地重置综合子和标志量子比特。我们报告了解码器依赖的逻辑误差，在泄漏后选择的数据上，Z(X) 基的平均逻辑误差/综合子测量约为 0.040 (0.088) 和 0.037 (0.087)，分别对应于匹配和最大似然解码器。 引言 在实践中，由于硬件中的噪声，量子计算的结果可能存在错误。为了消除由此产生的错误，可以使用量子纠错 (QEC) 代码将量子信息编码到受保护的逻辑自由度中，然后通过比错误累积更快地纠正错误来实现容错 (FT) 计算。QEC 的完整执行可能需要：逻辑态的制备；通用逻辑门集的实现，这可能需要魔态的制备；综合子测量的重复；以及用于纠正错误的综合子解码。如果成功，最终的逻辑错误率应低于底层的物理错误率，并随着代码距离的增加而减小到可忽略的值。 选择 QEC 代码需要考虑底层硬件及其噪声特性。对于重六边形晶格 [^1^, [^2^] 量子比特，子系统 QEC 代码 [^3^] 很有吸引力，因为它们非常适合连接性较低的量子比特。其他代码因其相对较高的 FT [^4^] 阈值或大量横向逻辑门 [^5^] 而显示出潜力。尽管它们的空间和时间开销可能对可扩展性构成重大障碍，但存在通过利用某种形式的错误缓解 [^6^] 来降低最昂贵资源的有益方法。 在解码过程中，成功纠错不仅取决于量子硬件的性能，还取决于用于获取和处理从综合子测量获得的经典信息的控制电子设备的实现。在我们的案例中，通过测量周期之间的实时反馈初始化综合子和标志量子比特可以帮助减轻错误。在解码级别，尽管存在一些在 FT 形式主义 [^7^, [^8^] 中执行 QEC 异步的协议，但错误综合子的接收速率应与它们的经典处理时间相称，以避免综合子数据积压不断增加。此外，一些协议，例如使用魔态进行逻辑 门 [^9^]，需要应用实时前馈。 T 因此，QEC 的长期愿景并非朝向一个单一的最终目标，而应被视为一系列深度相互关联的任务。该技术发展中的实验路径将首先单独演示这些任务，然后逐步组合它们，同时持续改进其相关指标。量子系统在不同物理平台上的许多近期进展反映了这一进步，这些进展已经演示或近似了 FT 量子计算的几个期望方面。特别是，FT 逻辑态制备已在离子 [^10^]、金刚石中的核自旋 [^11^] 和超导量子比特 [^12^] 上得到验证。在小型纠错码 [^13^, [^14^] 的超导量子比特中已显示出综合子提取的重复循环，包括部分纠错 [^15^] 以及通用（尽管不是 FT）单量子比特门集 [^16^]。最近在离子 [^17^] 中报道了在两个逻辑量子比特上使用 FT 演示的通用门集。在纠错领域，最近在超导量子比特上实现了距离为 3 的表面码，并进行了解码 [^18^] 和后选择 [^19^]，以及使用颜色码 [^20^] 的 FT 动态保护量子存储器，以及 FT 态制备、操作和测量（包括其稳定器），在离子 [^20^, [^21^] 的 Bacon-Shor 代码中的逻辑态。 在这里，我们将实时反馈能力与超导量子比特系统相结合，并结合迄今为止实验上未探索过的最大似然解码协议，以提高逻辑态的生存能力。我们将这些工具作为 FT 操作的一部分进行演示，该操作基于子系统代码 [^22^]，即重六边形代码 [^1^]，在超导量子处理器上。使我们的代码实现容错的关键是标志量子比特，当它们非零时，会提醒解码器注意电路错误。通过在每次综合子测量周期后有条件地重置标志和综合子量子比特，我们可以保护我们的系统免受固有的能量弛豫噪声不对称性引起的错误。我们进一步利用最近描述的解码策略 [^15^] 并将解码思想扩展到包括最大似然概念 [^4^, [^23^, [^24^]。 结果 重六边形代码和多轮电路 我们考虑的重六边形代码是一个 = 9 量子比特代码，编码 = 1 个距离 = 3 的逻辑量子比特 [^1^]。 和 规范（参见图 1a）和稳定子群由 n k d Z X 稳定子群 $\mathcal{S}$ 是相应规范群 $\mathcal{G}$ 的中心。这意味着稳定子（作为规范算子的乘积）仅从规范算子的测量中推导出来。逻辑算子可以选择为 = 和 = 。 X L X 1 X 2 X 3 Z L Z 1 Z 3 Z 7 (蓝色) 和 (红色) 规范算子（公式 (1) 和 (2)）映射到距离为 3 的重六边形代码所需的 23 个量子比特上。代码量子比特 ( − ) 显示为黄色，用于 稳定子的综合子量子比特 ( , , , ) 显示为蓝色，用于 稳定子的标志量子比特和综合子显示为白色。子部分 (0 到 4) 中 CX 门应用的顺序和方向由编号箭头表示。 一个综合子测量轮的电路图，包括 和 稳定子。电路图说明了门操作的允许并行执行：那些在调度障碍（垂直虚线）设定的边界内。由于每个双量子比特门的持续时间不同，最终的门调度是通过标准的尽可能晚的电路转译过程确定的；之后，在时间允许的情况下，将动态解耦添加到数据量子比特。测量和重置操作通过障碍与其它门操作隔开，以便可以将均匀的动态解耦添加到空闲的数据量子比特上。图 c 和 d 是三轮 和 稳定子测量的解码图，具有允许分别纠正 和 错误的电路级噪声。图中的蓝色和红色节点对应于差值综合子，而黑色节点是边界。边编码了文本中所述的电路中可能发生的各种错误方式。节点通过稳定子测量类型（ 或 ）以及索引稳定子的下标和表示轮次的标进行标记。 由代码量子比特上的 Pauli 错误引起的黑色边（因此大小为 2）连接 c 和 d 中的两个图，但匹配解码器未使用。 大小为 4 的超边，匹配器未使用，但最大似然解码器使用。颜色仅为清晰起见。将每个时间移动一轮也得到一个有效的超边（在时间边界处有一些变化）。也没有显示任何大小为 3 的超边。 a Z X Q 1 Q 9 Z Q 17 Q 19 Q 20 Q 22 X b X Z Z X X Z Z X e Y f 在这里，我们专注于一个特定的 FT 电路，我们的许多技术可以更普遍地用于不同的代码和电路。