Mở rộng cho các sơ đồ Hilbert: Tính ổn định của GIT

Bảng liên kết

• Tóm tắt và giới thiệu
• Bối cảnh về phối cảnh nhiệt đới
• Việc xây dựng mở rộng
• Độ ổn định của GIT
• Phối cảnh ngăn xếp
• Ngăn xếp mô-đun chuẩn
• Người giới thiệu

4. Độ ổn định của GIT

Trong phần này, chúng tôi thiết lập một số kết quả tương tự với kết quả của [GHH19] để mô tả các điều kiện ổn định GIT khác nhau trên sơ đồ X[n] đối với các lựa chọn có thể có của các gói dòng được tuyến tính hóa G được mô tả trong phần trước. Cụ thể, chúng tôi chỉ ra rằng các điều kiện ổn định này không phụ thuộc vào cấu trúc sơ đồ của các sơ đồ con không chiều có độ dài m, mà thay vào đó có thể được rút gọn thành tiêu chí tổ hợp trên cấu hình của n điểm.

4.1 Tiêu chí Hilbert-Mumford

Trong phần này, chúng ta sẽ nhắc lại định nghĩa về các bất biến Hilbert-Mumford và đưa ra một tiêu chuẩn bằng số cho tính ổn định và bán ổn định theo các bất biến này.

Cho H là một nhóm rút gọn hoạt động theo sơ đồ S, đúng trên trường đóng đại số k. Cho L là một bó đường rộng được tuyến tính hóa H. Khi đó nhóm con 1 tham số của H (ký hiệu là 1-PS để thuận tiện) được định nghĩa là đồng cấu

4.2 Hành động của nhóm con 1 tham số

4.3 Trọng số giới hạn và tổ hợp

Trong phần này, chúng tôi giải thích mối quan hệ giữa cái [GHH19] gọi là trọng số bị chặn và trọng số tổ hợp của các bất biến Hilbert-Mumford.

Giữ ký hiệu nhất quán nhất có thể với [GHH19], hãy

là họ phổ quát, với các hình chiếu thứ nhất và thứ hai p và q. Gói dòng

tương đối rộng khi l ≫ 0 và được tuyến tính hóa theo G, chính xác như trong Phần 2.2.1 của [GHH19].

Mối quan hệ giữa trọng số bị chặn và tổ hợp. Các bổ đề sau đây mô tả cách phân tích bất biến Hilbert-Mumford thành tổng các bất biến.

Lưu ý rằng, trong khi trọng số tổ hợp phụ thuộc vào việc lựa chọn bó đường được tuyến tính hóa thì trọng số bị chặn lại không phụ thuộc vào đó. Tương tự như [GHH19], chúng ta có thể chỉ ra rằng trọng số giới hạn, như tên gọi của nó, có thể được đưa ra một giới hạn trên.

Kết quả sau đây dựa trên Bổ đề 2.3 của [GHH19], với một số sửa đổi nhỏ cho phù hợp với bối cảnh của chúng ta.

Bây giờ chúng ta hãy thảo luận xem trọng lượng giới hạn ảnh hưởng như thế nào đến điều kiện ổn định tổng thể. Bổ đề sau đây trực tiếp từ [GHH19], nhưng chúng ta nhắc lại chứng minh của chúng ở đây để thuận tiện.

Bằng chứng . Như chúng ta đã chỉ ra rằng trọng số giới hạn có thể được biểu diễn dưới dạng

vấn đề chỉ là chọn một giá trị đủ lớn của l để làm cho trọng số tổ hợp lấn át trọng số bị chặn. Điều này cho phép chúng ta coi trọng số giới hạn là không đáng kể một cách hiệu quả và bỏ qua nó trong tính toán của mình.

Nhận xét 4.3.5. Ở đây lưu ý rằng Z như vậy không nhất thiết phải được hỗ trợ trơn tru và mọi điểm hỗ trợ của Z cũng không nhất thiết phải được chứa trong thành phần ∆.

Lặp lại quá trình này trên mọi k ∈ {1, . . . , n} sẽ cho chúng ta mô tả về L và chúng ta có thể hình thành bó dòng M tuyến tính hóa G từ bó dòng này theo cách được mô tả ở đầu phần này. Để biết thêm chi tiết về lý do tại sao điều này mang lại trọng số tổ hợp dương, hãy xem phần chứng minh bổ đề sau. Lưu ý rằng đây không phải là điều kiện ổn định GIT duy nhất mà Z ổn định.

Bằng chứng . Rõ ràng là trọng số tổ hợp có thể được viết dưới dạng tổng

4.4 Quỹ tích bán ổn định và thương GIT

Bằng chứng . Điều này tuân theo Bổ đề 4.3.3 và 4.3.7. Thật vậy, theo Bổ đề 4.3.3, nếu trọng số tổ hợp có thể viết dưới dạng

Bằng chứng . Chúng ta hãy chọn một gói dòng M tuyến tính hóa G tùy ý, không nhất thiết phải được xây dựng như trên, với Z có bất biến Hilbert-Mumford

Bằng chứng . Điều này tuân theo trực tiếp từ Bổ đề 4.4.1 và 4.4.2.

Bây giờ chúng ta có thể mô tả thương số GIT do các cấu trúc này tạo ra. Cho phép

Sau đó chúng ta nhớ lại từ Bổ đề 3.1.13, đẳng cấu

Đối với tất cả các lựa chọn của gói dòng được tuyến tính hóa được mô tả ở trên, thương số GIT trên cơ sở sẽ hoạt động như sau

Bằng chứng . Kết quả này suy ra trực tiếp từ tiêu chuẩn Hilbert-Mumford tương đối của [GHH15].