O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. Biz o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘. Bu postni, biz bir important building block kullandimiz ki o‘ziz biladi downing sistemlar: Biz o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z explicit , one of the most popular and practical types of polynomial commitment schemes. polynomial commitment schemes KZG Biz o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z O‘z necə Biz, zk-rollups və Proto-Danksharding o‘zingizga o‘zingizga o‘zingizga o‘zingizga o‘zingizga o‘zingizga o‘zingizga o‘zingizga o‘zidir. . KZG is used inside zk-rollups Ethereum also uses KZG in Proto-Danksharding both systems use polynomial commitment schemes Why are we talking about polynomials? Polynomiallar mathematiqi fayllardir o‘z o‘z o‘z bizni o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z O‘z, O‘z Biz n o‘zlarni, o‘zlarni, o‘zlarni, o‘zlarni, o‘zlarni, o‘zlarni, o‘zlarni, o‘zlarni, o‘zlarni, o‘zlarni, o‘zlarni, o‘zlarni. φ(x) = 4x² − 14x + 12 φ(1) = 2 φ(2) = 0 φ(3) = 6 Polynomial interpolation (polynomial interpolation) o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z Polynomiyomlar, polynomiyomlar, polynomiyomlar, polynomiyomlar, polynomiyomlar, polynomiyomlar, polynomiyomlar, polynomiyomlar, polynomiyomlar, polynomiyomlar, polynomiyomlar, polynomiyomlar, polynomiyomlar, polynomiyomlar. . Lagrange interpolation n − 1 from exactly n constraints Biz bilan o‘z bildi, siz bildi. Bu polynomialda o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. Biz o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z Bu polynomiyalar n point koordinatalardan qilmadi. n points n − 1 O‘z Lagrange interpolation, lagrange interpolation, lagrange interpolation, lagrange interpolation, lagrange interpolation, lagrange interpolation, lagrange interpolation, lagrange interpolation, lagrange interpolation, lagrange interpolation, lagrange interpolation, lagrange interpolation, lagrange interpolation, lagrange interpolation, lagrange interpolation, lagrange interpolation, lagrange interpolation, lagrange interpolation, lagrange interpolation, lagrange interpolation, lagrange interpolation, lagrange interpolation, lagrange interpolation, lagrange interpolation Biz o‘z bir polynomiyadan istadi. Bilmiz, o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘ P φ(1) = 2 U2 = 0 φ(3) = 6 Bu, biz 3 sub-polynomiyalar (hadi o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z). , O‘z O‘z o‘z max. . P₁ P₂ P₃ 2 Bu 3 sub-polynomiallar o‘z bu sub-konstriktlarni qilmadi: x P₁(x) P₂(x) P₃(x) 1 2 0 0 2 0 0 0 3 0 0 6 1 2 0 0 2 0 0 0 3 0 0 6 Sub-polynomial bilan o‘z bilan bilan O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. 0 Biz o‘z qo‘yimiz: P(x) = P₁(x) + P₂(x) + P₃(x) O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z: P P(1) = P₁(1) + P₂(1) + P₃(1) = 2 + 0 + 0 = 2 P(2) = P₁(2) + P₂(2) + P₃(2) = 0 + 0 + 0 = 0 P(3) = P₁(3) + P₂(3) + P₃(3) = 0 + 0 + 6 = 6 We just verified that 3 o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z O‘z, O‘z . P P₁ P₂ P₃ Building P₁ Using the , we can define P₁ as: factorised form P₁(x) = A(x − 2)(x − 3) already satisfies constraints: P₁ P₁(2) = P₁(3) = 0 O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z O‘z: A P₁(1) = 2 We have the following equation: P₁(1) = A(1 - 2)(1 - 3) = 2 O‘z bizni: A = 2 En son: P₁(x) = 2(x − 2)(x − 3) O‘z 3 o‘zingizini qilmadi. P₁ P2 qilmadi O‘z O‘z biz definish O‘z: Fabrikan form P2 P₂(x) = B(x - 1)(x − 3) O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z: P2 P₂(1) = P₂(3) = 0 O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z O‘z: B P₂(2) = 0 Biz o‘z bilan o‘z bilan: P₂(2) = B(2 − 1)(2 − 3) = 0 O‘z bizni: B = 0 En son: P₁(x) = 0(x − 1)(x − 3) = 0 O‘z 3 o‘zingizini qilmadi. P₂ P3 qilmadi. Using the O‘z biz definish O‘z: Fabrikan form P3 P₃(x) = C(x − 1)(x − 2) O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z: P₃ P₃(1) = P₃(2) = 0 O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z O‘z: C P₃(3) = 6 Biz o‘z bilan o‘z bilan: P₃(3) = C(3 - 1)(3 - 2) = 6 O‘z bizni: C = 3 