图 1b 中的两个子电路用于测量 和 规范算子。 规范测量电路还通过测量标志量子比特来获取有用的信息。 X Z Z 我们通过首先将九个量子比特制备在 |+⟩ () 状态并测量 规范（ 规范）来制备逻辑 |+⟩ () 状态。然后我们执行 轮综合子测量，其中一轮包括 规范测量和 规范测量（分别按 规范和 规范顺序）。最后，我们在 ( ) 基中读出所有九个代码量子比特。我们对初始逻辑状态 |−⟩ 和 |+⟩ 也进行了相同的实验，只需分别将九个量子比特初始化为 |−⟩ 和 |+⟩ 即可。 X Z r Z X X Z Z X 解码算法 在 FT 量子计算的设置中，解码器是一种算法，它以错误纠正代码的综合子测量作为输入，并输出对量子比特或测量数据的校正。在本节中，我们将描述两种解码算法：完美匹配解码和最大似然解码。 解码超图 [^15^] 是 FT 电路收集的信息的简洁描述，可供解码算法使用。它由一组顶点（或称易错事件） 和一组超边 组成，这些超边编码了由电路中的错误引起的事件之间的相关性。图 1c-f 描绘了我们实验的解码超图的部分内容。 V E 使用标准的 Gottesman-Knill 模拟 [^25^] 或类似的 Pauli 追踪技术 [^26^]，可以为具有 Pauli 噪声的稳定子电路构建解码超图。首先，为每个在无错误电路中是确定性的测量创建一个易错事件。确定性测量 是任何结果 ∈ {0, 1} 可以通过对一组早期测量 { } 的测量结果进行模二加法来预测的测量。即，对于无错误电路， = $\sum_i F M_i \pmod 2$，其中集 ${i}$ 可通过电路模拟找到。将易错事件的值设置为 - (mod 2)，在没有错误的情况下为零（也称为平凡）。因此，观察到一个非零（也称为非平凡）的易错事件意味着电路至少遭受了一个错误。在我们的电路中，易错事件要么是标志量子比特的测量，要么是同一稳定子后续测量的差值（有时也称为差值综合子）。 M m m i m m F M 接下来，通过考虑电路故障来添加超边。我们的模型包含几个电路组件的故障概率 p C 这里我们区分了在其他量子比特进行幺正门操作期间量子比特上的恒等操作 id，以及在其他量子比特进行测量和重置时量子比特上的恒等操作 id 。我们在测量后重置量子比特，而在实验尚未使用的量子比特我们进行初始化。最后 cx 是受控非门，h 是 Hadamard 门，x, y, z 是 Pauli 门。（参见方法“IBM_Peekskill 和实验细节”了解更多详情）。 的数值在方法“IBM_Peekskill 和实验细节”中列出。 m p C 我们的错误模型是电路退相干噪声。对于初始化和重置错误，在理想状态制备后，以相应的概率 和 应用 Pauli 。对于测量错误，在理想测量之前，以概率 应用 Pauli 。一个单量子比特幺正门（双量子比特门） 以 的概率遭受非恒等单量子比特（双量子比特）Pauli 错误中的一种，理想门之后。这三种（十五种）Pauli 错误中的任何一种都有相等的发生机会。 p init p reset X p m X C p C 当电路中发生单个故障时，它会导致某些易错事件变为非平凡。这个易错事件集成为一条超边。所有超边的集合是 。两个不同的故障可能导致相同的超边，因此每条超边都可以被视为代表一组故障，其中每组故障单独导致超边中的事件非平凡。与每条超边相关联的是一个概率，该概率在一阶近似下是该集合中故障概率的总和。 E 故障也可能导致一个错误，该错误传播到电路末端时，与一个或多个逻辑算子反交换，需要进行逻辑校正。我们假设通用情况是代码具有 个逻辑量子比特和 2 个逻辑算子的基，但请注意，对于实验中使用的重六边形代码， = 1。我们可以使用来自 {0, 1} 的向量来跟踪哪些逻辑算子与错误反交换。因此，每条超边 也标记有一个这样的向量 $\vec{l} \in \{0, 1\}^k$，称为逻辑标签。请注意，如果代码的距离至少为三，则每条超边都有一个唯一的逻辑标签。 k k k k h 最后，我们注意到解码器可以选择以各种方式简化解码超图。我们在这里总是采用的一种方法是去标志过程。来自量子比特 16、18、21、23 的标志测量被简单地忽略，不应用任何校正。如果标志 11 非平凡而 12 为平凡，则将 应用于 2。如果 12 非平凡而 11 为平凡，则将 应用于量子比特 6。如果标志 13 非平凡而 14 为平凡，则将 应用于量子比特 4。如果 14 非平凡而 13 为平凡，则将 应用于量子比特 8。有关为什么这足以实现容错的详细信息，请参见参考文献 [^15^]。这意味着，与其直接将标志量子比特测量中的易错事件包含在内，不如通过使用标志信息来应用虚拟 Pauli 校正并相应地调整后续的易错事件来预处理数据。对于去标志超图的超边可以通过稳定子模拟来找到，该模拟包含 校正。设 表示轮次数。去标志后，对于 （分别为 基）实验， 的大小为 | | = 6 + 2（分别为 6 + 4），因为每轮测量六个稳定子，并在状态制备后有两个（分别为四个）初始易错稳定子。 的大小类似地为 | | = 60 − 13（分别为 60 − 1），对于 > 0。 Z Z Z Z Z Z r Z X V V r r E E r r r 分别考虑 和 错误，将表面码的最小权重错误校正问题转化为图 [^4^] 中最小权重完美匹配问题。匹配解码器因其实用性 [^27^] 和广泛适用性 [^28^, [^29^] 而继续被研究。在本节中，我们将描述我们距离为 3 的重六边形代码的匹配解码器。 X Z 用于最小权重完美匹配的解码图，一个用于 错误（图 1c），一个用于 错误（图 1d），实际上是上一节中解码超图的子图。