著者: セルゲイ・ブラビイ アンドリュー・W・クロス ジェイ・M・ガンベッタ ドミトリ・マソロフ パトリック・ラール セオドア・J・ヨーダー 概要 物理的なエラーの蓄積 , , は、現在の量子コンピュータでの大規模アルゴリズムの実行を妨げます。量子誤り訂正 は、 個の論理量子ビットをより多くの物理量子ビット にエンコードすることで、物理エラーが許容可能な忠実度で目的の計算を実行するのに十分なほど抑制されるようにすることで、解決策を約束します。量子誤り訂正は、物理エラー率が量子コード、症候群測定回路、およびデコードアルゴリズムの選択に依存する閾値よりも低い場合に実用的になります 。低密度パリティチェックコードのファミリーに基づいた耐障害性メモリを実装するエンドツーエンドの量子誤り訂正プロトコルを提示します 。このアプローチは、標準的な回路ベースのノイズモデルに対して0.7%のエラーしきい値を達成し、表面コード , , , と同等です。これは、20年間、エラーしきい値の点で最先端のコードでした。長さ コードの症候群測定サイクルには、CNOTゲート、量子ビット初期化、および測定からなる深さ8の回路と 個の補助量子ビットが必要です。必要な量子ビット接続は、2つの辺分離平面部分グラフで構成される次数6のグラフです。特に、288個の物理量子ビットを使用して、物理エラー率0.1%を仮定すると、12個の論理量子ビットを約100万回の症候群サイクルにわたって保持できることを示します。一方、表面コードはこのパフォーマンスを達成するには約3,000個の物理量子ビットを必要とします。私たちの発見は、ニアターム量子プロセッサの範囲内で、低オーバーヘッドの耐障害性量子メモリのデモンストレーションを可能にします。 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n メイン 量子コンピューティングは、既知の最適な古典アルゴリズムと比較して、一連の計算問題に対して漸近的に高速なソリューションを提供する能力により注目を集めています 。機能的なスケーラブルな量子コンピュータは、科学的発見、材料研究、化学、および創薬などの分野での計算問題の解決に役立つと考えられています , , , 。 5 11 12 13 14 量子コンピュータ構築における主な障害は、さまざまなノイズ源の影響を受ける量子情報の脆弱性です。量子コンピュータを外部効果から隔離し、目的の計算を誘発するように制御することは互いに相反するため、ノイズは避けられないようです。ノイズ源には、量子ビットの不完全性、使用される材料、制御装置、状態準備と測定のエラー、および局所的な人為的なもの（迷走電磁場など）から宇宙固有のもの（宇宙線など）まで、さまざまな外部要因が含まれます。概要については、参考文献 を参照してください。より良い制御 、材料 、およびシールド , , によって一部のノイズ源を排除できますが、他の多くのノイズ源は、たとえ可能であっても、除去が困難であるようです。後者の種類には、捕捉イオンの自発放射と誘起放射 , 、および超伝導回路におけるバス（パーセル効果）との相互作用 が含まれ、これらは主要な2つの量子技術をカバーしています。したがって、エラー訂正は、機能的なスケーラブルな量子コンピュータを構築するための重要な要件となります。 15 16 17 18 19 20 1 2 3 量子耐障害性の可能性はよく確立されています 。論理量子ビットを多数の物理量子ビットに冗長にエンコードすることにより、パリティチェック演算子の症候群を繰り返し測定することでエラーを診断および修正できます。ただし、エラー訂正は、ハードウェアエラー率が特定の誤り訂正プロトコルに依存する特定の閾値よりも低い場合にのみ有益です。畳み込みコード , , などの最初の量子誤り訂正の提案は、エラー抑制の理論的可能性を実証することに焦点を当てていました。量子誤り訂正の理解と量子技術の能力が進むにつれて、焦点は実用的な量子誤り訂正プロトコルの発見に移りました。これにより、1%に近い高いエラーしきい値、高速なデコードアルゴリズム、および2次元（2D）正方形格子量子ビット接続に依存する既存の量子プロセッサとの互換性を提供する表面コード , , , が開発されました。