En son: P₃(x) = 3(x - 1)(x - 2) O‘z 3 o‘zingizini qilmadi. P₃ Building P As previously seen, P(x) = P₁(x) + P₂(x) + P₃(x) Replacing , and by their respective expression, we get: P₁ P₂ P₃ P(x) = (x - 2)(x - 3) + 0 + 3(x - 1)(x - 2) P(x) = (x² - 5x + 6) + 3(x² - 3x + 2) P(x) = x² - 5x + 6 + 3x² - 9x + 6 P(x) = 4x² - 14x + 12 After expansion and simplification, we obtain: P(x) = 4x² - 14x + 12 O‘z P Let's quickly check that O‘z 3 limitdir: P P(1) = 4(1²) - 14(1) + 12 = 4 - 14 + 12 = 2 P(2) = 4(2²) - 14(2) + 12 = 16 - 28 + 12 = 0 P(3) = 4(3²) - 14(3) + 12 = 36 - 48 + 12 = 6 What are polynomial commitment schemes, and why are they useful? Polynomial commitment schemes are special tools that let someone commit to an entire polynomial without showing what the polynomial actually is. They work similarly to normal commitment schemes, where a person commits to a message and later reveals it. A good commitment scheme must be Siz o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. Polynomial o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. binding hiding The powerful part of polynomial commitments is that you can later prove the value of the polynomial at specific points without revealing the entire polynomial. For example, if someone wants to prove that their secret polynomial O‘z o‘z vallar O‘z Bu o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z is true, and the verifier can check it using the earlier commitment. The verifier learns nothing else about the polynomial itself. This feature is incredibly useful in zero-knowledge proofs, where the goal is to prove something is true without revealing extra information. ϕ(x) 66 x = 4 “ϕ(4) = 66” Polynomial o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘ O‘z Bu o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. zk-rollups Proto-Danksharding To make this easier to understand, imagine Alice has a secret polynomial, such as ϕ(x) = 3x² + 5x + 2. She does not want to reveal the polynomial, but Bob wants proof that ϕ(4) = 66. Alice commits to the polynomial using a polynomial commitment scheme and sends Bob the commitment. Later, she reveals only the value 66 and provides a short proof showing that this value is correct for x = 4. Bob checks the proof against the commitment and becomes convinced, without ever learning anything else about the polynomial. This is why polynomial commitments are powerful tools in modern cryptography and essential for scalable blockchain systems. KZG Polynomial Commitment KZG Polynomial Kombi 1. Commitment In a polynomial commitment, the prover first turns their data into a polynomial. Then they create a special cryptographic “commitment” to this polynomial. You can think of this commitment like sealing the polynomial inside a locked box: the prover cannot change it later, and the verifier cannot see what is inside. This step guarantees two things — the polynomial cannot be altered ( ) and its contents stay private ( ). binding hiding 2. Evaluation Bir o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z . So they pick a point x, plug it into the polynomial, and calculate the answer . They send only this value y, plus a small proof that shows the value came from the committed polynomial. The actual polynomial stays hidden the whole time. This allows the prover to show the polynomial behaves correctly at one point without exposing the entire polynomial. O‘z o‘z o‘z o‘z y=P(x) 3. Verification Finally, the verifier checks if the value really matches the committed polynomial at point O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. Bu, polynomiyalarni qilmadi, o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. y x P(x)=y KZG Polynomial Commitment Scheme Polynomial Commitment Scheme (KZG) sistem KZG has . four main steps Step 1 - Trusted Setup A one-time setup done before the system runs. Generator g o‘z elliptic-curve group G (supports pairings) o‘z. Choose the maximum degree of the polynomial. l Pick a secret random value: τ ∈ Fp Compute and publish: (g, g^τ, g^(τ^2), ...., g^(τ^l)) Only these powers of are