```html مصنفین: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder خلاصہ بڑے پیمانے پر الگورتھم پر عملدرآمد کو جسمانی غلطیوں کے جمع ہونے سے روکا جاتا ہے موجودہ کوانٹم کمپیوٹرز میں۔ کوانٹم غلطی کی اصلاح ایک حل کا وعدہ کرتی ہے جس میں *k* منطقی qubits کو *n* جسمانی qubits کی ایک بڑی تعداد میں انکوڈ کیا جاتا ہے، تاکہ جسمانی غلطیوں کو ایک مطلوبہ حساب درست فائیڈیلیٹی کے ساتھ چلانے کی اجازت دینے کے لیے کافی حد تک دبایا جا سکے۔ کوانٹم غلطی کی اصلاح عملی طور پر قابلِ حصول ہو جاتی ہے جب جسمانی غلطی کی شرح ایک حد قدر سے نیچے ہو جو کوانٹم کوڈ کے انتخاب، سنڈروم کی پیمائش کے سرکٹ اور ڈیکوڈنگ الگورتھم پر منحصر ہو۔ ہم ایک اینڈ-ٹو-اینڈ کوانٹم غلطی کی اصلاح کا پروٹوکول پیش کرتے ہیں جو کم کثافت والے پیرٹی-چیک کوڈز کے خاندان کی بنیاد پر فالٹ ٹولرنٹ میموری کو لاگو کرتا ہے۔ ہمارا طریقہ معیاری سرکٹ پر مبنی شور ماڈل کے لیے 0.7% کی غلطی کی حد حاصل کرتا ہے، جو سرفیس کوڈ کے برابر ہے جو 20 سال سے غلطی کی حد کے لحاظ سے معروف کوڈ رہا ہے۔ ہماری فیملی میں لمبائی-*n* کوڈ کے لیے سنڈروم کی پیمائش کا سائیکل *n* انسیلری qubits اور CNOT گیٹس، کیوبٹ کی ابتدائی کاریوں اور پیمائشوں کے ساتھ ایک گہرائی-8 سرکٹ کا تقاضا کرتا ہے۔ مطلوبہ کیوبٹ کنیکٹیویٹی ایک ڈگری-6 گراف ہے جو دو کنارے سے الگ پلانر سب گراف سے بنا ہے۔ خاص طور پر، ہم دکھاتے ہیں کہ 12 منطقی qubits کو 288 جسمانی qubits کا استعمال کرتے ہوئے تقریباً 1 ملین سنڈروم سائیکلز کے لیے محفوظ کیا جا سکتا ہے، جبکہ 0.1% کی جسمانی غلطی کی شرح فرض کی جاتی ہے، جبکہ سرفیس کوڈ کو مذکورہ کارکردگی حاصل کرنے کے لیے تقریباً 3000 جسمانی qubits کی ضرورت ہوگی۔ ہماری تحقیق قریب المدت کوانٹم پروسیسرز کی پہنچ میں کم اوور ہیڈ والے فالٹ ٹولرنٹ کوانٹم میموری کی نمائشیں لاتی ہے۔ بنیادی کوانٹم کمپیوٹنگ نے اپنی صلاحیت کی وجہ سے توجہ حاصل کی ہے کہ وہ سب سے بہترین معلوم کلاسیکی الگورتھمز کے مقابلے میں کمپیوٹیشنل مسائل کے ایک سیٹ کے لیے تیزی سے حل پیش کرے۔ یہ خیال کیا جاتا ہے کہ ایک فعال قابلِ توسیع کوانٹم کمپیوٹر سائنسی دریافت، مواد کی تحقیق، کیمسٹری اور ادویات کے ڈیزائن جیسے شعبوں میں کمپیوٹیشنل مسائل کو حل کرنے میں مدد کر سکتا ہے، چند ناموں کے لیے۔ ایک کوانٹم کمپیوٹر بنانے میں سب سے بڑی رکاوٹ کوانٹم معلومات کی نزاکت ہے، جو مختلف ذرائع سے متاثر ہوتی ہے۔ چونکہ ایک کوانٹم کمپیوٹر کو بیرونی اثرات سے الگ کرنا اور اسے مطلوبہ حساب کو انجام دینے کے لیے کنٹرول کرنا آپس میں متصادم ہیں، اس لیے شور ناگزیر معلوم ہوتا ہے۔ شور کے ذرائع میں qubits میں خامیاں، استعمال شدہ مواد، کنٹرولنگ اپریٹس، اسٹیٹ پریپریشن اور پیمائش کی غلطیاں، اور مختلف بیرونی عوامل شامل ہیں جن میں مقامی طور پر انسان ساختہ، جیسے stray electromagnetic fields، سے لے کر کائنات کی اندرونی خصوصیات، جیسے cosmic rays، تک شامل ہیں۔ خلاصہ کے لیے ref. دیکھیں۔ اگرچہ شور کے کچھ ذرائع بہتر کنٹرول، مواد اور شیلڈنگ کے ساتھ ختم کیے جا سکتے ہیں، لیکن دیگر کئی ذرائع کو ختم کرنا مشکل یا ناممکن معلوم ہوتا ہے۔ آخری قسم میں مقید آئنوں میں خود بخود اور متحرک اخراج، اور سپرکونڈکٹنگ سرکٹس میں غسل (Purcell effect) کے ساتھ تعامل شامل ہو سکتا ہے - جو دونوں معروف کوانٹم ٹیکنالوجیز کا احاطہ کرتا ہے۔ اس طرح، کوانٹم غلطی کی اصلاح ایک فعال قابلِ توسیع کوانٹم کمپیوٹر بنانے کے لیے ایک کلیدی ضرورت بن جاتی ہے۔ کوانٹم فالٹ ٹولرنس کا امکان اچھی طرح سے قائم ہے۔ ایک منطقی qubit کو بہت سے جسمانی qubits میں اضافی طور پر انکوڈ کرنے سے سنڈروم کی پیمائشوں کے ذریعے غلطیوں کی تشخیص اور اصلاح ممکن ہوتی ہے۔ تاہم، غلطی کی اصلاح صرف اس صورت میں فائدہ مند ہوتی ہے جب ہارڈ ویئر میں غلطی کی شرح ایک مخصوص حد قدر سے کم ہو جو مخصوص غلطی کی اصلاح پروٹوکول پر منحصر ہو۔ کوانٹم غلطی کی اصلاح کے لیے پہلے کے تجاویز، جیسے concatenated codes، غلطی کو دبانے کے نظری امکان کو ظاہر کرنے پر مرکوز تھیں۔ جیسے جیسے کوانٹم غلطی کی اصلاح اور کوانٹم ٹیکنالوجیز کی صلاحیتوں کی سمجھ پختہ ہوئی، توجہ نے عملی کوانٹم غلطی کی اصلاح پروٹوکولز کو تلاش کرنے کی طرف منتقل کیا۔ اس کے نتیجے میں سرفیس کوڈ کی ترقی ہوئی، جو تقریباً 1% کی اعلیٰ غلطی کی حد، تیز ڈیکوڈنگ الگورتھم، اور دو جہتی (2D) مربع جالی کیوبٹ کنیکٹیویٹی پر انحصار کرنے والے موجودہ کوانٹم پروسیسرز کے ساتھ مطابقت پیش کرتا ہے۔ ایک منطقی کیوبٹ کے ساتھ سرفیس کوڈ کے چھوٹے نمونے پہلے ہی کئی گروہوں کے ذریعہ تجرباتی طور پر مظاہرہ کیے جا چکے ہیں۔ تاہم، 100 یا اس سے زیادہ منطقی qubits تک سرفیس کوڈ کو بڑھانا اس کی خراب انکوڈنگ کارکردگی کی وجہ سے ناقابلِ برداشت طور پر مہنگا ہوگا۔ اس نے کم کثافت والے پیرٹی-چیک (LDPC) کوڈز کے نام سے جانے جانے والے زیادہ عام کوانٹم کوڈز میں دلچسپی پیدا کی۔ LDPC کوڈز کے مطالعہ میں حالیہ پیشرفت بتاتی ہے کہ وہ بہت زیادہ انکوڈنگ کارکردگی کے ساتھ کوانٹم فالٹ ٹولرنس حاصل کر سکتے ہیں۔ یہاں، ہم LDPC کوڈز کے مطالعہ پر توجہ مرکوز کرتے ہیں، کیونکہ ہمارا مقصد کوانٹم غلطی کی اصلاح کوڈز اور پروٹوکولز تلاش کرنا ہے جو عملی طور پر قابلِ حصول اور کارگر دونوں ہوں، کوانٹم کمپیوٹنگ ٹیکنالوجیز کی حدود کو مدنظر رکھتے ہوئے۔ ایک کوانٹم غلطی کو درست کرنے والا کوڈ LDPC قسم کا ہوتا ہے اگر کوڈ کا ہر چیک آپریٹر صرف چند qubits پر عمل کرتا ہے اور ہر qubit صرف چند چیکس میں حصہ لیتا ہے۔ حال ہی میں LDPC کوڈز کے کئی تغیرات تجویز کیے گئے ہیں جن میں hyperbolic surface codes، hypergraph product، balanced product codes، محدود گروہوں پر مبنی دو بلاک کوڈز، اور quantum Tanner codes شامل ہیں۔ مؤخر الذکر کو انکوڈنگ کی شرح اور لکیری فاصلہ کو مستقل رکھنے کے لحاظ سے تیزی سے 'اچھا' دکھایا گیا ہے: ایک پیرامیٹر جو قابلِ تصحیح غلطیوں کی تعداد کو ظاہر کرتا ہے۔ اس کے برعکس، سرفیس کوڈ میں تیزی سے صفر انکوڈنگ کی شرح اور صرف مربع جڑ کا فاصلہ ہوتا ہے۔ سرفیس کوڈ کو اعلیٰ شرح، اعلیٰ فاصلہ والے LDPC کوڈ سے بدلنے سے اہم عملی مضمرات ہو سکتے ہیں۔ سب سے پہلے، فالٹ ٹولرنس اوور ہیڈ (جسمانی اور منطقی qubits کے درمیان کا تناسب) نمایاں طور پر کم کیا جا سکتا ہے۔ دوسرا، اعلیٰ فاصلہ والے کوڈز منطقی غلطی کی شرح میں بہت تیزی سے کمی دکھاتے ہیں: جب جسمانی غلطی کی امکانیت حد قدر سے تجاوز کرتی ہے، تو کوڈ سے حاصل ہونے والی غلطی کی دباؤ کی مقدار جسمانی غلطی کی شرح میں معمولی کمی کے ساتھ بھی کئی گنا بڑھ سکتی ہے۔ یہ خصوصیت اعلیٰ فاصلہ والے LDPC کوڈز کو قریب المدت نمائشوں کے لیے پرکشش بناتی ہے جو غالباً قریب حد کے ریجیم میں چلیں گی۔ تاہم، پہلے یہ خیال کیا جاتا تھا کہ حقیقت پسندانہ شور کے ماڈلز کے لیے سرفیس کوڈ سے بہتر کارکردگی حاصل کرنے کے لیے جن میں میموری، گیٹ، اور اسٹیٹ پریپریشن اور پیمائش کی غلطیاں شامل ہیں، 10,000 سے زیادہ جسمانی qubits کے ساتھ بہت بڑے LDPC کوڈز کی ضرورت پڑ سکتی ہے۔ یہاں ہم اعلیٰ شرح LDPC کوڈز کی کئی ٹھوس مثالیں پیش کرتے ہیں جن میں کچھ سو جسمانی qubits شامل ہیں جو کم گہرائی کے سنڈروم کی پیمائش کے سرکٹ، ایک موثر ڈیکوڈنگ الگورتھم، اور انفرادی منطقی qubits کو خطاب کرنے کے لیے ایک فالٹ ٹولرنٹ پروٹوکول سے لیس ہیں۔ یہ کوڈز 0.7% کے قریب غلطی کی حد دکھاتے ہیں، قریب حد کے ریجیم میں بہترین کارکردگی کا مظاہرہ کرتے ہیں، اور سرفیس کوڈ کے مقابلے میں انکوڈنگ اوور ہیڈ میں 10 گنا کمی پیش کرتے ہیں۔ ہمارے غلطی کی اصلاح کے پروٹوکولز کو لاگو کرنے کے لیے ہارڈ ویئر کی ضروریات نسبتاً معمولی ہیں، کیونکہ ہر جسمانی qubit صرف چھ دیگر qubits کے ساتھ دو-کیوبٹ گیٹس کے ذریعے جڑا ہوا ہے۔ اگرچہ کیوبٹ کنیکٹیویٹی گراف 2D گرڈ میں مقامی طور پر ایمبیڈ ایبل نہیں ہے، اسے دو پلانر ڈگری-3 سب گراف میں تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ جیسا کہ ہم ذیل میں دلیل دیتے ہیں، ایسی کیوبٹ کنیکٹیویٹی سپرکونڈکٹنگ qubits پر مبنی فن تعمیرات کے لیے موزوں ہے۔ ہمارے کوڈز MacKay et al. کے تجویز کردہ بائیسائیکل کوڈز کی عمومی شکل ہیں اور refs. میں مزید گہرائی سے مطالعہ کیے گئے ہیں۔ ہم نے اپنے کوڈز کو بائیرویریٹ بائیسائیکل (BB) کا نام دیا ہے کیونکہ وہ بائیرویریٹ پولینومیلز پر مبنی ہیں، جیسا کہ طریقے [cite: Sec2] میں تفصیل سے بتایا گیا ہے۔ یہ Calderbank–Shor–Steane (CSS) قسم کے اسٹیبلائزر کوڈز ہیں جنہیں Pauli *X* اور *Z* پر مشتمل چھ-کیوبٹ چیک (اسٹیبلائزر) آپریٹرز کے مجموعہ سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ بلند سطح پر، ایک BB کوڈ دو جہتی ٹورک کوڈ کے مشابہ ہے۔ خاص طور پر، ایک BB کوڈ کے جسمانی qubits کو ٹورائڈل باؤنڈری کنڈیشنز کے ساتھ دو جہتی گرڈ پر رکھا جا سکتا ہے تاکہ تمام چیک آپریٹرز کو گرڈ کے افقی اور عمودی شفٹوں کو لاگو کر کے *X* اور *Z* چیکس کے ایک ہی جوڑے سے حاصل کیا جا سکے۔ تاہم، ٹورک کوڈ کو بیان کرنے والے plaquette اور vertex stabilizers کے برعکس، BB کوڈز کے چیک آپریٹرز ہندسی طور پر مقامی نہیں ہیں۔ مزید برآں، ہر چیک چار qubits کے بجائے چھ qubits پر عمل کرتا ہے۔ ہم کوڈ کو ایک ٹینر گراف *G* کے ذریعہ بیان کریں گے تاکہ *G* کا ہر راس یا تو ڈیٹا کیوبٹ یا چیک آپریٹر کی نمائندگی کرے۔ ایک چیک راس *i* اور ایک ڈیٹا راس *j* ایک کنارے سے جڑے ہوتے ہیں اگر *i* ویں چیک آپریٹر *j* ویں ڈیٹا کیوبٹ پر غیر معمولی طور پر عمل کرتا ہے (Pauli *X* یا *Z* کو لاگو کر کے)۔ مثال کے طور پر ٹینر گراف کے لیے figs. [cite: 1a, b] دیکھیں، بالترتیب سرفیس اور BB کوڈز کے۔ کسی بھی BB کوڈ کے ٹینر گراف میں ورٹکس ڈگری چھ اور گراف کی موٹائی دو کے برابر ہوتی ہے، جس کا مطلب ہے کہ اسے دو کنارے سے الگ پلانر سب گراف میں تقسیم کیا جا سکتا ہے (Methods [cite: Sec2])۔ تھکنس-2 کیوبٹ کنیکٹیویٹی سپرکونڈکٹنگ qubits کے لیے موزوں ہے جو مائیکروویو ریزونیٹرز کے ذریعے جڑے ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، کپلرز کی دو پلانر تہیں اور ان کی کنٹرول لائنیں qubits کو ہوسٹ کرنے والے چپ کے اوپر اور نیچے والے حصے سے منسلک کی جا سکتی ہیں، اور دونوں اطراف کو جوڑا جا سکتا ہے۔ , سرفیس کوڈ کا ٹینر گراف، موازنہ کے لیے۔ , [[144, 12, 12]] پیرامیٹرز والے BB کوڈ کا ٹینر گراف جو ایک ٹورائڈ میں ایمبیڈ کیا گیا ہے۔ ٹینر گراف کا کوئی بھی کنارہ ڈیٹا اور چیک راس کو جوڑتا ہے۔ *q*( ) اور *q*( ) رجسٹروں سے وابستہ ڈیٹا کیوبٹس کو بالترتیب نیلے اور نارنجی دائروں سے دکھایا گیا ہے۔ ہر راس میں چار مختصر رینج کنارے (شمال، جنوب، مشرق اور مغرب کی طرف اشارہ کرتے ہوئے) اور دو طویل رینج کنارے شامل ہیں، جن میں چھ کنارے ہوتے ہیں۔ ہم صرف ہلچل سے بچنے کے لیے کچھ طویل رینج کے کنارے دکھاتے ہیں۔ ڈیشڈ اور ٹھوس کنارے ٹینر گراف کو پھیلانے والے دو پلانر سب گراف کی نشاندہی کرتے ہیں، Methods [cite: Sec2] دیکھیں۔ , ref. کے مطابق *X* اور *Z* کی پیمائش کے لیے ٹینر گراف کی توسیع کا خاکا۔ *X* پیمائش سے متعلق انسیلا کو سرفیس کوڈ سے جوڑا جا سکتا ہے، جو کوانٹم ٹیلی پورٹیشن اور کچھ منطقی یونٹریز کے ذریعے تمام منطقی qubits کے لیے لوڈ-اسٹور آپریشنز کو فعال کرتا ہے۔ یہ توسیعی ٹینر گراف *A* اور *B* کنارے [cite: Sec2] کے ذریعے تھکنس-2 فن تعمیر میں بھی ایک نفاذ ہے۔ a b L R c [[*n*, *k*, *d*]] پیرامیٹرز والے BB کوڈ *k* منطقی qubits کو *n* ڈیٹا qubits میں انکوڈ کرتا ہے جو *d* کوڈ فاصلہ پیش کرتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ کوئی بھی منطقی غلطی کم از کم *d* ڈیٹا qubits کو پھیلاتی ہے۔ ہم *n* ڈیٹا qubits کو *n*/2 سائز کے *q*(*L*) اور *q*(*R*) رجسٹروں میں تقسیم کرتے ہیں۔ کوئی بھی چیک *q*(*L*) سے تین qubits اور *q*(*R*) سے تین qubits پر عمل کرتا ہے۔ کوڈ سنڈروم کی غلطی کی پیمائش کے لیے *n* انسیلری چیک qubits پر انحصار کرتا ہے۔ ہم *n*/2 سائز کے *q*(*X*) اور *q*(*Z*) رجسٹروں میں *n* چیک qubits کو تقسیم کرتے ہیں جو بالترتیب *X* اور *Z* قسم کے سنڈروم جمع کرتے ہیں۔ کل ملا کر، انکوڈنگ 2*n* جسمانی qubits پر منحصر ہے۔ اس لیے خالص انکوڈنگ کی شرح *r* = *k*/*(2n)* ہے۔ مثال کے طور پر، معیاری سرفیس کوڈ فن تعمیر *k* = 1 منطقی کیوبٹ کو *d* فاصلہ والے کوڈ کے لیے *n* = *d* ڈیٹا qubits میں انکوڈ کرتا ہے اور سنڈروم کی پیمائشوں کے لیے *n* - 1 چیک qubits استعمال کرتا ہے۔ خالص انکوڈنگ کی شرح *r* ≈ 1/(2*d* ) ہے، جو تیزی سے ناقابلِ استعمال ہو جاتی ہے کیونکہ کسی کو بڑے کوڈ فاصلے کا انتخاب کرنے پر مجبور کیا جاتا ہے، مثال کے طور پر، جسمانی غلطیاں حد قدر کے قریب ہونے کی وجہ سے۔ اس کے برعکس، BB کوڈز میں انکوڈنگ کی شرح *r* ≫ 1/*d* ہوتی ہے، کوڈ کی مثالوں کے لیے ٹیبل دیکھیں۔ ہماری بہترین معلومات کے مطابق، ٹیبل میں دکھائے گئے تمام کوڈز نئے ہیں۔ فاصلہ-12 کوڈ [[144, 12, 12]] قریب المدت نمائشوں کے لیے سب سے زیادہ امید افزا ہو سکتا ہے، کیونکہ یہ بڑے فاصلے اور اعلیٰ خالص انکوڈنگ کی شرح *r* = 1/24 کو یکجا کرتا ہے۔ موازنہ کے لیے، فاصلہ-11 سرفیس کوڈ میں خالص انکوڈنگ کی شرح *r* = 1/241 ہوتی ہے۔ ذیل میں، ہم دکھاتے ہیں کہ فاصلہ-12 BB کوڈ فاصلہ-11 سرفیس کوڈ سے تجرباتی طور پر متعلقہ غلطی کی شرحوں کی حد کے لیے بہتر کارکردگی کا مظاہرہ کرتا ہے۔ 2 2 2 غلطیوں کے جمع ہونے کو روکنے کے لیے، غلطی کے سنڈروم کو کافی حد تک بار بار ماپنا ضروری ہے۔ یہ ایک سنڈروم کی پیمائش کے سرکٹ کے ذریعے حاصل کیا جاتا ہے جو ہر چیک آپریٹر کے تعاون میں ڈیٹا qubits کو متعلقہ انسیلری کیوبٹ سے CNOT گیٹس کی ترتیب کے ذریعے جوڑتا ہے۔ پھر چیک qubits کی پیمائش کی جاتی ہے جو غلطی کے سنڈروم کی قدر ظاہر کرتی ہے۔ سنڈروم کی پیمائش کے سرکٹ کو لاگو کرنے میں لگنے والا وقت اس کی گہرائی کے متناسب ہوتا ہے: گیٹ کی تہوں کی تعداد جو غیر اوورلیپنگ CNOTs سے بنی ہوتی ہے۔ چونکہ سنڈروم کی پیمائش کے سرکٹ کو لاگو کرنے کے دوران نئی غلطیاں جاری رہتی ہیں، اس کی گہرائی کو کم سے کم کیا جانا چاہیے۔ BB کوڈ کے لیے سنڈروم کی پیمائش کا مکمل سائیکل fig. پر دکھایا گیا ہے۔ سنڈروم سائیکل کے لیے کوڈ کی لمبائی سے قطع نظر صرف سات CNOTs کی تہوں کی ضرورت ہوتی ہے۔ چیک qubits کو سنڈروم سائیکل کے شروع اور آخر میں بالترتیب شروع اور ماپا جاتا ہے (تفصیلات کے لیے Methods [cite: Sec2] دیکھیں۔ سرکٹ بنیادی کوڈ کے چکراتی شفٹ ہم آہنگی کا احترام کرتا ہے۔ CNOTs کی سات تہوں پر انحصار کرنے والے سنڈروم کی پیمائش کا مکمل سائیکل۔ ہم سرکٹ کا ایک مقامی نظارہ فراہم کرتے ہیں جس میں *q*(*L*) اور *q*(*R*) کے ہر رجسٹر سے صرف ایک ڈیٹا کیوبٹ شامل ہے۔ سرکٹ ٹینر گراف کی افقی اور عمودی شفٹوں کے تحت ہم آہنگ ہے۔ ہر ڈیٹا کیوبٹ تین *X*-چیک اور تین *Z*-چیک qubits کے ساتھ CNOTs کے ذریعے جڑا ہوا ہے: مزید تفصیلات کے لیے Methods [cite: Sec2] دیکھیں۔ مکمل غلطی کی اصلاح پروٹوکول *N* ≫ 1 سنڈروم کی پیمائش کے سائیکلز انجام دیتا ہے اور پھر ایک ڈیکوڈر کو کال کرتا ہے: ایک کلاسیکی الگورتھم جو ماپا ہوا سنڈروم کو ان پٹ کے طور پر لیتا ہے اور ڈیٹا qubits پر حتمی غلطی کا اندازہ آؤٹ پٹ کرتا ہے۔ غلطی کی اصلاح اس صورت میں کامیاب ہوتی ہے جب اندازہ شدہ اور اصل غلطی چیک آپریٹرز کے پروڈکٹ ماڈیولو سے مماثل ہو۔ اس صورت میں، دونوں غلطیوں کا کسی بھی انکوڈڈ (منطقی) حالت پر ایک ہی عمل ہوتا ہے۔ اس طرح، اندازہ شدہ غلطی کے الٹ کو لاگو کرنے سے ڈیٹا qubits ابتدائی منطقی حالت میں واپس آ جاتے ہیں۔ بصورت دیگر، اگر اندازہ شدہ اور اصل غلطی غیر معمولی منطقی آپریٹر سے مختلف ہوتی ہے، تو غلطی کی اصلاح ناکام ہو جاتی ہے جس کے نتیجے میں منطقی غلطی ہوتی ہے۔ ہمارے عددی تجربات Panteleev اور Kalachev کے تجویز کردہ آرڈرڈ سٹیٹسٹکس ڈیکوڈر (BP-OSD) کے ساتھ عقیدے کے پروپیگنڈے پر مبنی ہیں۔ اصل کام نے صرف میموری کی غلطیوں کے ساتھ ایک ٹوائے شور ماڈل کے تناظر میں BP-OSD کو بیان کیا۔ یہاں ہم دکھاتے ہیں کہ BP-OSD کو سرکٹ پر مبنی شور ماڈل میں کیسے بڑھایا جائے، تفصیلات کے لیے سپلیمنٹری انفارمیشن [cite: MOESM1] دیکھیں۔ ہمارا نقطہ نظر refs. کی closely پیروی کرتا ہے۔ c سنڈروم کی پیمائش کے سرکٹ کا ایک شور والا ورژن کئی قسم کے ناقص آپریشنز پر مشتمل ہو سکتا ہے جیسے کہ بیکار ڈیٹا یا چیک qubits پر میموری کی غلطیاں، ناقص CNOT گیٹس، کیوبٹ کی ابتدائی کاری اور پیمائش۔ ہم سرکٹ پر مبنی شور ماڈل پر غور کرتے ہیں جس میں ہر آپریشن *p* کی امکانیت کے ساتھ آزادانہ طور پر ناکام ہو جاتا ہے۔ منطقی غلطی *p* کی امکانیت *p*، سنڈروم کی پیمائش کے سرکٹس کی تفصیلات، اور ڈیکوڈنگ الگورتھم پر منحصر ہے۔ *N* سنڈروم سائیکلز انجام دینے کے بعد منطقی غلطی کی امکانیت کو *P* (*N* ) کے طور پر دکھائیں۔ منطقی غلطی کی شرح کو *p* = *P* (*N* )/*N* کے طور پر بیان کریں, جہاں *N* = *d* کے لیے *P* (*d*) کی قدر کا اندازہ لگایا جاتا ہے۔ غیر رسمی طور پر، *p* کو فی سنڈروم سائیکل منطقی غلطی کی امکانیت کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ عام رواج کے مطابق، ہم *d* فاصلہ والے کوڈ کے لیے *N* = *d* کا انتخاب کرتے ہیں۔ ٹیبل سے کوڈز کے لیے حاصل کردہ منطقی غلطی کی شرح fig. دکھاتا ہے۔ منطقی غلطی کی شرح کو *p* ≥ 10 کے لیے عددی طور پر شمار کیا گیا تھا اور ایک فٹنگ فارمولا [cite: Sec2] کا استعمال کرتے ہوئے کم شرحوں تک بڑھایا گیا تھا۔ بریک-ایون مساوات *p* (*p*) = *k*p* کا حل *p* کے طور پر وقفے کی حد *p* کی تعریف کی گئی ہے۔ یہاں *kp* *k* غیر انکوڈڈ qubits میں سے کم از کم ایک کے غلطی کا شکار ہونے کی امکانیت کا تخمینہ ہے۔ BB کوڈز 0.7% کے قریب ایک وقفے کی حد پیش کرتے ہیں، ٹیبل دیکھیں، جو سرفیس کوڈ کی غلطی کی حد کے قریب قریب برابر ہے اور مصنفین کے علم میں موجود تمام اعلیٰ شرح LDPC کوڈز کی حد سے تجاوز کرتا ہے۔ L c L c L L c c c L L c −3 L 0 0 , BB LDPC کوڈز کے چھوٹے نمونوں کے لیے منطقی بمقابلہ جسمانی غلطی کی شرح۔ *p* (ہیرے) کا عددی تخمینہ فاصلہ-*d* کوڈ کے لیے *d* سنڈروم سائیکلز کی سمولیشن سے حاصل کیا گیا تھا۔ زیادہ تر ڈیٹا پوائنٹس میں نمونے کی غلطیوں کی وجہ سے تقریباً *p* /10 کے برابر ایرر بار ہوتے ہیں۔ , 12 منطقی qubits اور فاصلہ *d* ∈ {9, 11, 13, 15} والے BB LDPC کوڈ [[144, 12, 12]] اور سرفیس کوڈز کے درمیان موازنہ۔ 12 منطقی qubits والے فاصلہ-*d* سرفیس کوڈ کی لمبائی *n* = 12*d* ہے کیونکہ ہر منطقی کیوبٹ کو سرفیس کوڈ جالی کے ایک الگ *d* × *d* پیچ میں انکوڈ کیا جاتا ہے۔ a L L b 2 مثال کے طور پر، فرض کریں کہ جسمانی غلطی کی شرح *p* = 10 ہے، جو قریب المدت نمائشوں کے لیے ایک حقیقت پسندانہ ہدف ہے۔ ٹیبل سے فاصلہ-12 کوڈ کا استعمال کرتے ہوئے 12 منطقی qubits کو انکوڈ کرنے سے 2 × 10 کی منطقی غلطی کی شرح ملے گی، جو تقریباً 1 ملین سنڈروم سائیکلز کے لیے 12 منطقی qubits کو محفوظ کرنے کے لیے کافی ہے۔ اس انکوڈنگ کے لیے مطلوبہ جسمانی qubits کی کل تعداد 288 ہے۔ ٹیبل سے فاصلہ-18 کوڈ کے لیے 576 جسمانی qubits کی ضرورت ہوگی جبکہ غلطی کی شرح کو 10 سے 2 × 10 تک دبانے سے تقریباً سو ارب سنڈروم سائیکلز ممکن ہوں گے۔ موازنہ کے لیے، 12 منطقی qubits کو سرفیس کوڈ کے الگ الگ پیچز میں انکوڈ کرنے کے لیے غلطی کی شرح کو 10 سے 10 (fig.) تک دبانے کے لیے 3000 سے زیادہ جسمانی qubits کی ضرورت ہوگی۔ اس مثال میں، فاصلہ-12 BB کوڈ سرفیس کوڈ کے مقابلے میں جسمانی qubits کی تعداد میں 10 گنا بچت پیش کرتا ہے۔ −3 −7 −3 −12 −3 −7 غلطیوں کے جمع ہونے کو روکنے کے لیے، غلطی کے سنڈروم کو کافی حد تک بار بار ماپنا ضروری ہے۔ یہ ایک سنڈروم کی پیمائش کے سرکٹ کے ذریعے حاصل کیا جاتا ہے جو ہر چیک آپریٹر کے تعاون میں ڈیٹا qubits کو متعلقہ انسیلری کیوبٹ سے CNOT گیٹس کی ترتیب کے ذریعے جوڑتا ہے۔ پھر چیک qubits کی پیمائش کی جاتی ہے جو غلطی کے سنڈروم کی قدر ظاہر کرتی ہے۔ سنڈروم کی پیمائش کے سرکٹ کو لاگو کرنے میں لگنے والا وقت اس کی گہرائی کے متناسب ہوتا ہے: گیٹ کی تہوں کی تعداد جو غیر اوورلیپنگ CNOTs سے بنی ہوتی ہے۔ چونکہ سنڈروم کی پیمائش کے سرکٹ کو لاگو کرنے کے دوران نئی غلطیاں جاری رہتی ہیں، اس کی گہرائی کو کم سے کم کیا جانا چاہیے۔ BB کوڈ کے لیے سنڈروم کی پیمائش کا مکمل سائیکل fig. پر دکھایا گیا ہے۔ سنڈروم سائیکل کے لیے کوڈ کی لمبائی سے قطع نظر صرف سات CNOTs کی تہوں کی ضرورت ہوتی ہے۔ چیک qubits کو سنڈروم سائیکل کے شروع اور آخر میں بالترتیب شروع اور ماپا جاتا ہے (تفصیلات کے لیے Methods [cite: Sec2] دیکھیں۔ سرکٹ بنیادی کوڈ کے چکراتی شفٹ ہم آہنگی کا احترام کرتا ہے۔ کوانٹم غلطی کی اصلاح کا ایک پروٹوکول صرف اس صورت میں مفید ہوتا ہے جب منطقی qubits قابلِ رسائی ہوں۔ خوش قسمتی سے، BB LDPC کوڈز منطقی میموری کے طور پر کام کرنے کے لیے ضروری خصوصیات رکھتے ہیں۔ جیسا کہ fig. [cite: 1c] میں دکھایا گیا ہے، ٹینر گراف کی توسیع جو Cohen et al. کی تکنیکوں کا فائدہ اٹھاتی ہے، ایک انسیلری سرفیس کوڈ کے ساتھ مشترکہ فالٹ ٹولرنٹ پیمائش آپریشنز کو فعال کرتی ہے۔ یہ پیمائشیں فالٹ ٹولرنٹ لوڈ-اسٹور آپریشنز کو آسان بناتی ہیں۔ مزید تفصیلات کے لیے سپلیمنٹری انفارمیشن [cite: MOESM1] دیکھیں۔ ہمارے کام میں سپرکونڈکٹنگ qubits کے ساتھ نئے کوڈز کو فعال کرنے کے لیے کلیدی ہارڈ ویئر چیلنجز کو اجاگر کیا گیا ہے: (1) تھکنس-2 فن تعمیر کے لیے کم نقصان والے دوسرے تہہ کی ترقی؛ (2) ایسے qubits کی ترقی جو سات کنکشنز (چھ بسز اور ایک کنٹرول لائن) سے جڑے ہوسکتے ہیں؛ اور (3) طویل رینج کے کپلرز کی ترقی۔ یہ سب حل کرنے میں مشکل ہیں لیکن ناممکن نہیں۔ پہلے چیلنج کے لیے، ہم IBM Quantum Eagle پروسیسر کے لیے تیار کی گئی پیکجنگ میں ایک چھوٹی تبدیلی کا تصور کر سکتے ہیں۔ سب سے آسان اضافی بسوں کو چپ کے مخالف طرف رکھنا ہوگا۔ اس کے لیے سبسٹریٹ کے ذریعے اعلیٰ *Q* ویز کی ترقی کی ضرورت ہوگی جو کپلنگ بسوں کا حصہ ہوں گے اور اس طرح ان سبسٹریٹ ویز کی حمایت کرنے کے لیے وائرلیس مائیکروویو سمولیشن کی ضرورت ہوگی جبکہ بڑی ناپسندیدہ کراس ٹاک متعارف نہ کرائیں۔ دوسرا چیلنج ہیوی ہیکس لیٹائس arrangements سے کپلرز کی تعداد کا توسیعی ہے، جو سات تک ہے (تین کپلرز اور ایک کنٹرول)۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ کراس ریزونینس گیٹ، جو پچھلے کچھ سالوں سے بڑے کوانٹم سسٹم میں استعمال ہونے والا بنیادی گیٹ رہا ہے، آگے کا راستہ نہیں ہوگا۔ کراس ریزونینس گیٹس میں qubits قابلِ ٹیوننگ نہیں ہوتے اور اس طرح بہت سے کنکشن والے بڑے ڈیوائس کے لیے توانائی کے تصادم کا امکان (صرف کیوبٹ لیولز کا ہی نہیں بلکہ ٹرانسمون کے اعلیٰ لیولز کا بھی) بہت تیزی سے ایک تک پہنچ جاتا ہے۔ تاہم، IBM Quantum Egret میں قابلِ ٹیوننگ کپلر کے ساتھ اور اب IBM Quantum Heron کے لیے تیار کیا جا رہا ہے، یہ مسئلہ اب موجود نہیں ہے کیونکہ کیوبٹ فریکوئنسیز کو دور رکھنے کے لیے ڈیزائن کیا جا سکتا ہے۔ یہ نیا گیٹ گوگل کوانٹم AI کے استعمال کردہ گیٹس سے بھی ملتا جلتا ہے، جنہوں نے دکھایا ہے کہ ایک مربع جالی arrangement ممکن ہے۔ سات کنکشنوں تک کپلنگ میپ کو بڑھانے کے لیے قابلِ ذکر مائیکروویو ماڈلنگ کی ضرورت ہوگی؛ تاہم، عام ٹرانسمون میں تقریباً 60 fF کی گنجائش ہوتی ہے اور ہر گیٹ تقریباً 5 fF ہوتا ہے تاکہ مناسب کپلنگ کی طاقت بسوں تک پہنچائی جا سکے، اس لیے یہ بنیادی طور پر ٹرانسمون qubits کی طویل ہم آہنگی کے اوقات اور استحکام کو تبدیل کیے بغیر اس کپلنگ میپ کو تیار کرنا ممکن ہے۔ آخری چیلنج سب سے مشکل ہے۔ ان بسوں کے لیے جو اتنی چھوٹی ہیں کہ بنیادی موڈ کا استعمال کیا جا سکتا ہے، معیاری سرکٹ کوانٹم الیکٹروڈائنامکس ماڈل درست ہے۔ تاہم، 144-کیوبٹ کوڈ کو ظاہر کرنے کے لیے کچھ بسیں اتنی لمبی ہوں گی کہ ہمیں فریکوئنسی انجینئرنگ کی ضرورت ہوگی۔ اسے حاصل کرنے کا ایک طریقہ فلٹرنگ ریزونیٹرز کے ساتھ ہے، اور ref. میں اصول کا ثبوت تجرباتی طور پر مظاہرہ کیا گیا تھا۔ خلاصہ میں، ہم قریب المدت کوانٹم پروسیسرز کے ساتھ کم کیوبٹ اوور ہیڈ کے ساتھ فالٹ ٹولرنٹ کوانٹم میموری کو کیسے حاصل کیا جا سکتا ہے، اس پر ایک نیا نقطہ نظر پیش کرتے ہیں۔ اگرچہ یہ LDPC کوڈز ہندسی طور پر مقامی نہیں ہیں، سنڈروم کی پیمائش کے لیے درکار کیوبٹ کنیکٹیویٹی کو تھکنس-2 گراف کے ذریعے بیان کیا گیا ہے جسے دو پلانر ڈگری-3 کیوبٹ کپلر تہوں کا استعمال کرتے ہوئے لاگو کیا جا سکتا ہے۔ یہ سپرکونڈکٹنگ qubits پر مبنی فن تعمیرات کے لیے ایک درست فن تعمیراتی حل ہے۔ سرکٹ پر مبنی شور کے ماڈل کے لیے کیے گئے عددی نقالیوں سے ظاہر ہوتا ہے کہ تجویز کردہ LDPC کوڈز عملی طور پر متعلقہ غلطی کی شرحوں *p* ≥ 0.1% کی حد میں سرفیس کوڈ کے مقابلے میں بہتر کارکردگی کا مظاہرہ کرتے ہیں، جو کیوبٹ اوور ہیڈ میں 10 گنا کمی کے ساتھ غلطی کے دباؤ کی وہی سطح پیش کرتے ہیں۔ اس دوران، یہ واضح نہیں ہے کہ آیا ہمارے کوڈ کی مثالوں کو بڑی کوڈ لمبائی کی حد میں اعلیٰ انکوڈنگ کی شرح کو
