Bölünmemiş Torik Paketler için Ayna Teoremi: Özet ve Giriş

Bağlantı Tablosu

• Özet ve Giriş
• Cins-sıfır Gromov-Witten Teorisi
• Torik Paketler
• Torik demetlerinin Lagrange konileri
• Projektif demetlerin bir ürünü için ayna teoremi
• Torik Demetler için Ayna Teoremi
• Ek A. Eşdeğer Fourier Dönüşümü ve Referanslar

Soyut

Bir vektör demetinin (mutlaka bölünmüş olması gerekmeyen) fiber şeklinde GIT bölümü olarak elde edilen torik demetleri için bir I-fonksiyonu oluşturuyoruz. Bu, bölünmüş torik demetler için Brown I-fonksiyonunun [5] ve bölünmemiş projektif demetler için I-fonksiyonunun [21] bir genellemesidir. Ayna teoremini kanıtlamak için, torik demetlerin Givental Lagrangian konileri üzerindeki noktaların bir karakterizasyonunu oluşturuyoruz ve projektif demetlerin bir fiber ürününün bükülmüş Gromov-Witten teorisi için bir ayna teoremini kanıtlıyoruz. Önceki sonuç, Brown'un bölünmüş torik demetleri [5] için karakterizasyonunu bölünmemiş duruma genelleştirir.

1. Giriş

Düzgün yansıtmalı çeşitlilik X'in cins sıfır Gromov-Witten teorisi, simplektik geometri, cebirsel geometri ve ayna simetrisinde önemli bir rol oynar. Bir ayna teoremi [13] ile, yani Givental Lagrangian konisi LX [14] üzerinde uygun bir nokta (I-fonksiyonu olarak adlandırılır) bularak incelenebilir. LX konisi, Givental uzayı olarak adlandırılan, sonsuz boyutlu simplektik vektör uzayı HX'in Lagrangian alt manifoldudur ve sıfır cins yerçekimsel Gromov-Witten değişmezleri tarafından tanımlanır. X için bir ayna teoremi, X'in sıfır cins Gromov-Witten değişmezlerini hesaplamamızı ve kuantum kohomolojisini incelememizi sağlar.

Bu, bölünmüş torik demetleri için aynı karakterizasyonu veren Brown sonucunun [5, Teorem 2] bir genellemesidir. Diğer çeşitler/yığınlar için de benzer karakterizasyon sonuçları mevcuttur; bkz. [8, 23, 11].

Bu sonuç, bölünmemiş projektif demetler için ayna teoreminin basit bir genellemesidir [21, Teorem 3.3]. Kanıtın temel bileşeni, kuantum Riemann-Roch teoremi [9, Sonuç 4] ve iyi bilinen bir gerçektir [24]: bir X çeşidi üzerinde bir dışbükey vektör kümesinin düzenli bir kesitinin sıfır lokusunun Gromov-Witten değişmezleri X'in bükülmüş Gromov-Witten değişmezleri tarafından verilir.

Makalenin planı aşağıdaki gibidir. Bölüm 2'de GromovWitten değişmezlerinin tanımını hatırlayacağız ve eşit olmayan/eşdeğer/bükülmüş Givental konilerini ve kuantum Riemann-Roch teoremini tanıtacağız. Bölüm 3'te, bölünmüş/bölünmemiş torik demetler kavramını tanıtacağız ve sonraki bölümlerde ihtiyaç duyulacak olan kohomolojinin yapısını ve etkili eğri sınıfları tarafından oluşturulan yarı grupları özetleyeceğiz. Bölüm 4'te, bir torik demetinin Lagrangian konisi üzerindeki noktalar için bir karakterizasyon teoremi (Teorem 4.2) oluşturuyoruz. Bölüm 5'te, B üzerindeki projektif demetlerin fiber çarpımının bükülmüş Gromov-Witten teorisi için bir ayna teoremini kanıtlıyoruz. Bölüm 6'da, bu makalenin ana sonucunu (Teorem 6.1), yani () için bir ayna teoremini kanıtlıyoruz. muhtemelen bölünmemiş) torik demetleri. Ek A'da, Givental konilerinin Fourier dönüşümünü kısaca açıklayacağız ve I-fonksiyonumuzu, bir vektör demetinin I-fonksiyonunun Fourier dönüşümüyle çakıştığını kontrol edeceğiz.

Teşekkürler . Yazar, bu makalenin yazılması sırasındaki rehberliği ve coşkulu desteği için Hiroshi Iritani'ye derinden minnettardır. Ayrıca çok yararlı tartışmalar için Yuan-Pin Lee ve Fumihiko Sanda'ya teşekkür etmek istiyor. Bu çalışma JSPS KAKENHI Hibe Numarası 22KJ1717 tarafından desteklenmiştir.