単一の論理量子ビットを持つ表面コードの小さな例は、すでにいくつかのグループによって実験的に実証されています , , , , 。しかし、表面コードを100個以上の論理量子ビットにスケーリングすることは、エンコーディング効率が低いため、費用がかかりすぎます。これにより、低密度パリティチェック（LDPC）コードとして知られるより一般的な量子コードへの関心が高まりました 。LDPCコードの研究における最近の進歩は、それらがはるかに高いエンコーディング効率で量子耐障害性を達成できることを示唆しています 。ここでは、LDPCコードの研究に焦点を当てます。なぜなら、量子コンピューティング技術の制限を考慮して、効率的かつ実証可能な量子誤り訂正コードとプロトコルを見つけることが目標だからです。 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 量子誤り訂正コードは、各チェック演算子が少数の量子ビットにのみ作用し、各量子ビットが少数のチェックにしか関与しない場合、LDPCタイプです。最近、双曲線表面コード , , 、ハイパーグラフ積 、平衡積コード 、有限群に基づく2ブロックコード , , , 、および量子タンナーコード , を含む、LDPCコードのいくつかのバリエーションが最近提案されています。後者は、漸近的に「良好」であることが示されています , 。これは、一定のエンコーディングレートと線形距離（補正可能なエラーの数を定量化するパラメータ）を提供することを意味します。対照的に、表面コードは漸近的にゼロのエンコーディングレートと平方根距離しか持ちません。表面コードを、高レート、高距離のLDPCコードに置き換えることは、実質的な意味を持つ可能性があります。第一に、耐障害性オーバーヘッド（物理量子ビットと論理量子ビットの比率）を大幅に削減できます。第二に、高距離コードは論理エラー率の非常に急激な低下を示します。物理エラー確率が閾値を超えると、コードによって達成されるエラー抑制の量は、物理エラー率のわずかな減少でも数桁増加する可能性があります。この機能により、閾値近傍で動作する可能性のあるニアタームデモンストレーションにとって、高距離LDPCコードは魅力的です。しかし、メモリ、ゲート、状態準備、および測定エラーを含む現実的なノイズモデルで表面コードを上回るには、10,000個以上の物理量子ビットを持つ非常に大きなLDPCコードが必要になる可能性があると以前は信じられていました 。 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 ここでは、低深度の症候群測定回路、効率的なデコードアルゴリズム、および個々の論理量子ビットをアドレス指定するための耐障害性プロトコルを備えた、数百個の物理量子ビットを持つ高レートLDPCコードのいくつかの具体的な例を提示します。これらのコードは、0.7%に近いエラーしきい値を示し、閾値近傍で優れたパフォーマンスを発揮し、表面コードと比較してエンコーディングオーバーヘッドを10倍削減します。私たちの誤り訂正プロトコルを実現するためのハードウェア要件は比較的穏やかです。なぜなら、各物理量子ビットは、6つの他の量子ビットとのみ2量子ビットゲートによって結合されているからです。量子ビット接続グラフは2Dグリッドに局所的に埋め込むことはできませんが、2つの辺分離平面部分グラフに分解できます。以下で議論するように、このような量子ビット接続は、超伝導量子ビットに基づくアーキテクチャに適しています。 私たちのコードは、MacKayらによって提案された自転車コードの一般化です 。参考文献 , , でさらに詳細に調査されています。それらは二変量多項式に基づいているため、二変量自転車（BB）コードと名付けました。これは、 で詳しく説明されています。これらは、Pauli および で構成される6量子ビットチェック（スタビライザー）演算子のコレクションによって記述できる、Calderbank-Shor-Steane（CSS）タイプのスタビライザーコードです , 。大まかに言うと、BBコードは2次元トーリックコード に似ています。特に、BBコードの物理量子ビットは、トーリックコードを記述する面および頂点スタビライザーとは異なり、チェック演算子が幾何学的に局所的ではない、周期境界条件を持つ2次元格子上に配置できます。