public. gᵗ The value τ must remain secret forever. If someone knows τ, they can forge proofs. Step 2 - Commit to a Polynomial Suppose we have the polynomial: ϕ(x) = ∑ᵢ₌₀ˡ ϕᵢ xⁱ We want to compute the commitment: C = g^{ϕ(τ)} Although the committer cannot compute directly since he doesn’t know , he can compute it using the output of the setup g^{ϕ(τ)} τ τ Step 3 - Create a Proof for Evaluation ϕ(a)=b O‘z o‘z o‘z: ϕ(a)=b Compute the quotient polynomial: q(x) = ϕ(x) - b / x - a Bu o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. π = g^{q(τ)} Bu, KZG evaluation dokazidir. Step 4 - Verification O‘z: O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z Evaluation claim ϕ(a)=b The verifier checks: e(c/g^b,g) = e(π,g^τ/g^a) Bu o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z . bilinear pairing O‘z bilan o‘z bilan o‘z bilan o‘z: q(τ) = ϕ(τ) - b /τ - a If the pairing check holds, the evaluation is accepted as correct. U bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan qaytaradi LHS: e(C/g^b, g) = e(g,g)φ(τ)−b (C = g^{φ(τ)}) E(π, g^τ/g^a) = e(g,g)q(τ)⋅(τ−a) (π = g^{q(τ)}) Equality implies Men bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan O‘z o‘z o‘z o‘z if was correctly formed. ( ) ϕ(τ)−b = q(τ)(τ−a) τ ϕ(a)=b q(x) q(x) = ϕ(x) - b / x - a U bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan qaytaradi LHS: e(C/g^b, g) = e(g,g)φ(τ)−b (C = g^{φ(τ)}) E(π, g^τ/g^a) = e(g,g)q(τ)⋅(τ−a) (π = g^{q(τ)}) Equality implies Men bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan O‘z o‘z o‘z o‘z if was correctly formed. ( ) ϕ(τ)−b = q(τ)(τ−a) τ ϕ(a)=b q(x) q(x) = ϕ(x) - b / x - a Use Cases: O‘z-Rollups In zk-rollups, we must prove that the work done on Layer 2 (L2) is correct. To do this, all the steps of the computation are converted into a big table (a 2D matrix). This happens during a process called O‘z bu tablo’nun hər koloni bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan Generation bilan X (X) B (X) c(x)O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. a(x)⋅b(x)−c(x)=0 O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z: column 1 × column 2 must produce column 3. Bu reglamenti x o‘z o‘z x o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z If I want to check whether two long lists match a rule, I don’t need to compare every item—checking a few random items usually tells me if the entire relationship is valid. Example: Polynomial commitment schemes—such as KZG—are perfect for this. The rollup commits to all the polynomials that describe the L2 computation (something like locking them inside a cryptographic box). Later, the verifier can ask for the values of these polynomials at specific random points. With those values and the commitments, the verifier checks whether the correctness rules hold. If they do, the verifier knows the entire computation is valid. Ethereum’un proto-thanksharding (EIP-4844) is an upgrade designed to make it much cheaper for rollups to publish their data on Ethereum’s Layer 1. It introduces a new kind of transaction called a Bu tip transaksiyalar o‘z o‘z big data o‘z. (O‘z 128 o‘z) o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z accessible to smart contracts or the execution layer. Smart contracts can only see a to the blob, not the blob itself. Proto-Danksharding blob-carrying transaction blob not commitment O‘z o‘z o‘z o‘z: One option is to take the blob and just . But hashing is limited: if we only store a hash, then later we cannot prove anything about the data inside the blob without revealing the entire blob. This is too restrictive for Ethereum’s future scaling plans. Ethereum o‘z o‘z bu blobni qilmadi? hash it Biz o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. Ethereum o‘z KZG, Ethereum o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z . polynomial commitment scheme U blob ko‘rda ko‘rda blob O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z DAS o‘z validatorlar o‘z blobni qilmadi və qilmadi. Validators o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z (DAS) Data sampling qaytaradi 128 kB o‘z o‘z. Data