这里我们重点关注用于纠正 错误的图，因为 错误图是类似的。在这种情况下，从解码超图中，我们保留对应于（后续测量之间差值） 稳定子测量的节点 以及它们之间的边（即大小为二的超边）。此外，还会创建一个边界顶点 ，并将 { } 形式的大小为一的超边（其中 ∈ ）表示为包含边 { , }。 错误图中的所有边都继承了它们对应超边的概率和逻辑标签（参见表 1，其中包含 2 轮实验的 和 错误边数据）。 X Z X Z Z V Z b v v V Z v b X X Z 完美匹配算法接收一个带有加权边的图和一个偶数大小的突出节点集，并返回一个图中的边集，该边集将所有突出节点配对，并且总权重在所有此类边集中最小。在我们的例子中，突出节点是非平凡的易错事件（如果数量为奇数，则边界节点也突出显示），并且边权重要么选择为 1（均匀方法），要么设置为 $w_e = -\log(p_e)$，其中 是边概率（解析方法）。后一种选择意味着边集的总权重等于该集合的对数似然度，而最小权重完美匹配试图最大化图边上的此似然度。 p e 给定最小权重完美匹配，可以使用匹配中的边的逻辑标签来决定对逻辑状态的校正。或者，匹配解码器的 错误（ 错误）图使得每条边都可以与代码量子比特（或测量错误）相关联，将一条边包含在匹配中意味着应该对相应的量子比特应用 ( ) 校正。 X Z X Z 最大似然解码 (MLD) 是一种最优但不可扩展的解码量子纠错码的方法。在其最初的概念中，MLD 应用于现象学噪声模型，其中错误仅在测量综合子之前发生 [^24^, [^30^]。这当然忽略了错误可以传播通过综合子测量电路的更现实的情况。最近，MLD 已扩展到包括电路噪声 [^23^, [^31^]。在这里，我们将描述 MLD 如何使用解码超图来纠正电路噪声。 MLD 根据对易错事件的观察推断最可能的逻辑校正。这是通过计算 Pr[ , ] 的概率分布来完成的，其中 代表易错事件， 代表逻辑校正。 β γ β γ 通过包含解码超图（图 1c-f）中的所有超边，从零错误分布开始，即 Pr[0 , 0 ] = 1，我们可以计算 Pr[ , ]。如果超边 具有发生的概率 ，且独立于任何其他超边，我们通过执行更新来包含 | | V 2 k β γ h p h h 其中 $\vec{\beta}_h$ 只是超边的二元向量表示。应该对 中的每个超边应用一次此更新。 E 一旦计算出 Pr[ , ]，我们就可以使用它来推断最佳逻辑校正。如果在实验运行中观察到 $\beta^*$， β γ 表示逻辑算子的测量结果应如何校正。有关 MLD 特定实现的更多详细信息，请参阅方法“最大似然实现”。 实验实现 为了进行此次演示，我们使用了 ibm_peekskill v2.0.0，一个 27 量子比特的 IBM Quantum Falcon 处理器 [^32^]，其耦合图支持距离为 3 的重六边形代码，参见图 1。每次轮次的量子比特测量和随后的实时条件重置总时间为 768ns，所有量子比特均相同。所有综合子测量和重置同时进行以提高性能。在所有代码量子比特各自的空闲时段内，添加了一个简单的 - 动态解耦序列。 Xπ Xπ 量子比特泄漏是导致解码器设计所假设的 Pauli 退相干错误模型可能不准确的一个重要原因。在某些情况下，我们可以在测量量子比特时检测它是否已泄漏出计算子空间（有关后选择方法及其局限性的更多信息，请参见方法“后选择方法”）。利用这一点，我们可以对未检测到泄漏的实验运行进行后选择，类似于参考文献 [^18^]。 在图 2a 中，我们初始化逻辑状态 |+⟩ ()，并应用 轮综合子测量，其中一轮包括 和 稳定子（每轮总时间约 5.3 s，图 1b）。使用解析完美匹配解码器对完整数据集（每轮 500,000 次拍摄）进行分析，我们在图 2a 中提取了逻辑错误，分别为 |+⟩ () 和 |−⟩ () 状态的红色（蓝色）三角形。优化的参数的详细信息可以在方法“IBM_Peekskill 和实验细节”中找到。将完整衰减曲线（公式 (14)）拟合到 10 轮，我们在图 2b 中提取了每轮逻辑错误（无后选择），对于 |+⟩ () 为 0.059(2) (0.058(3))，对于 |−⟩ () 为 0.113(5) (0.107(4))。 r X Z μ 逻辑错误与综合子测量轮数 的关系图，其中一轮包括 和 稳定子测量。蓝色向右三角形（红色三角形）表示使用匹配解析解码器对 |+⟩ () 状态的原始实验数据获得的逻辑错误。浅蓝色方块（浅红色圆圈）表示使用相同解码方法对 |−⟩ () 状态获得的逻辑错误，但使用泄漏后选择的实验数据。误差条表示每次运行的采样误差（原始数据 500,000 次拍摄，后选择数据拍摄次数可变）。虚线拟合了图 2b 中绘制的每轮错误率。 对泄漏后选择的数据应用相同的解码方法，显示了对所有四个逻辑状态的总体错误率的显著降低。有关后选择方法的详细信息，请参阅方法“后选择方法”。拟合的每轮拒绝率为 4.91%、4.64%、4.37% 和 4.89%，分别对应于 4 种逻辑状态。误差条表示拟合速率的一个标准偏差。 , 使用后选择数据，我们比较了使用四种解码器获得的逻辑错误：匹配均匀（粉色圆圈）、匹配解析（绿色圆圈）、匹配解析（带软信息）（灰色圆圈）和最大似然（蓝色圆圈）。（参见图 6，用于 |−⟩ 和 |⟩）。虚线拟合的速率显示在 , 中。误差条表示采样误差。 , 使用泄漏后选择的数据，在四种逻辑状态下，比较了使用匹配均匀（粉色）、匹配解析（绿色）、匹配解析（带软信息）（灰色）和最大似然（蓝色）解码器的每轮拟合错误率。误差条表示拟合速率的一个标准偏差。 