さらに、各チェックは4量子ビットではなく6量子ビットに作用します。Tannerグラフ を使用してコードを記述します。ここで、 の各頂点は、データ量子ビットまたはチェック演算子のいずれかを表します。チェック頂点 とデータ頂点 は、 番目のチェック演算子が 番目のデータ量子ビットに（Pauli または を適用することにより）非自明に作用する場合にエッジで接続されます。表面コードおよびBBコードの例のTannerグラフについては、図 を参照してください。任意のBBコードのTannerグラフは頂点次数6を持ち、グラフ厚さ は2です。これは、2つの辺分離平面部分グラフに分解できることを意味します（ ）。厚さ2の量子ビット接続は、マイクロ波共振器によって結合された超伝導量子ビットに非常に適しています。たとえば、カプラーとそれらの制御線の2つの平面層を、量子ビットをホストするチップの上下に接続し、両側を嵌合できます。 41 35 36 42 手法 X Z 43 44 7 G G i j i j X Z 1a,b 29 手法 、比較のための表面コードのTannerグラフ。 、トーラスに埋め込まれたパラメータ [[144、12、12]] を持つBBコードのTannerグラフ。Tannerグラフの任意のエッジは、データ頂点とチェック頂点を接続します。レジスタ ( )および ( )に関連付けられたデータ量子ビットは、青とオレンジの円で示されています。各頂点は、4つの短距離エッジ（北、南、東、西を指す）と2つの長距離エッジを含む6つのエッジを持っています。混乱を避けるために、いくつかの長距離エッジのみを示しています。破線と実線は、Tannerグラフ全体を張る2つの平面部分グラフを示しています（ を参照）。 、参考文献 に従って、 および を測定するためのTannerグラフ拡張のスケッチ。アンチラに対応する 測定は、量子テレポーテーションといくつかの論理ユニタリーによって、すべての論理量子ビットのロードストア操作を可能にする表面コードに接続できます。この拡張されたTannerグラフは、 と エッジ（ ）を介して厚さ2アーキテクチャでも実装できます。 a b q L q R 手法 c 50 X Z X A B 手法 パラメータ [[ , , ]] を持つBBコードは、コード距離 を提供する 個のデータ量子ビットに 個の論理量子ビットをエンコードします。これは、任意の論理エラーが少なくとも 個のデータ量子ビットを spans することを意味します。 個のデータ量子ビットをそれぞれ /2のサイズのレジスタ ( )および ( )に分割します。各チェックは、 ( )から3つの量子ビットと ( )から3つの量子ビットに作用します。コードは、エラー症候群を測定するために 個の補助チェック量子ビットに依存します。 個のチェック量子ビットをそれぞれ /2のサイズのレジスタ ( )および ( )に分割し、それぞれ および タイプの症候群を収集します。合計で、エンコーディングは2 個の物理量子ビットに依存します。したがって、正味エンコーディングレートは = /(2 )です。たとえば、標準的な表面コードアーキテクチャは、距離 コードの場合、 = データ量子ビットに = 1個の論理量子ビットをエンコードし、症候群測定に -1個のチェック量子ビットを使用します。正味エンコーディングレートは ≈ 1/(2 )であり、たとえば物理エラーが閾値に近い場合は大きなコード距離を選択する必要があるため、すぐに実用的でなくなります。対照的に、BBコードはエンコーディングレート ≫ 1/ を持ちます。表 を参照してください。著者らの知る限り、表 に示されているすべてのコードは新しいものです。距離12のコード [[144、12、12]] は、ニアタームデモンストレーションにとって最も有望である可能性があります。これは、大きな距離と高い正味エンコーディングレート = 1/24を組み合わせているためです。比較のために、距離11の表面コードの正味エンコーディングレートは = 1/241です。以下では、距離12のBBコードが、距離11の表面コードを、実験的に関連するエラー率範囲で上回ることを示します。 n k d d n k d n n q L q R q L q R n n n q X q Z X Z n r k n d n d 2 k n r d 2 r d 2 1 1 r r エラーの蓄積を防ぐには、十分な頻度でエラー症候群を測定できる必要があります。