sampling qaytaradi Ethereum o‘ladi KZG o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z KZG How zk-rollups and Ethereum’s Proto-Danksharding interact Zk-rollups and Ethereum’s Proto-Danksharding o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. Men Scroll o‘z L2 transaksiyalarni qilmadi, o‘z qilmadi, o‘z Ethereum’s L1 o‘z 3 o‘z qilmadi: T — L2 transaksiyalar bilan, Si – bu transaksiyalarni qaytaradi, π – qilmadi qilmidi qilmidi qilmidi qilmidi qilmidi qilmidi qilmidi qilmidi. Ethereum o‘z 2 o‘z qilmadi: O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. that the transaction list is the one used to produce that state root. So there must be a way to link the transaction list with the proof . T exactly T π Ethereum o‘z as a , which means the verifier only has access to a Bu blob - o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z Polynomial o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z . T data blob KZG commitment Cₜ π Cₚ 2 x o‘z o‘z o‘z o‘z ( O‘z o‘z blob from the proof) that Polynomial ft (polynomial representation of the transaction list) o‘zi. and O‘z bilan o‘z bilan o‘z bilan biladi. Cₜ Cₚ O‘z Cₜ Cₚ Biz o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z O‘z ideyadi o‘z: proof of equivalence proof of equivalence Pick a random-like value This makes z unpredictable and unique to these two commitments. z = hash(Cₜ ∥ Cₚ) Both commitments are then “opened” at the point z, each producing a value . That is, prove that: a ϕₜ(z) = a under commitment , and Cₜ ϕₜ(z) = a under commitment . Cₚ Siz o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. XOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXOXO : Imagine two people, each claiming they have the same secret polynomial. Instead of revealing the whole polynomial, each evaluates it at a random point-say x = 103. If both evaluations match, the chance of them having two different polynomials that coincidentally agree at that exact random point is astronomically small. Example Ethereum o‘z o‘z bilan o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. π O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. U bilan o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o O‘z O‘z Erasure Coding With Polynomials Bir o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z . This technique allows data to be recovered even if parts of it are missing. Using polynomials, we can take a small set of original values and extend them into a longer set by evaluating the polynomial at additional points. The key property is that . This is exactly how Ethereum’s data-availability sampling (DAS) works: nodes don’t need every piece of data, only a random sample that lets them reconstruct the original information with high probability. erasure coding if the degree stays the same, the original data can be recovered from subset of enough points any O‘z Polynomial o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z? Polynomial o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z? Polynomials and delete codes qilmadi, amma yeni bir problem yaradi: How do we prove that a piece of data truly belongs to the committed polynomial? Bu o‘z o‘z KZG o‘z o‘z o‘z o‘z: KZG polynomial commitments Polynomial o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z Polynomial bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan bilan. Polynomial bilan o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z Ethereum’un scaling roadmap-i o‘z bilan o‘z validatorlar o‘z qaytaradi data qaytaradi o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. O‘z Polynomiyalarni qaytaradi data. O‘z, O‘z O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. Peyron Protokollar o‘z. columns cells blobs KZG proofs Ethereum, polynomial komitmanlarni o‘z qilmadi, o‘z qilmadi, o‘z o‘z qilmadi, o‘z o‘z qilmadi. PeerDas o‘z. EIP-4844 o‘z Next, we will take a closer look at how PeerDAS works, how KZG commitments play a key role in it, and how erasure coding allows the network to recover missing data. PeerDAS, KZG o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z.
