```html مصنفین: نیرجا سندرسن تھوڈور جے. یودر ینگسیوک کم مویوان لی ایڈورڈ ایچ. چن گریس ہارپر ٹیڈ تھوربیک اینڈریو ڈبلیو. کراس انٹونیو ڈی. کورکولز مائکا ٹیکٹا خلاصہ کوانٹم ایرر کریکشن زیادہ درست کوانٹم کمپیوٹیشن کرنے کا ایک امید افزا راستہ فراہم کرتا ہے۔ اگرچہ مکمل طور پر فالٹ ٹالرنٹ الگورتھم اب تک حاصل نہیں ہوئے ہیں، کنٹرول الیکٹرانکس اور کوانٹم ہارڈ ویئر میں حالیہ بہتری ایرر کریکشن کے لیے ضروری آپریشنز کی تیزی سے ایڈوانسڈ مظاہرے کے قابل بناتی ہے۔ یہاں، ہم ہیوی-ہیکساگون لیٹائس میں جڑے ہوئے سپر کنڈکٹنگ کیوبٹس پر کوانٹم ایرر کریکشن انجام دیتے ہیں۔ ہم فاصلہ تین کا ایک منطقی کیوبٹ انکوڈ کرتے ہیں اور فالٹ ٹالرنٹ سنڈروم پیمائش کے کئی دور انجام دیتے ہیں جو سرکٹری میں کسی بھی سنگل فالٹ کو درست کرنے کی اجازت دیتے ہیں۔ ریئل ٹائم فیڈ بیک کا استعمال کرتے ہوئے، ہم ہر سنڈروم نکالنے کے چکر کے بعد سنڈروم اور فلیگ کیوبٹس کو مشروط طور پر ری سیٹ کرتے ہیں۔ ہم لیک آؤٹ کے بعد سلیکٹ کیے گئے ڈیٹا پر، میچنگ اور میکسیمم لائکلیہوڈ ڈیکوڈرز کے لیے بالترتیب ~0.040 (~0.088) اور ~0.037 (~0.087) کے اوسط منطقی غلطی فی سنڈروم پیمائش کے ساتھ، ڈیکوڈر پر منحصر منطقی غلطی کی اطلاع دیتے ہیں۔ تعارف عملی طور پر، ہارڈ ویئر میں شور کی وجہ سے کوانٹم کمپیوٹیشن کے نتائج میں غلطی ہو سکتی ہے۔ نتیجے میں ہونے والی غلطیوں کو ختم کرنے کے لیے، کوانٹم انفارمیشن کو محفوظ، منطقی ڈگریز آف فریڈم میں انکوڈ کرنے کے لیے کوانٹم ایرر کریکشن (QEC) کوڈز استعمال کیے جا سکتے ہیں، اور پھر غلطیوں کو جمع ہونے سے پہلے ان کو درست کرکے فالٹ ٹالرنٹ (FT) کمپیوٹیشن کو فعال کیا جا سکتا ہے۔ QEC کا مکمل نفاذ ممکنہ طور پر ضرورت ہو گا: منطقی حالتوں کی تیاری؛ منطقی گیٹس کے ایک عالمی سیٹ کا ادراک، جس کے لیے جادوئی حالتوں کی تیاری کی ضرورت پڑسکتی ہے؛ سنڈرومز کی بار بار پیمائش؛ اور غلطیوں کو درست کرنے کے لیے سنڈرومز کی ڈیکوڈنگ۔ اگر کامیاب ہو، تو نتیجے میں آنے والی منطقی غلطی کی شرحیں بنیادی فزیکل غلطی کی شرحوں سے کم ہونی چاہئیں، اور کوڈ کی بڑھتی ہوئی فاصلے کے ساتھ ناقابلِ ذکر اقدار تک کم ہونی چاہئیں۔ QEC کوڈ کا انتخاب کرنے کے لیے زیریں ہارڈ ویئر اور اس کی شور کی خصوصیات پر غور کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ کیوبٹس کے ہیوی-ہیکساگون لیٹائس کے لیے، سب سسٹم QEC کوڈز پرکشش ہوتے ہیں کیونکہ وہ کم کنیکٹیویٹی والے کیوبٹس کے لیے اچھی طرح سے موزوں ہوتے ہیں۔ دیگر کوڈز نے FT کے لیے اپنے نسبتاً اعلیٰ تھریشولڈ یا ٹرانزورس منطقی گیٹس کی بڑی تعداد کی وجہ سے امید ظاہر کی ہے۔ اگرچہ ان کا خلائی اور وقت کا اوور ہیڈ قابلِ توسیع کے لیے ایک اہم رکاوٹ پیدا کر سکتا ہے، لیکن ایرر مٹگیشن کی کچھ شکل سے فائدہ اٹھا کر سب سے مہنگے وسائل کو کم کرنے کے لیے حوصلہ افزا طریقے موجود ہیں۔ ڈیکوڈنگ کے عمل میں، کامیاب اصلاح نہ صرف کوانٹم ہارڈ ویئر کی کارکردگی پر، بلکہ سنڈروم پیمائشوں سے حاصل ہونے والی کلاسیکی معلومات کو حاصل کرنے اور پروسیس کرنے کے لیے استعمال ہونے والے کنٹرول الیکٹرانکس کے نفاذ پر بھی منحصر ہے۔ ہمارے معاملے میں، پیمائش کے چکروں کے درمیان ریئل ٹائم فیڈ بیک کے ذریعے سنڈروم اور فلیگ کیوبٹس دونوں کو شروع کرنے سے غلطیوں کو کم کرنے میں مدد مل سکتی ہے۔ ڈیکوڈنگ کی سطح پر، اگرچہ FT فارمالزم کے اندر QEC کو غیر مطابقت پذیر طور پر انجام دینے کے لیے کچھ پروٹوکول موجود ہیں، لیکن ایرر سنڈرومز کی وصولی کی شرح ان کے کلاسیکی پروسیسنگ کے وقت کے مطابق ہونی چاہیے تاکہ سنڈروم ڈیٹا کا بڑھتا ہوا بیک لاگ بچایا جا سکے۔ نیز، کچھ پروٹوکول، جیسے کہ منطقی T-گیٹ کے لیے جادوئی حالت کا استعمال، ریئل ٹائم فیڈ فارورڈ کے اطلاق کی ضرورت ہوتی ہے۔ اس طرح، QEC کا طویل مدتی وژن کسی ایک حتمی مقصد کی طرف نہیں جاتا ہے بلکہ گہرے باہم مربوط کاموں کے تسلسل کے طور پر دیکھا جانا چاہیے۔ اس ٹیکنالوجی کی ترقی میں تجرباتی راستہ پہلے ان کاموں کی تنہائی میں مظاہرہ اور پھر ان کی بتدریج ترکیب پر مشتمل ہوگا، ہمیشہ ان کے متعلقہ میٹرکس کو مسلسل بہتر بناتے ہوئے۔ کوانٹم سسٹمز پر حالیہ بہت سے پیش رفتوں میں اس ترقی میں سے کچھ کی عکاسی کی گئی ہے جو مختلف فزیکل پلیٹ فارمز پر مشتمل ہے، جس نے FT کوانٹم کمپیوٹنگ کے لیے مطلوبہ کئی پہلوؤں کا مظاہرہ کیا ہے یا اس کے قریب پہنچا ہے۔ خاص طور پر، FT منطقی حالت کی تیاری کو آئنز، ہیرے میں نیوکلیئر اسپن، اور سپر کنڈکٹنگ کیوبٹس پر مظاہرہ کیا گیا ہے۔ سنڈروم نکالنے کے بار بار چکر چھوٹے ایرر ڈیٹیکٹنگ کوڈز میں سپر کنڈکٹنگ کیوبٹس میں دکھائے گئے ہیں، بشمول جزوی ایرر کریکشن اور سنگل-کیوبٹ گیٹس کا ایک عالمی (اگرچہ FT نہیں) سیٹ۔ دو منطقی کیوبٹس پر ایک عالمی گیٹ سیٹ کا FT مظاہرہ حال ہی میں آئنز میں رپورٹ کیا گیا ہے۔ ایرر کریکشن کے دائرے میں، سپر کنڈکٹنگ کیوبٹس پر فاصلہ-3 سرفیس کوڈ کے حالیہ حصول ڈیکوڈنگ اور پوسٹ-سلیکشن کے ساتھ ساتھ کلر کوڈ کا استعمال کرتے ہوئے ایک FT ڈائنمیکلی پروٹیکٹڈ کوانٹم میموری کا FT نفاذ اور آئنز میں بیکن-شور کوڈ میں منطقی حالت کی تیاری، آپریشن، اور پیمائش، بشمول اس کے سٹیبلائزرز، حال ہی میں دیکھنے میں آئے ہیں۔ یہاں ہم سپر کنڈکٹنگ کیوبٹ سسٹم پر ریئل ٹائم فیڈ بیک کی صلاحیت کو میکسیمم لائکلیہوڈ ڈیکوڈنگ پروٹوکول کے ساتھ جوڑتے ہیں جسے اب تک تجرباتی طور پر منطقی حالتوں کی بقا کو بہتر بنانے کے لیے دریافت نہیں کیا گیا ہے۔ ہم ان ٹولز کو سپر کنڈکٹنگ کوانٹم پروسیسر پر سب سسٹم کوڈ، ہیوی-ہیکساگون کوڈ، کے FT آپریشن کے حصے کے طور پر مظاہرہ کرتے ہیں۔ اس کوڈ کے ہمارے نفاذ کو فالٹ ٹالرنٹ بنانے کے لیے ضروری ہیں فلیگ کیوبٹس جو، جب نان-زیرو پائے جاتے ہیں، تو سرکٹ غلطیوں کے لیے ڈیکوڈر کو الرٹ کرتے ہیں۔ ہر سنڈروم پیمائش سائیکل کے بعد فلیگ اور سنڈروم کیوبٹس کو مشروط طور پر ری سیٹ کرکے، ہم اپنے سسٹم کو توانائی کی ترتیب کی وجہ سے پیدا ہونے والی غلطیوں سے بچاتے ہیں جو سپر کنڈکٹنگ کیوبٹس میں پائے جانے والے شور کی عدم توازن کا باعث بنتی ہے۔ ہم مزید حال ہی میں بیان کردہ ڈیکوڈنگ حکمت عملیوں کا استحصال کرتے ہیں اور ڈیکوڈنگ کے خیالات کو میکسیمم لائکلیہوڈ تصورات کو شامل کرنے کے لیے بڑھاتے ہیں۔ نتائج ہیوی-ہیکساگون کوڈ اور ملٹی راؤنڈ سرکٹس جس ہیوی-ہیکساگون کوڈ پر ہم غور کرتے ہیں وہ ایک n = 9 کیوبٹ کوڈ ہے جو k = 1 منطقی کیوبٹ کو d = 3 کے فاصلے کے ساتھ انکوڈ کرتا ہے۔ Z اور X گیج (دیکھیں تصویر 1a) اور سٹیبلائزر گروپس: سٹیبلائزر گروپس متعلقہ گیج گروپس کے سینٹرز ہیں۔ اس کا مطلب ہے کہ سٹیبلائزرز، گیج آپریٹرز کے پروڈکٹس کے طور پر، صرف گیج آپریٹرز کی پیمائش سے اخذ کیے جا سکتے ہیں۔ منطقی آپریٹرز XL = X1X2X3 اور ZL = Z1Z3Z7 کے طور پر منتخب کیے جا سکتے ہیں۔ Z (نیلا) اور X (سرخ) گیج آپریٹرز (مساوات 1 اور 2) فاصلہ-3 ہیوی-ہیکساگون کوڈ کے ساتھ درکار 23 کیوبٹس پر نقشہ بنائے گئے ہیں۔ کوڈ کیوبٹس (Q1−Q9) پیلے رنگ میں دکھائے گئے ہیں، سنڈروم کیوبٹس (Q17، Q19، Q20، Q22) جو Z سٹیبلائزرز کے لیے استعمال ہوتے ہیں نیلے رنگ میں، اور فلیگ کیوبٹس اور سنڈرومز جو X سٹیبلائزرز میں استعمال ہوتے ہیں سفید میں۔ سب سیکشن (0 سے 4) کے اندر CX گیٹس کے اطلاق کا حکم اور سمت نمبر والے تیروں سے ظاہر کیے گئے ہیں۔ ایک سنڈروم پیمائش راؤنڈ کا سرکٹ ڈایاگرام، بشمول X اور Z سٹیبلائزرز۔ سرکٹ ڈایاگرام گیٹ آپریشنز کی اجازت شدہ متوازی کاری کو ظاہر کرتا ہے: وہ جو شیڈولنگ رکاوٹوں (عمودی ڈیشڈ گرے لائنز) سے مقرر ہیں۔ چونکہ ہر دو کیوبٹ گیٹ کی مدت مختلف ہوتی ہے، آخری گیٹ کی شیڈولنگ کو ایک معیاری ممکنہ حد تک تاخیر سے سرکٹ ٹرانسپائلیشن پاس کے ساتھ مقرر کیا جاتا ہے۔ اس کے بعد ڈائنامیکل ڈی-کپلنگ کو ڈیٹا کیوبٹس میں شامل کیا جاتا ہے جہاں وقت اجازت دیتا ہے۔ پیمائش اور ری سیٹ آپریشنز کو رکاوٹوں کے ذریعے دوسرے گیٹ آپریشنز سے الگ کیا جاتا ہے تاکہ بیکار ڈیٹا کیوبٹس میں یونیفارم ڈائنامیکل ڈی-کپلنگ شامل کی جاسکے۔ تین راؤنڈز کے لیے ڈیکوڈنگ گرافز ( ) Z اور ( ) X سٹیبلائزر پیمائشیں سرکٹ سطح کے شور کے ساتھ بالترتیب X اور Z غلطیوں کو درست کر سکتی ہیں۔ گراف میں نیلے اور سرخ نوڈس فرق سنڈرومز سے مطابقت رکھتے ہیں، جبکہ سیاہ نوڈس سرحد ہیں۔ کنارے سرکٹ میں غلطیوں کے ہونے کے مختلف طریقوں کو انکوڈ کرتے ہیں جیسا کہ متن میں بیان کیا گیا ہے۔ نوڈس کو سٹیبلائزر پیمائش کی قسم (Z یا X) کے ساتھ لیبل کیا گیا ہے، ساتھ ہی سٹیبلائزر کو انڈیکس کرنے والے سب اسکرپٹ، اور راؤنڈ کو ظاہر کرنے والے سپر اسکرپٹ کے ساتھ۔ سیاہ کنارے، جو کوڈ کیوبٹس پر پولی Y غلطیوں سے پیدا ہوتے ہیں (اور اس لیے صرف سائز-2 ہوتے ہیں)، اور کے گراف کو جوڑتے ہیں، لیکن میچنگ ڈیکوڈر کے ذریعہ استعمال نہیں ہوتے ہیں۔ سائز-4 ہائپر ایجز، جو میچنگ کے ذریعہ استعمال نہیں ہوتے ہیں، لیکن میکسیمم لائکلیہوڈ ڈیکوڈر کے ذریعہ استعمال ہوتے ہیں۔ صرف وضاحت کے لیے رنگ۔ وقت کے ساتھ ساتھ ہر ایک راؤنڈ کو منتقل کرنے سے بھی ایک درست ہائپر ایج (وقت کی حدود پر کچھ تغیر کے ساتھ) ملتا ہے۔ سائز-3 ہائپر ایجز بھی نہیں دکھائے گئے ہیں۔ a b c d e c d f یہاں ہم ایک خاص FT سرکٹ پر توجہ مرکوز کرتے ہیں، ہمارے بہت سے تکنیک مختلف کوڈز اور سرکٹس کے ساتھ عام طور پر استعمال کیے جا سکتے ہیں۔ دو سب-سرکٹس، تصویر 1b میں دکھائے گئے ہیں، X- اور Z-گیج آپریٹرز کی پیمائش کے لیے بنائے گئے ہیں۔ Z-گیج پیمائش سرکٹ فلیگ کیوبٹس کی پیمائش کرکے مفید معلومات بھی حاصل کرتا ہے۔ ہم کوڈ کیوبٹس کو $ |\psi_{L} \rangle = |0\rangle $ ($ |\psi_{L} \rangle = |+\rangle $) حالت میں تیار کرتے ہیں، پہلے نو کیوبٹس کو $ |+\rangle $ ($ |-\rangle $) حالت میں تیار کرتے ہیں اور X-گیج (Z-گیج) کی پیمائش کرتے ہیں۔ پھر ہم سنڈروم پیمائش کے r دور انجام دیتے ہیں، جہاں ایک دور Z-گیج پیمائش اور اس کے بعد X-گیج پیمائش پر مشتمل ہوتا ہے (بالترتیب، X-گیج کے بعد Z-گیج)۔ آخر میں، ہم تمام نو کوڈ کیوبٹس کو Z (X) بیسس میں پڑھتے ہیں۔ ہم ابتدائی منطقی حالتوں $ |\psi_{L} \rangle = |0\rangle $ اور $ |\psi_{L} \rangle = |+\rangle $ کے لیے بھی یہی تجربات کرتے ہیں، صرف نو کیوبٹس کو بالترتیب $ |0\rangle $ اور $ |+\rangle $ میں شروع کر کے۔ ڈیکوڈنگ الگورتھمز FT کوانٹم کمپیوٹنگ کے سیٹنگ میں، ایک ڈیکوڈر ایک الگورتھم ہے جو ایک ایرر کریکٹنگ کوڈ سے سنڈروم پیمائشوں کو ان پٹ کے طور پر لیتا ہے اور کیوبٹس یا پیمائش ڈیٹا میں ایک اصلاح کو آؤٹ پٹ کرتا ہے۔ اس سیکشن میں ہم دو ڈیکوڈنگ الگورتھمز بیان کرتے ہیں: پرفیکٹ میچنگ ڈیکوڈنگ اور میکسیمم لائکلیہوڈ ڈیکوڈنگ۔ ڈیکوڈنگ ہائپر گراف FT سرکٹ سے جمع کی گئی معلومات کی ایک مختصر تفصیل ہے اور ڈیکوڈنگ الگورتھم کے لیے دستیاب ہے۔ یہ vertices، یا ایرر-سنسٹیو ایونٹس، V، اور ہائپر ایجز E کے سیٹ پر مشتمل ہے، جو سرکٹ میں غلطیوں کی وجہ سے ایونٹس کے درمیان تعلقات کو انکوڈ کرتے ہیں۔ تصویر 1c–f ہمارے تجربے کے لیے ڈیکوڈنگ ہائپر گراف کے حصوں کو دکھاتی ہے۔ پولی شور کے ساتھ سٹیبلائزر سرکٹس کے لیے ڈیکوڈنگ ہائپر گراف بنانا معیاری Gottesman-Knill simulations یا اسی طرح کی پولی ٹریسنگ تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے۔ سب سے پہلے، ایک ایرر-سنسٹیو ایونٹ ہر اس پیمائش کے لیے بنایا جاتا ہے جو ایرر-فری سرکٹ میں متعین ہوتی ہے۔ ایک متعین پیمائش M کوئی بھی پیمائش ہے جس کا نتیجہ m ∈ {0, 1} پچھلی پیمائشوں کے سیٹ S سے ماڈیولو دو کے پیمائش کے نتائج کو شامل کرکے پیش کیا جا سکتا ہے۔ یعنی، ایرر-فری سرکٹ کے لیے، m = ⊕(s∈S) m_s، جہاں S سیٹ کو سرکٹ کی سمولیشن سے پایا جا سکتا ہے۔ ایرر-سنسٹیو ایونٹ کی قدر کو m - FM(mod2) سیٹ کریں، جو غلطیوں کی عدم موجودگی میں صفر (جسے ٹریویل بھی کہا جاتا ہے) ہوتا ہے۔ اس طرح، ایک غیر صفر (جسے نان-ٹریویل بھی کہا جاتا ہے) ایرر-سنسٹیو ایونٹ کا مشاہدہ کم از کم ایک غلطی کا باعث بنتا ہے۔ ہمارے سرکٹس میں، ایرر-سنسٹیو ایونٹس یا تو فلیگ کیوبٹ پیمائشیں ہیں یا ایک ہی سٹیبلائزر کی مسلسل پیمائش کا فرق (جسے فرق سنڈرومز بھی کہا جاتا ہے)۔ اگلا، سرکٹ فالٹس کو مدنظر رکھتے ہوئے ہائپر ایجز شامل کیے جاتے ہیں۔ ہمارے ماڈل میں کئی سرکٹ اجزاء میں سے ہر ایک کے لیے فالٹ پروببلٹی pC شامل ہے۔ یہاں ہم دیگر کیوبٹس کے یونٹری گیٹس سے گزرنے کے دوران کیوبٹس پر شناختی آپریشن id کی شناخت کرتے ہیں، شناخت آپریشن idm سے جب دیگر پیمائش اور ری سیٹ سے گزر رہے ہوتے ہیں۔ ہم پیمائش کے بعد کیوبٹس کو ری سیٹ کرتے ہیں، جبکہ ہم ان کیوبٹس کو شروع کرتے ہیں جو اب تک کے تجربے میں استعمال نہیں ہوئے ہیں۔ آخر میں cx کنٹرولڈ-نوٹ گیٹ ہے، h ہیڈمارڈ گیٹ ہے، اور x، y، z پولی گیٹس ہیں۔ (مزید تفصیل کے لیے طریقے "IBM_Peekskill اور تجرباتی تفصیلات" دیکھیں۔) pC کے عددی اقدار طریقے "IBM_Peekskill اور تجرباتی تفصیلات" میں درج ہیں۔ ہمارا ایرر ماڈل سرکٹ ڈپولرائزنگ شور ہے۔ ابتدائی اور ری سیٹ کی غلطیوں کے لیے، متعلقہ امکانات p_init اور p_reset کے بعد پولی X کا اطلاق کیا جاتا ہے۔ پیمائش کی غلطیوں کے لیے، مثالی پیمائش سے پہلے X کے امکان p_meas کے ساتھ اطلاق کیا جاتا ہے۔ ایک-کیوبٹ یونٹری گیٹ (دو-کیوبٹ گیٹ) C، مثالی گیٹ کے بعد تین (پندرہ) غیر-شناختی ایک-کیوبٹ (دو-کیوبٹ) پولی غلطیوں میں سے کسی ایک کے امکان p_C کے ساتھ ہوتا ہے۔ تین (پندرہ) پولی غلطیوں میں سے کسی کے ہونے کا برابر موقع ہے۔ جب سرکٹ میں ایک ہی فالٹ ہوتا ہے، تو یہ ایرر-سنسٹیو ایونٹس کے کچھ ذیلی سیٹ کو نان-ٹریویل بنا دیتا ہے۔ ایرر-سنسٹیو ایونٹس کا یہ سیٹ ایک ہائپر ایج بن جاتا ہے۔ تمام ہائپر ایجز کا سیٹ E ہے۔ دو مختلف فالٹس ایک ہی ہائپر ایج کو جنم دے سکتے ہیں، اس لیے ہر ہائپر ایج کو فالٹس کے سیٹ کی نمائندگی کرنے کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، جن میں سے ہر ایک انفرادی طور پر ہائپر ایج میں ایونٹس کو نان-ٹریویل بناتا ہے۔ ہر ہائپر ایج کے ساتھ ایک امکانیت وابستہ ہوتی ہے، جو پہلے درجے پر، سیٹ میں فالٹس کے امکانات کا مجموعہ ہوتا ہے۔ فالٹ کے نتیجے میں ایک ایسی غلطی بھی ہو سکتی ہے جو، سرکٹ کے اختتام تک پھیلنے کے بعد، کوڈ کے ایک یا زیادہ منطقی آپریٹرز کے ساتھ اینٹی-کمیوٹ کرتی ہے، جس کے لیے منطقی اصلاح کی ضرورت ہوتی ہے۔ ہم عمومیت کے لیے فرض کرتے ہیں کہ کوڈ میں k منطقی کیوبٹس اور 2^k منطقی آپریٹرز کا بیسس ہے، لیکن نوٹ کریں کہ ہیوی-ہیکساگون کوڈ کے لیے k=1 ہے۔ ہم ان ویکٹرز سے ایک ویکٹر کا استعمال کرتے ہوئے ان منطقی آپریٹرز کا سراغ رکھ سکتے ہیں جو غلطی کے ساتھ اینٹی-کمیوٹ کرتے ہیں۔ اس طرح، ہر ہائپر ایج h کو ان ویکٹرز میں سے ایک، جسے منطقی لیبل کہتے ہیں، سے بھی لیبل کیا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ اگر کوڈ کا فاصلہ کم از کم تین ہے، تو ہر ہائپر ایج کا ایک منفرد منطقی لیبل ہوتا ہے۔ آخر کار، ہم نوٹ کرتے ہیں کہ ایک ڈیکوڈنگ الگورتھم ڈیکوڈنگ ہائپر گراف کو مختلف طریقوں سے آسان بنانے کا انتخاب کر سکتا ہے۔ ایک طریقہ جسے ہم یہاں ہمیشہ استعمال کرتے ہیں وہ ڈیفلیگنگ کا عمل ہے۔ کیوبٹس 16، 18، 21، 23 سے فلیگ پیمائشوں کو کوئی اصلاح لاگو کیے بغیر نظر انداز کیا جاتا ہے۔ اگر فلیگ 11 نان-ٹریویل ہے اور 12 ٹریویل ہے، تو Z کو 2 پر لاگو کریں۔ اگر 12 نان-ٹریویل ہے اور 11 ٹریویل ہے، تو Z کو کیوبٹ 6 پر لاگو کریں۔ اگر فلیگ 13 نان-ٹریویل ہے اور 14 ٹریویل ہے، تو Z کو کیوبٹ 4 پر لاگو کریں۔ اگر 14 نان-ٹریویل ہے اور 13 ٹریویل ہے، تو Z کو کیوبٹ 8 پر لاگو کریں۔ فالٹ ٹالرنس کے لیے یہ کیوں کافی ہے اس کی تفصیلات کے لیے ریفرنس 15 دیکھیں۔ اس کا مطلب ہے کہ فلیگ کیوبٹ پیمائشوں سے ایرر-سنسٹیو ایونٹس کو براہ راست شامل کرنے کے بجائے، ہم ورچوئل پولی Z اصلاحات کا استعمال کرتے ہوئے اور اس کے مطابق بعد کے ایرر-سنسٹیو ایونٹس کو ایڈجسٹ کرکے ڈیٹا کو پری-پروسیس کرتے ہیں۔ ڈیفلیگڈ ہائپر گراف کے لیے ہائپر ایجز کو Z اصلاحات کو شامل کرنے والے سٹیبلائزر سمولیشن کے ذریعے پایا جا سکتا ہے۔ اگر r راؤنڈز کی تعداد کو ظاہر کرتا ہے۔ ڈیفلیگنگ کے بعد، Z (بالترتیب X بیس) تجربات کے لیے V کے سیٹ کا سائز |V| = 6r + 2 (بالترتیب 6r + 4) ہوتا ہے، کیونکہ ہر راؤنڈ میں چھ سٹیبلائزر کی پیمائش ہوتی ہے اور ریاست کی تیاری کے بعد دو (بالترتیب چار) ابتدائی ایرر-سنسٹیو سٹیبلائزرز ہوتے ہیں۔ E کا سائز اسی طرح |E| = 60r - 13 (بالترتیب 60r - 1) r > 0 کے لیے ہے۔ X اور Z غلطیوں کو الگ الگ غور کرتے ہوئے، سرفیس کوڈ کے لیے کم از کم وزن کی ایرر کریکشن تلاش کرنے کا مسئلہ ایک گراف میں کم از کم وزن پرفیکٹ میچنگ تلاش کرنے کا مسئلہ بن جاتا ہے۔ میچنگ ڈیکوڈرز کو ان کی عملیت اور وسیع اطلاق کی وجہ سے مطالعہ کیا جاتا رہتا ہے۔ اس سیکشن میں، ہم اپنے فاصلہ-3 ہیوی-ہیکساگون کوڈ کے لیے میچنگ ڈیکوڈر کو بیان کرتے ہیں۔ ڈیکوڈنگ گرافز، X-غلطیوں کے لیے ایک (تصویر 1c) اور Z-غلطیوں کے لیے ایک (تصویر 1d)، کم از کم وزن پرفیکٹ میچنگ کے لیے دراصل پچھلے سیکشن میں ڈیکوڈنگ ہائپر گراف کے سب گراف ہیں۔ آئیے یہاں X-غلطیوں کو درست کرنے کے لیے گراف پر توجہ مرکوز کریں، کیونکہ Z-غلطی کا گراف اسی طرح کا ہے۔ اس صورت میں، ڈیکوڈنگ ہائپر گراف سے ہم V_Z نوڈس کو برقرار رکھتے ہیں جو (مسلسل) Z-سٹیبلائزر پیمائشوں کے فرق سے متعلق ہیں اور ان کے درمیان کنارے (یعنی، سائز دو کے ہائپر ایجز)۔ اضافی طور پر، ایک باؤنڈری ورٹکس b بنایا جاتا ہے، اور {v} کی شکل کے سائز-ون ہائپر ایجز، v ∈ V_Z کے ساتھ، {v, b} کے کنارے شامل کرکے نمائندگی کی جاتی ہیں۔ X-غلطی کے گراف میں تمام کنارے اپنے متعلقہ ہائپر ایجز سے امکانیت اور منطقی لیبلز وراثت میں حاصل کرتے ہیں (2-راؤنڈ تجربے کے لیے X اور Z-غلطی کے کنارے کے ڈیٹا کے لیے ٹیبل 1 دیکھیں)۔ ایک پرفیکٹ میچنگ الگورتھم وزنی کنارے والے ایک گراف اور نمایاں نوڈس کے ایک جفت سیٹ کو لیتا ہے، اور گراف میں کنڈوں کا ایک سیٹ لوٹاتا ہے جو تمام نمایاں نوڈس کو جوڑوں میں جوڑتا ہے اور ایسے کنڈوں کے سیٹوں میں کم از کم کل وزن رکھتا ہے۔ ہماری صورت میں، نمایاں نوڈس نان-ٹریویل ایرر-سنسٹیو ایونٹس ہیں (اگر ایک غیر جوڑا نمبر ہے، تو باؤنڈری نوڈ کو بھی نمایاں کیا جاتا ہے)، اور کنارے کے وزن یا تو سب کو ایک (یونیفارم طریقہ) کے طور پر منتخب کیا جاتا ہے یا p_e = -ln(1-p_e) کے طور پر سیٹ کیا جاتا ہے، جہاں p_e کنارے کی امکانیت ہے (تجزیاتی طریقہ)۔ مؤخر الذکر انتخاب کا مطلب ہے کہ ایک کنارے سیٹ کا کل وزن اس سیٹ کی لاگ-لائکلیہوڈ کے برابر ہے، اور کم از کم وزن پرفیکٹ میچنگ گراف میں کنڈوں کے اوپر اس لائکلیہوڈ کو زیادہ سے زیادہ کرنے کی کوشش کرتا ہے۔ ایک کم از کم وزن پرفیکٹ میچنگ کو دیکھتے ہوئے، ایک اصلاح کو منطقی حالت پر فیصلہ کرنے کے لیے میچنگ میں کنڈوں کے منطقی لیبلز کا استعمال کیا جا سکتا ہے۔ متبادل طور پر، میچنگ ڈیکوڈر کے لیے X-غلطی (Z-غلطی) کا گراف اس طرح ہے کہ ہر کنارے کو ایک کوڈ کیوبٹ (یا پیمائش کی غلطی) سے منسلک کیا جا سکتا ہے، اس طرح میچنگ میں ایک کنارے کو شامل کرنے کا مطلب ہے کہ متعلقہ کیوبٹ پر X (Z) اصلاح لاگو کی جانی چاہیے۔ میکسیمم لائکلیہوڈ ڈیکوڈنگ (MLD) کوانٹم ایرر-کریکٹنگ کوڈز کی ڈیکوڈنگ کے لیے ایک بہترین، اگرچہ غیر قابلِ توسیع، طریقہ ہے۔ اس کے اصل تصور میں، MLD کو فینومینولوجیکل شور ماڈلز پر لاگو کیا گیا تھا جہاں غلطیاں سنڈروم کی پیمائش سے عین پہلے ہوتی ہیں۔ یہ یقیناً زیادہ حقیقت پسندانہ صورتحال کو نظر انداز کرتا ہے جہاں غلطیاں سنڈروم پیمائش سرکٹری سے گزر سکتی ہیں۔ حال ہی میں، MLD کو سرکٹ شور کو شامل کرنے کے لیے بڑھایا گیا ہے۔ یہاں، ہم بیان کرتے ہیں کہ MLD ڈیکوڈنگ ہائپر گراف کا استعمال کرتے ہوئے سرکٹ شور کو کیسے درست کرتا ہے۔ MLD ایرر-سنسٹیو ایونٹس کے مشاہدے کو دیکھتے ہوئے سب سے زیادہ ممکنہ منطقی اصلاح کا پتہ لگاتا ہے۔ یہ پروببلٹی ڈسٹری بیوشن Pr[β, γ] کا حساب لگا کر کیا جاتا ہے، جہاں β ایرر-سنسٹیو ایونٹس کی نمائندگی کرتا ہے اور γ منطقی اصلاح کی نمائندگی کرتا ہے۔ ہم Pr[β, γ] کا حساب ڈیکوڈنگ ہائپر گراف، تصویر 1c–f، سے ہر ہائپر ایج کو شامل کرکے کر سکتے ہیں، جو صفر-غلطی کی تقسیم سے شروع ہوتا ہے، یعنی Pr[0^|V|, 0^(2^k)] = 1۔ اگر ہائپر ایج h کی امکانیت ph ہے، جو کسی دوسرے ہائپر ایج سے آزاد ہے، تو ہم اپ ڈیٹ کو شامل کرتے ہیں: جہاں β_h صرف ہائپر ایج کی بائنری ویکٹر نمائندگی ہے۔ یہ اپ ڈیٹ E میں ہر ہائپر ایج کے لیے ایک بار لاگو کیا جانا چاہیے۔ ایک بار جب Pr[β, γ] کا حساب لگایا جاتا ہے، تو ہم بہترین منطقی اصلاح کا پتہ لگانے کے لیے اسے استعمال کر سکتے ہیں۔ اگر تجربے کے رن میں β* کا مشاہدہ کیا جاتا ہے، بتاتا ہے کہ منطقی آپریٹرز کی پیمائشوں کو کیسے درست کیا جانا چاہیے۔ MLD کی مخصوص تنصیبات کی مزید تفصیلات کے لیے، طریقے "Maximum likelihood implementations" دیکھیں۔ تجرباتی نفاذ اس مظاہرے کے لیے ہم ibm_peekskill v2.0.0 استعمال کرتے ہیں، جو 27 کیوبٹ IBM Quantum Falcon پروسیسر ہے جس کا کپلنگ میپ فاصلہ-3 ہیوی-ہیکساگون کوڈ کو فعال کرتا ہے، تصویر 1 دیکھیں۔ کیوبٹ پیمائش اور اس کے بعد ریئل ٹائم کنڈیشنل ری سیٹ کا کل وقت، ہر راؤنڈ کے لیے، 768ns لیتا ہے اور تمام کیوبٹس کے لیے یکساں ہے۔ بہتر کارکردگی کے لیے تمام سنڈروم پیمائشیں اور ری سیٹ بیک وقت ہوتے ہیں۔ کوڈ کیوبٹس کے دوران ان کی متعلقہ بیکار ادوار میں ایک سادہ Xπ-Xπ ڈائنامیکل ڈی-کپلنگ سیکوینس شامل کیا جاتا ہے۔ کیوبٹ لیک آؤٹ ایک اہم وجہ ہے کہ ڈیکوڈر ڈیزائن کے ذریعہ فرض کیا گیا پولی ڈپولرائزنگ ایرر ماڈل درست نہیں ہو سکتا ہے۔ کچھ معاملات میں، ہم پیمائش کے وقت پتہ لگا سکتے ہیں کہ آیا کیوبٹ کمپیوٹیشن سب اسپیس سے لیک ہوا ہے (پوسٹ-سلیکشن کے طریقہ کار اور حدود کے بارے میں مزید معلومات کے لیے طریقے "Post-selection method" دیکھیں۔) اس کا استعمال کرتے ہوئے، ہم تجربے کے ان رنوں پر پوسٹ-سلیکٹ کر سکتے ہیں جب لیک آؤٹ کا پتہ نہیں چلا تھا، ریفرنس 18 کی طرح۔ تصویر 2a میں، ہم منطقی حالت $|0\rangle$ کو شروع کرتے ہیں، اور r سنڈروم پیمائش راؤنڈز لاگو کرتے ہیں، جہاں ایک راؤنڈ میں X اور Z سٹیبلائزر دونوں شامل ہوتے ہیں (فی راؤنڈ تقریباً 5.3μs کا کل وقت، تصویر 1b)۔ اینالیٹیکل پرفیکٹ میچنگ ڈیکوڈنگ کو مکمل ڈیٹا سیٹ (500,000 شاٹس فی رن) پر استعمال کرتے ہوئے، ہم تصویر 2a، سرخ (نیلے) مثلث میں منطقی غلطیوں کو نکالتے ہیں۔ اینالیٹیکل پرفیکٹ میچنگ ڈیکوڈنگ میں استعمال شدہ آپٹمائزڈ پیرامیٹرز کی تفصیلات طریقے "IBM_Peekskill and experimental details" میں مل سکتی ہیں۔ مکمل ڈیکے کروز (مساوات 14) کو 10 راؤنڈز تک فٹ کرنے سے، ہم تصویر 2b میں 0.059(2) (0.058(3)) کے لیے $|0\rangle$ ($|1\rangle$) اور 0.113(5) (0.107(4)) کے لیے $|+\rangle$ ($|-\rangle$) کے لیے پوسٹ-سلیکشن کے بغیر فی راؤنڈ منطقی غلطی نکالتے ہیں۔ سنڈروم پیمائش راؤنڈز r بمقابلہ منطقی غلطی، جہاں ایک راؤنڈ میں Z اور X سٹیبلائزر پیمائش دونوں شامل ہیں۔ نیلے دائیں مثلث (سرخ مثلث) $|0\rangle$ ($|1\rangle$) حالتوں کے لیے خام تجرباتی ڈیٹا پر اینالاگٹیکل میچنگ ڈیکوڈنگ کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کردہ منطقی غلطیوں کو نشان زد کرتے ہیں۔ ہلکے نیلے مربع (ہلکے سرخ دائرے) $|+\rangle$ ($|-\rangle$) کے لیے اسی ڈیکوڈنگ میتھڈ کا استعمال کرتے ہوئے، لیکن لیک آؤٹ پوسٹ-سلیکٹڈ تجرباتی ڈیٹا کا استعمال کرتے ہوئے نشان زد کرتے ہیں۔ ایرر بارز ہر رن کی نمونہ کاری کی غلطی کو ظاہر کرتے ہیں (خام ڈیٹا کے لیے 500,000 شاٹس، پوسٹ-سلیکٹڈ کے لیے متغیر شاٹس کی تعداد)۔ ڈیشڈ لائنز تصویر 2b میں پوسٹ کیے گئے فی راؤنڈ غلطی کو ظاہر کرتی ہیں۔ لیک آؤٹ پوسٹ-سلیکٹڈ ڈیٹا پر اسی ڈیکوڈنگ میتھڈ کو لاگو کرنے سے، تمام چار منطقی حالتوں کے لیے مجموعی غلطی میں نمایاں کمی دکھائی دیتی ہے۔ پوسٹ-سلیکشن میتھڈ میں تفصیلات کے لیے دیکھیں۔ $|0\rangle$, $|1\rangle$, $|+\rangle$, اور $|-\rangle$ کے لیے فی راؤنڈ ریجیکشن ریٹ بالترتیب 4.91%، 4.64%، 4.37%، اور 4.89% ہیں۔ ایرر بارز فٹ شدہ شرح پر ایک معیاری انحراف کو ظاہر کرتے ہیں۔ , پوسٹ-سلیکٹڈ ڈیٹا کا استعمال کرتے ہوئے، ہم چار ڈیکوڈرز کے ساتھ حاصل کردہ منطقی غلطی کا موازنہ کرتے ہیں: میچنگ یونیفارم (گلابی دائرے)، میچنگ اینالاگٹیکل (سبز دائرے)، میچنگ اینالاگٹیکل ود سافٹ انفارمیشن (گرے دائرے)، اور میکسیمم لائکلیہوڈ (نیلے دائرے)۔ ( $|+\rangle$ اور $|-\rangle$ حالتوں کے لیے تصویر 6 دیکھیں۔) , میں ڈیشڈ فٹ شدہ شرحیں پیش کی گئی ہیں۔ ایرر بارز نمونہ کاری کی غلطی کو ظاہر کرتے ہیں۔ , لیک آؤٹ پوسٹ-سلیکٹڈ ڈیٹا پر اینالاگٹیکل، میچنگ اینالاگٹیکل ود سافٹ انفارمیشن، اور میکسیمم لائکلیہوڈ (نیلے) ڈیکوڈرز کا استعمال کرتے ہوئے تمام چار منطقی حالتوں کے لیے فی راؤنڈ فٹ شدہ غلطی کا موازنہ۔ ایرر بارز فٹ شدہ شرح پر ایک معیاری انحراف کی نمائندگی کرتے ہیں۔ a b c d e f e f لیک