これは、各チェック演算子のサポート内のデータ量子ビットを、一連のCNOTゲートを介して対応する補助量子ビットに結合する症候群測定回路によって達成されます。次にチェック量子ビットを測定して、エラー症候群の値を示します。症候群測定回路を実装するためにかかる時間は、その深度、つまり非重複CNOTのゲート層の数に比例します。症候群測定回路が実行されている間、新しいエラーが発生し続けるため、その深度は最小限に抑える必要があります。BBコードの症候群測定の完全なサイクルは、図 に示されています。症候群サイクルは、コード長に関係なく、7つのCNOT層のみを必要とします。チェック量子ビットは、症候群サイクルの開始時と終了時に初期化および測定されます（詳細については、 を参照）。回路は、基盤となるコードの巡回シフト対称性を尊重します。 2 手法 7つのCNOT層に依存する症候群測定の完全なサイクル。レジスタ ( )および ( )の各データ量子ビットのみを含む局所的な回路ビューを提供します。回路は、Tannerグラフの水平および垂直シフトに対して対称です。各データ量子ビットは、3つの チェックと3つの チェック量子ビットとのCNOTで結合されます。詳細については、 を参照してください。 q L q R X Z 手法 完全な誤り訂正プロトコルは、 c ≫ 1回の症候群測定サイクルを実行してから、デコーダー（測定された症候群を入力として受け取り、データ量子ビットの最終的なエラーの推測を出力する古典アルゴリズム）を呼び出します。エラー訂正は、推測されたエラーと実際の Ра errorがチェック演算子の積 modulo で一致する場合に成功します。この場合、2つのエラーは、エンコードされた（論理）状態に対して同じアクションを実行します。したがって、推測されたエラーの逆を適用すると、データ量子ビットは元の論理状態に戻ります。それ以外の場合、推測されたエラーと実際の Ра errorが非自明な論理演算子によって異なる場合、エラー訂正は失敗し、論理エラーが発生します。数値実験は、PanteleevとKalachevによって提案された順序統計デコーダー（BP-OSD）を使用した信念伝播に基づいています 。元の研究 では、BP-OSDをメモリエラーのみの玩具ノイズモデルのコンテキストで説明しました。ここでは、BP-OSDを回路ベースのノイズモデルに拡張する方法を示します（詳細については、 を参照）。私たちの方法は、参考文献 , , , を密接にたどっています。 N 36 36 補足情報 45 46 47 48 症候群測定回路のノイズのあるバージョンには、アイドル状態のデータまたはチェック量子ビットでのメモリエラー、誤ったCNOTゲート、量子ビット初期化、および測定など、いくつかの種類の障害のある操作が含まれる場合があります。独立して確率 で失敗する各操作を持つ回路ベースのノイズモデル を考慮します。論理エラーの確率 L は、エラー率 、症候群測定回路の詳細、およびデコードアルゴリズムに依存します。 回の症候群サイクルを実行した後の論理エラー確率を L( c)とします。論理エラー率を と定義します。非公式には、 L は、症候群サイクルあたりの論理エラー確率と見なすことができます。一般的な慣習に従い、 距離コードの場合、 c= を選択します。図 は、表 のコードによって達成される論理エラー率を示しています。論理エラー率は、 ≥ 10 について数値的に計算され、フィッティング式（ ）を使用して低エラー率に外挿されました。擬似閾値 は、ブレークイーブン方程式 L( )= の解として定義されます。ここで、 は 個のエンコードされていない量子ビットの少なくとも1つがエラーに遭遇する確率の推定値です。BBコードは、表 を参照してください、約0.7%の疑似閾値を提供します。これは、表面コード のエラーしきい値とほぼ同じであり、著者らが知るすべての高レートLDPCコードのしきい値を超えています。 p 10 p p Nc P N p d N d 3 1 p -3 手法 p 0 p p kp kp k 1 49 、BB LDPCコードの小さな例の論理エラー率と物理エラー率。 L （ダイヤモンド a p