a r Z X b c d e f e f 对泄漏后选择的数据应用相同的解码方法可减少图 2a 中的逻辑错误，并得到图 2b 中所示的 |+⟩ () 状态的拟合错误率为 0.041(1) (0.044(4))，|−⟩ () 状态的拟合错误率为 0.088(3) (0.085(3))。每轮后选择的拒绝率为 4.91%、4.64%、4.37% 和 4.89%，分别对应于 |+⟩, |−⟩, |⟩, |⟩。有关详细信息，请参阅方法“后选择方法”。 在图 2c-f 中，我们比较了所有四种逻辑状态在每个轮次的逻辑错误和提取的每轮逻辑错误，这些数据来自后选择数据集，使用了我们在“解码算法”部分描述的三种解码器。我们还包括了一个解析解码器的版本，该版本利用软信息 [^33^]，这将在方法“软信息解码”中进行描述。我们观察到（参见图 2e, f），从匹配均匀（粉色）到匹配解析（绿色），再到匹配解析（带软信息），最后到最大似然（灰色），解码性能一致提高，尽管对于 基逻辑状态的这种提高不那么显著。在方法“r = 2 轮次的逻辑错误”中，提供了对所有四种逻辑状态在 = 2 轮次时三种解码器之间的定量比较。 X r 基状态性能差于 基状态至少有三个原因。第一个是电路中的自然不对称性。测量 稳定子所需的较大深度导致 错误在数据量子比特上累积的时间更长而未被发现。这得到了模拟的支持，例如参考文献 [^1^] 中的模拟（使用不同的解码器）以及此处方法“模拟细节”中的模拟，它们显示了此 = 3 代码的 基性能较差。其次，解码中的选择，特别是去标志步骤，可以通过将测量和重置错误有效地转换为数据量子比特上的 错误来加剧不对称性。这导致了有效的 错误率很高，即使使用最大似然解码也无法显著改善。相比之下，如果我们仅对第一轮测量进行去标志，则最大似然解码器在 = 2 轮次、|⟩ 实验上的逻辑错误率会降低约 2.8%，降至 18.02(7)%。对于较大的轮次计数，这样的标志解码会耗时，因为将标志节点添加到解码超图会大大增加其大小。最后，解码器的性能仅与其噪声模型的准确性相当。非退相干噪声源（如我们知道存在的旁观者 错误）并未被我们的任何解码器建模，并且会对 基状态产生更不利的影响。更准确地估计和包含这种实验噪声及其对容错的影响是未来研究的重要课题。 X Z Z Z d X Z Z r ZZ X 讨论 本研究提出的结果强调了量子硬件（在规模和质量方面）与经典信息处理（同时进行电路执行和异步进行，如所研究的解码器所述）联合进展的重要性。我们的实验将中间电路测量和条件操作作为 QEC 协议的一部分。这些技术能力为进一步增强动态电路在 QEC 中的作用奠定了基础，例如实现实时校正和其他对于大规模 FT 计算至关重要的前馈操作。我们还展示了此类规模和功能的 QEC 实验平台如何能够激发关于更鲁棒解码器的新想法。我们对完美匹配解码器和最大似然解码器之间的比较为理解解码器可扩展性与在实验噪声存在下的性能之间的权衡提供了一个有希望的起点。更好的噪声建模和预解码错误 [^34^, [^35^] 的技术可能会提高这些解码器的性能和运行时间。 所有这些关键组件将在更大距离的代码中发挥至关重要的作用，其中实时操作（量子比特条件重置和泄漏消除、逻辑门传输协议以及解码）的质量以及器件噪声水平将决定代码的性能，可能能够通过增加代码距离来演示逻辑错误抑制。 方法 最小权重完美匹配边概率和实现 我们使用 Gottesman-Knill 定理 [^25^] 将 Pauli 错误传播通过我们的 Clifford 电路，并确定哪些易错事件是非平凡的。图 3 显示了一个示例。如果 是特定 Pauli 错误的概率，而 是相应的非平凡事件集，则将 添加到边概率 。 p e p p e Pauli 错误通过带标志测量电路传播以进行 规范算子的两个示例。由于去标志引起的 Pauli 校正显示在虚线框中，并取决于标志量子比特的测量结果。在图的下半部分（蓝色），cx 门后跟一个概率为 /15 的 错误（蓝色）。随后的 cx 门将 错误传播到综合子量子比特 ，翻转测量 ，同时 错误在 上传播而不改变（它将影响未来的测量轮次）。传播的错误在虚线圆圈中。注意标志测量 没有翻转，因为 Hadamard 门将 错误转换成了无害的 错误。在图的上半部分，Pauli 错误发生在标志量子比特上（红色），概率为 /15，并传播到 上的 错误和测量 （虚线圆圈）之前的 错误。去标志会将 应用于 ，从而抵消那里的错误，使得最终传播的错误只是测量 的翻转。 Z Z p cx XY X Q 19 m Y Q 2 b X Z Z p cx Q 6 Z a X Z Q 6 a 请注意，对于状态 |+⟩ 和 |−⟩ 上的实验，我们只需要纠正 错误，因此只使用 稳定子，图 1c。对于状态 |⟩ 和 |⟩ 上的实验，我们只需要使用图 1d 中的图纠正 错误。表 1 给出了 |+⟩ 和 |⟩ 2 轮实验的边概率。我们仅展示 = 2 轮综合子提取的边权重，因为这捕捉了时间边界 = 1 和 = + 1 的行为，以及 1 2 的情况，后者的大部分行为会随着时间的推移而重复。 X Z Z r t t r t r r 为了实现匹配，我们使用 PyMatching [^28^] 来执行匹配和解码。设置解码图后，解码整个泄漏后选择的数据集（即，通常在 100,000 到 200,000 个唯一位字符串之间）大约需要 10 秒，这在很大程度上与 > 1 无关。 r 最大似然实现 实现最大似然解码 (MLD) 至少有两种不同的方法，我们称之为解码器的离线和在线实现。尽管它们产生相同的结果，但根据具体应用，实现方式在运行时间上可能差异很大。 在离线情况下，我们计算并存储整个分布 Pr[ , ]，并查询它以确定每个电路运行的校正。计算需要 (| | β γ O E 2| | + 2 ) 时间，因为我们必须对分布执行来自公式 (6) 的更新，以处理 中的每个超边。