Разложения схем Гильберта: расширенная конструкция

Таблица ссылок

• Аннотация и введение
• Предыстория тропической перспективы
• Расширенная конструкция
• Стабильность GIT
• Перспектива стека
• Канонический стек модулей
• Рекомендации

3. Расширенная конструкция

Вывод расширенного строительства. Расширенное вырождение X[n] ! C[n], который мы создаем в этом разделе, имеет следующие свойства:

3.1 Раздутия

В этой конструкции расширенного вырождения мы будем раздувать схемы вдоль дивизоров Вейля. Следствием способа определения этих раздутий является то, что морфизмы раздутия сжимают только компоненты коразмерности не менее 2.

морфизмы, соответствующие каждому отдельному раздутию. Поэтому мы имеем равенство

Теперь зафиксируем следующую терминологию.

Предложение 3.1.5. Следующая диаграмма раздутия коммутирует

Доказательство . Это следует из местного описания взрывов, приведенного выше.

Теперь мы распространим определение ∆1-компонент на схемы X[n] и зафиксируем некоторую дополнительную терминологию.

Прежде чем продолжить, мы исправим некоторую терминологию, которая поможет нам описать расширенные компоненты.

Определение 3.1.11. Неприводимую компоненту ∆-компоненты мы называем пузырём. Понятия о том, что два пузыря равны, а пузырь расширяется в определенном волокне, аналогичны определениям 3.1.4 и 3.1.9.

Теперь заметим, что существует естественное включение

что, в свою очередь, индуцирует естественное включение

на основании указаний и действует путем

на ∆-компонентах.

Доказательство . Это непосредственно следует из [GHH19].

мы описали в предыдущем разделе, эквивариантны относительно действия группы.

Лемма 3.1.13. Мы имеем изоморфизм

Доказательство . Это следует из приведенного выше описания группового действия.

Замечание 3.1.14. Мы слегка злоупотребляем обозначениями, ссылаясь на группу, действующую на X[n] посредством G вместо G[n]. Из контекста всегда должно быть ясно, о какой группе G идет речь.

3.2. Вложение в произведение проективных расслоений

Лемма 3.2.1. Есть вложение

Отсюда заключаем, что существуют вложения

Следовательно, мы имеем вложения

Линеаризации . Следующая лемма дает метод построения всех линеаризованных линейных расслоений, которые нам понадобятся для изменения условия устойчивости GIT.