使用公式 (7) 确定校正需要每个运行 (2 ) 时间。 V k E O 2 k 或者，我们可以不计算整个分布，而是计算特定于数据集中每个观测字符串 * 的稀疏分布。在线 MLD 通过在执行更新时修剪分布来实现，只保留与 * 一致的条目。我们设想一次接收 * 的一个比特。对于第 个比特，使用公式 (6) 对包含比特 且尚未包含的所有超边进行更新。事实上，对于给定的比特，所有这些更新都可以合并为一个预先计算的转换矩阵。由于不再对比特 进行任何进一步的更新，我们现在可以通过仅保留 Pr[ , ] 中满足 $\beta_j = \gamma_j$ 的条目来截断分布。 β β β j j j β γ 我们以 0 轮、|⟩ 实验为例快速演示此过程。这里只有 | | = 2 个易错事件和 | | = 3 条超边。将超边参数组织为 ($\vec{\beta}_h$, $\vec{\gamma}_h$): ，我们写道 V E p h 其中我们省略了 的 位，因为 校正与 |⟩ 实验无关。这对应于图 1c 中只有一轮的图，而 , , 的表达式是表 1 的最后三行。我们将在下面使用 $\bar{p}$ 表示 1 - 。 γ h Z L Z L p 1 p 2 p 3 p 假设我们要解码观测值 * = 01。我们从概率分布 = {(00, 0): 1} 开始。此表示法表示 Pr[ = 00, = 0] = 1。所有其他的 和 值概率为零，未写出。根据超边 (10, 1) 和 (11, 0) 执行更新以获得 β P 0 β γ β γ 现在我们可以截断分布，因为我们已经完成了所有涉及第一个事件的更新。由于 * 的第一位是 0，因此我们剩下 β 现在更新将针对涉及第二个事件的任何其他超边进行，在此仅为 (01, 0)。 这同样被截断为 为了确定 * 是否需要逻辑校正，比较 $\sum_{\gamma} \text{Pr}[01, \gamma]$ 与 $\sum_{\gamma} \text{Pr}[11, \gamma]$。由于 在实验错误率上是二阶的，而 是一阶的，我们推断发生逻辑错误的概率较低，并且不应用校正。 β p error p noerror 假设截断第 位后的概率分布中的非零项的数量为 。在在线 MLD 过程中，概率分布的最大瞬时大小为 。确定校正的总时间是每个运行 ( ) 时间，假设每个比特的超边更新次数恒定。请注意， 取决于解码超图以及合并易错事件的顺序。可以说，对于 [[ , ]] 代码，重复进行综合子测量轮次，并按时间顺序合并事件， ≈ 2 * 。下界成立是因为在完成一整轮的更新和截断后， - 个稳定子比特中的任何一个都可能由于综合子测量错误而翻转。上界源于超边被限制在最多包含连续两轮的事件。 j S j S max O S max S max n k S max k n n k 在线解码器也适用于动态规划，存储部分计算的概率分布直到某个中等大小的 。这通过避免重复相同的计算来节省时间，当观察值具有相同的前缀时进行解码。例如，在上面的例子中，我们可以存储 ，因为观测值 * = 00 和 01 都将计算它。在对三轮实验的分析中，我们存储到 = 15 的分布，而对于四轮，我们保留到 = 21，这在很大程度上是为了平衡时间和内存消耗。 j P 1 β j j 由于在线 MLD 每个运行需要指数级（相对于 ，代码中的物理量子比特数量）时间，如果 | | 足够小，则离线 MLD 更可取。如果 | | 很大但 和 很小（可能是执行多轮综合子测量的小代码实验），则在线解码器成为唯一可行的选择。 n V V n k 在目前的实验中，在线 MLD 比离线 MLD 更适合三轮及以上。对于 = 2，无论是离线还是在线 MLD，都可以在大约 90 秒内解码完整的逻辑 特征态数据集（约 13,000 个唯一位字符串），以及大约 12 分钟内解码逻辑 特征态数据集（约 21,000 个唯一位字符串）。然而，对于 = 10，在线 MLD 对完整数据集（约 130,000 个唯一位字符串）可能需要长达 3 周的时间。 r Z X r 所有 ≥ 3 的在线 MLD 计算都在共享的 x86_64 Linux 服务器上运行。我们没有探索使用 FPGA 等专用硬件。然而，考虑到时间复杂度中的 2 因子，我们不期望在线 MLD 对于更大的量子设备是可行的。 r k 模拟细节 我们使用 Qiskit 软件堆栈 [^36^] 的稳定子模拟来获得理论模拟结果。为了估计 IBM Quantum Falcon 系统上量子纠错电路的性能，我们使用定制的噪声模型对映射到 Falcon 设备的量子电路进行了模拟，以反映实验硬件的噪声行为。 我们使用退相干噪声模型来模拟电路错误，以便可以捕获不同强度错误源的影响。噪声模型是根据“解码算法”部分中描述的错误位置和错误通道构建的，使用： 量子电路中每个单量子比特和双量子比特操作的退相干错误模型，错误率通过同步随机基准测试 (RB) 获得。 用于测量、初始化和重置操作错误的比特翻转错误模型。 空闲错误的退相干噪声模型。 使用上述描述的噪声模型，我们定义了一个现实的退相干噪声模型，其中模拟使用直接从本工作使用的 IBM Quantum 处理器 ibm_peekskill 导出的噪声参数（表 2 和表 3）进行，包括： 每个单量子比特和双量子比特量子操作的特定错误率，退相干量子通道参数通过同步 RB 获得，关系如下： 其中 , , 分别代表每个门的错误率、门中的量子比特数和退相干量子通道参数。 ϵ gate n α gate 表 2 中所述的初始化、测量和重置错误。 空闲错误，噪声强度与门的相干性限制成正比，相干性限制是使用每个量子比特的 、 和空闲时间计算得出的，在执行电路中的每个量子操作期间。每个门的长度与实际设备匹配（电路调度与实验匹配）。 T 1 T 2 此外，为了演示在相对均匀的退相干错误模型中电路的平均性能，我们定义了一个平均退相干错误模型，其中我们使用整个设备的平均错误率而不是不同门和量子比特的特定错误率来定义退相干错误通道。 使用分析完美匹配解码器的参数 = [0.0126, 0.000266, 0.0, 0.001, 0.002, 0.000266, 0.000266, 0.0, 0.00713, 0.0142, 0.0290]，按照“解码算法”部分定义的错误位置顺序，我们获得了最多 10 次综合子测量轮次的电路的模拟每轮逻辑错误率，在现实（平均）退相干错误模型的影响下，对于逻辑状态 |+⟩ 分别为 0.059 (0.038)，对于逻辑状态 |⟩ 分别为 0.152 (0.106)。与泄漏后选择数据上的每轮逻辑错误（使用解析匹配解码）相比（如图 2a 所示），对于 |+⟩ 为 0.0409，对于 |⟩ 为 0.0882，使用平均退相干错误模型获得的每轮逻辑错误比现实模型更好地匹配数据。然而，平均模型仍然高估了 |⟩ 状态，表明这个更简单的模型未能完全捕捉系统中的错误。我们认为现实模型高估了 Z 和 X 基错误，部分原因是模型提供的错误基准（见表 2 和表 3）本身不考虑泄漏，因此错误基准可能因泄漏错误而膨胀。我们也确实看到现实模型在预测 |+⟩ 方面比预测 |⟩ 效果更好。这是一个开放的研究领域，对于模拟，也许也用于解码，以更好地捕捉实验数据（除了泄漏）。 p C IBM_Peekskill 和实验细节 本节中的数据使用了量子比特编号（ ，与图 1a 中的 符号对比）表示在图 4a 中，与标准的 IBM Quantum Falcon 系统匹配。单量子比特基准测试 ibm_peekskill 总结在表 2 中，其中所有量子比特（虚拟 Z 门除外）的单量子比特门均为 35.55ns。虽然 Falcon 布局有 27 个量子比特，但对于本文中提出的 d=3 电路，我们只需要使用其中 23 个量子比特，如图 4a 所示，排除了量子比特 、 、 和 。 QFN Q N QF 0 QF 6 QF 20 QF 26 图 1a 量子比特编号 ( ) 到标准 IBM-Falcon 编号 ( ) 的转换。 所有连接的量子比特对之间的静态 ZZ 与量子比特之间的失谐关系。中值量子比特非谐性，参见表 2 的细目，为 -345 MHz。 a Q N QFN b 完整尺寸图片 ibm_peekskill 上连接量子比特之间的持续耦合还会导致不期望的静态 ZZ，如图 4b 所示，作为量子比特-量子比特失谐的函数。为了缓解其中一些影响，在整个电路中，一个简单的 - 动态解耦序列被添加到代码量子比特上。此外，通过引入混合维度同步 RB [^37^]，我们可以通过比较标准 RB 获得的单量子比特和双量子比特门错误（旁观者量子比特/门完全空闲或与设置为 和 检查的调度要求同步驱动）来进一步捕获这种耦合的不期望的副作用。因此，未包含在此额外特性（表中为 NaN）中的门和量子比特的同步门错误（在主文本中进行的实验期间始终空闲）。这些结果显示在表 2 和表 3 中。在 ibm_peekskill 上对双量子比特门进行了优化，以确保在同步基准测试中没有显著的门错误退化或计算流形泄漏增加。 Xπ Xπ Z X 使用参考文献 [^15^] 中提出的相同方法，利用测量结果作为条件的重置操作用于图 1b 中所示的中间电路重置操作。测量 + 重置周期的总时间为 768ns，包括大约 400ns 的测量脉冲、与经典控制路径延迟重叠的腔衰减时间，以及条件 的应用。为了保持一致性，所有量子比特都经过校准，使用相同的持续时间脉冲和延迟，并单独校准脉冲幅度以优化读出的 QND 性。 Xπ 为了优化实验数据上解析完美匹配解码器的性能，在同一硬件上对距离为 3 的重六边形代码的一次轮稳定子测量实验数据运行了一个优化算法，以找到一组输入错误参数，这些参数最小化了解码器输出的逻辑错误率。在这里，我们选择使用 L-BFGS-B 算法 [^38^]，因为它优化效率高并且能够处理简单的线性约束。通过从设备校准获得的物理噪声参数开始，迭代更新参数，同时最小化整体逻辑错误来完成此优化。它旨在补偿解码器对实际噪声过程缺乏了解，并输出一组能够提高解码器性能的解码参数。优化产生了以下用于解析完美匹配解码算法的输入错误参数集 = [0.01, 0.00028, 0.0, 0.001, 0.002, 0.00028, 0.00028, 0.0, 0.0005, 0.0, 0.00001]，按照“解码算法”部分定义的错误位置顺序。 p C 我们使用以下方程来拟合综合子测量轮次 时的逻辑错误： r 其中 是 SPAM 错误， 是综合子测量轮数， 是每轮综合子测量的逻辑错误率（图 2b, e, f）。 A r ϵ 系统中的泄漏 计算空间之外的泄漏错误（由状态 |g⟩ 和 |e⟩ 组成）到 |f⟩ 或更高状态是我们的量子纠错代码无法纠正的，因此对容错计算构成严重威胁。对于固定频率的超导量子比特，一组特定的量子比特频率分配可能导致交叉共振门操作期间的频率冲突 [^2^]。例如，当目标量子比特频率接近控制量子比特的 → 跃迁频率时，在双量子比特门操作期间会引发泄漏错误。另一个例子是双量子比特门与旁观者单量子比特门同时操作，此时旁观者量子比特频率与目标量子比特频率相匹配，导致控制量子比特的 → 跃迁。这可能导致泄漏错误，可以通过相应单量子比特和双量子比特门的随机基准测试来表征 [^39^]。 e f e f 测量期间也可能发生泄漏错误 [^40^]。当我们通过增加测量功率来加快测量时间时，量子比特更容易发生泄漏。我们通过重复测量量子比特并提取泄漏率来表征这种测量引起的泄漏。实验描述在图 5a 中，其中序列由 /2 组成，然后是测量音。 /2 脉冲会将 |g⟩ 或 |e⟩ 映射到布洛赫球的赤道上，因此该序列在随后的测量中随机采样 |g⟩ 或 |e⟩。由此获得的测量泄漏率是 |g⟩ 和 |e⟩ 状态泄漏率的平均值。通过准备 |g⟩, |e⟩, |f⟩ 状态，使用最接近的分布均值作为每个结果的校准数据，然后应用参考文献 [^41^] 中描述的用于多量子比特读出的形式主义来约束单量子比特三态子空间，来对图 5a 中的序列获得的结果进行分类。这种单量子比特读出误差校正应用于每个迭代脉冲序列获得的测量集合。测量序列重复 = 70 次，我们对每次 的 10,000 次拍摄取平均值，以计算量子比特被归入 |e⟩ 状态的平均概率。图 5b 显示了测量泄漏概率 ，即量子比特在每次测量时泄漏到 |e⟩ 状态的概率。（有关更多详细信息，请参见表 2）。最终达到由测量泄漏和渗漏率确定的 |e⟩ 状态的稳态布居。我们使用以下方程提取泄漏和渗漏率 Xπ Xπ m m P leak 其中泄漏率 Γ 是量子比特在测量期间泄漏的概率，渗漏率 Γ 是泄漏状态在测量期间返回到量子比特子空间的概率。在这里，Γ 测量每次测量的速率，因此它是一个无量纲量。获得的 Γ 的平均值和中值分别为每次测量 6.54 × 10 和 4.86 × 10 。 L S , L S L −3 −3 用于提取测量期间泄漏错误的重复测量序列。 /2 脉冲允许我们随机采样来自 |g⟩ 或 |e⟩ 状态的泄漏事件。 在 14 处测量的到 |e⟩ 状态的泄漏概率 ( )。通过用公式 (15) 拟合数据来获得泄漏和渗漏率。 , 系统中的量子比特泄漏作为 - 和 -基逻辑状态的综合子测量轮次的函数。条形图显示了根据随机基准测试（2Q 门）和 中所示序列获得的 | ⟩ 状态的泄漏率，计算方法为 = 1 − 。作为对比，显示了实验结果（黑色符号），其中 是根据方法“后选择方法”中概述的方法计算的接受概率。这里绘制的实验结果不包括初始化泄漏。 12（参见图 4a）的读出校准数据。量子比特被制备在 |g⟩, |e⟩, |f⟩ 状态并进行测量。收集的统计数据可见于蓝色 (), 红色 (), 和灰色 ()，其中虚点线表示每个分布的 3- 。 12 在量子比特初始化后的三态分类结果， 在第一次 -综合子测量后的结果。 a Xπ b QF P leak c d Z X a f P leakage p accept p accept e QF σ f QF g X 我们从同步随机基准测试中提取了 |g⟩ 状态的双量子比特门泄漏和渗漏率，同步选择匹配图 1 中所示的 - 和 -稳定子序列。同样，我们从重复测量（图 5a）中提取泄漏/渗漏率。在这些估计中，我们考虑了每个综合子/标志量子比特以及最后测量的代码量子比特的门操作和测量的数量。例如，对于逻辑 -基的两轮实验包括状态制备的 -检查，两轮 -和 -检查，以及代码量子比特的最终测量。每次检查由双量子比特门和测量组成。结果是，有三组在 -检查量子比特上的双量子比特门和测量，两组在 -检查量子比特上的双量子比特门和测量，以及代码量子比特的一次测量。后选择程序丢弃了任何量子比特泄漏出计算子空间的结果。因此，我们将所有泄漏概率相加，以计算每轮综合子测量的 。 Z X Z X X Z X Z P leakage 图 5c, d 显示了逻辑 -和 -基的泄漏概率 作为轮数的函数。黑色符号表示根据方法“后选择方法”概述的方法在纠错电路过程中检测到的泄漏。此方法只能检测泄漏的发生，无法区分泄漏的原因（测量 vs. 2Q 门）。通过本节的分析，我们得到了每个条形图（图 5c, d）的估计值，分别代表双量子比特门（蓝色）和测量（红色）操作的 。结合起来，估计的每轮泄漏率与实验值相当匹配。 Z X P leakage P leakage 此分析表明，减少双量子比特门和测量的泄漏错误都很重要。在我们的架构中，减少由双量子比特门引起的泄漏将与更慢的门相关。关于测量，如上所述，众所周知，超导量子比特系统上的强驱动会过渡到计算空间之外 [^40^] 和约瑟夫森余弦势的限制之外 [^42^]。因此，在读出错误和测量长度与泄漏概率之间需要权衡。较慢的读出会增加未测量量子比特的空闲时间，从而影响系统。已有建议通过将所有量子比特激发转移到读出谐振器（然后它们衰减到环境中）[^43^] 或通过设计利用量子比特-谐振器系统特定跃迁能级的读出谐振器泄漏减少单元 (LRU) [^44^]，它们将泄漏错误转换为 Pauli 错误来处理超导量子比特系统中的泄漏。LRU 也被提出在代码层面 [^45^]。这些选项，以及读出和控制电子设备中更高的分支能力，用于将量子比特从更高激发态有条件地重置到基态，可以在未来演示量子纠错的实验系统中进行探索。 后选择方法 我们对所有结果进行后选择，以去除系统中任何量子比特检测到的泄漏事件。为此，我们查看每个量子比特在制备为 |g⟩, |e⟩, |f⟩ 状态时的 5000 次积分输出。图 5e 显示了 12（参见图 4a）的校准数据。在本次工作中使用的所有 23 个量子比特中，|g⟩ 和 |e⟩ 状态之间的重叠很大，这使得这些状态的分类具有挑战性。此外，衰减事件（|e⟩ 到 |g⟩, |f⟩ 到 |e⟩, 或 |f⟩ 到 |g⟩）的存在可能会影响使用此训练数据进行监督学习协议的结果。我们转而使用具有三个簇的混合高斯模型 (GMM) 对我们的校准数据应用聚类方法，每个簇具有独立的对角协方差矩阵。协方差矩阵的对角线项可用于提取每个量子比特状态分布的标准差。这为我们提供了一种定义比例如 K-均值等更简单的聚类算法更灵活的分类规则的便捷方式。一旦从校准数据中确定了质心和标准差（ 和 ），我们就根据在相应质心周围每个轴上 3 的半径定义的 / 平面内的区域来定义每个状态的区域（参见图 5）。 QF σ I σ Q σ I Q 对于任何给定量子比特的任何测量，如果积分输出在 |e⟩ 状态区域内且 象限为负，则我们将该输出分类为 |e⟩。如果积分输出不在 |e⟩ 状态区域内或 象限为正，如果在 |g⟩ 状态区域内，我们将其分类为 |g⟩，如果在 |f⟩ 状态区域内但不在 |e⟩ 状态区域内，我们将其分类为 |f⟩。对于所有其他结果，我们根据最接近的质心对输出进行分类。 I I 此分类方法应用于每个量子比特的每次测量后，并且丢弃了任何量子比特被测量为 |f⟩ 的实验运行。图 5f 显示了最后一个初始化测量后 12 的读出结果。我们只丢弃不可纠正的错误（|f⟩ 状态），并保留量子比特在初始化后处于 |g⟩ 状态的实验镜头，因为这应该是代码可纠正的错误。图 5g 显示了第一次 -综合子检查后 12 的结果，用于逻辑 |g⟩ 状态制备。初始化和中间电路都包含我们实验中每个纠错运行使用的 500,000 次拍摄。对于初始化分类，我们分别为 |g⟩, |e⟩, |f⟩ 状态获得了 0.9910, 0.0071, 和 0.0019 的布居数。对于中间 -综合子分类，观察到的布居数为 0.4972, 0.4962, 和 0.0066。 QF X QF X r = 2 轮次的逻辑错误 表 4 展示了我们在此工作中研究的解码器在逻辑状态 |g⟩, |e⟩, |⟩, |⟩ 的状态制备和两轮综合子测量下的比较。这些结果对应于图 2c, d 和图 6 在 = 2 轮次的值。 r 软信息解码 在正文中，从实验数据中推断出二元测量结果 (0 或 1) 并用于解码。然而，已有研究表明 [^33^]，利用软测量信息（在将其转换为硬二元信息之前）可以提高解码性能。在这里，我们尝试使用匹配解码器采用此策略，并发现我们的每轮逻辑错误率有所改善。 首先，我们描述软信息解码的工作原理。对于每次测量，可以根据“后选择方法”中描述的 3 个分类高斯分布计算三个概率。这些概率是 ( | )，即测量结果 的概率，假设真实的量子比特状态是 = 0, 1, 2。在泄漏后选择后，我们假设量子比特不在状态 |f⟩，因此只有 = 0, 1 的概率会进入我们修改后的匹配算法。 P m i m i i 我们可以使用贝叶斯定理写出 Pr( | ) = Pr( | )Pr( ) / Pr( )。我们形成似然比 [^33^] i m m i i m 其中 $m_{hard}$ 是对应于测量 的硬输出。我们还假设先验概率 (0) = (1)。这是一个不太准确的假设，尤其是对于标志量子比特，它们大部分时间应该处于 |g⟩ 状态。然而，这简化了似然比为 = ( |0) / ( |1)，这是直接从实验读出计算出的概率的比率。输入更多先验信息，例如来自 Pauli 追踪的预期概率，是改进软信息解码的一种方法。 m P P L 01 P m P m 我们现在修改解码图中的边权重 和边翻转概率 （与均匀匹配和解析匹配解码器相同的图）。第一个变化是表 1 中的 $\bar{p}_e$ 被适当的似然比 $L_{01}^{(e)}$ 取代。请注意，虽然 $\bar{p}_e$ 表示测量失败的平均概率，但 $\bar{p}_e$ 对于 18 + 15（或 18 + 21）个测量中的每一个都不同，取决于 -基（或 -基）实验，因此 Pauli 追踪必须修改为为每个测量分配唯一的似然比。最后，因为我们现在使用似然比，我们将其他所有项 在 $w_e = -\log(a_i p_i)$ 中，对于 $i=0,1$，替换为 $a_i p_i / (1-p_i)$，并设置 $a_2 = 0$。 w e p e r r Z X a i p i 使用这些修改后的边权重对泄漏后选择的数据进行最小权重完美匹配，得到图 2c, d 和图 6 中的逻辑错误率。我们也尝试在边概率中使用硬 $m_{hard}$ 和软似然比 $L_{01}$ 项，但这产生了更差的错误率。可能 $L_{01}$ 的值可以调整以改进这种硬软结合解码。 数据可用性 数据可根据要求提供给合作作者。 参考文献 Chamberland, C., Zhu, G., Yoder, T. 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Proc. IEEE International Symposium on Information Theory (ISIT) Sundaresan, N. et al. Reducing Unitary and Spectator Errors in Cross Resonance with Optimized Rotary Echoes. , 020318 (2020). PRX Quantum 1 致谢 作者感谢 Christophe Piveteau 的细致审阅，并感谢 Malcolm Carroll 关于使用噪声参数进行模拟的讨论。我们还感谢 John Lapeyre 将代码库从 Python 转换为 Julia，以便于调试和多线程。该设备由 IBM 内部设计和制造。我们承认使用 IBM Quantum 服务进行此项工作，并且这些结果得益于 IBM Quantum 软件和硬件团队的工作。这项代码演示工作得到了 IARPA 在 LogiQ（合同 W911NF-16-1-0114）项目下的支持 - N.S., T.J.Y., Y.K., M.L., E.H.C., G.H., T.T., A.W.C., A.D.C. 和 M.T.。此处包含的所有事实陈述、意见或结论均属于作者，不应被解释为代表美国政府的官方观点或政策。 本文在 nature 上提供，采用 CC BY 4.0 Deed (Attribution 4.0 International) 许可。