Extensions des projets Hilbert : la construction élargie

Tableau des liens

• Résumé et introduction
• Contexte de la perspective tropicale
• La construction élargie
• Stabilité du GIT
• Perspective de la pile
• La pile de modules canoniques
• Les références

3. La construction agrandie

Production de construction agrandie. La dégénérescence élargie X[n] ! C[n] que nous construisons dans cette section a les propriétés suivantes :

3.1 Les agrandissements

Dans cette construction de dégénérescence élargie, nous ferons exploser des schémas le long des diviseurs de Weil. Une conséquence de la façon dont ces explosions sont définies est que les morphismes d'explosion ne contractent que les composantes de codimension au moins 2.

les morphismes correspondant à chaque explosion individuelle. On a donc l'égalité

Nous corrigeons maintenant la terminologie suivante.

Proposition 3.1.5. Le diagramme éclaté suivant fait la navette

Preuve . Cela ressort immédiatement de la description locale des explosions ci-dessus.

Nous étendons maintenant la définition des composantes ∆1 aux schémas X[n] et corrigeons une terminologie supplémentaire.

Avant de continuer, nous corrigeons une terminologie qui nous aidera à décrire les composants développés.

Définition 3.1.11. Nous appelons une composante irréductible d’une composante ∆ une bulle. Les notions de deux bulles égales et d'une bulle dilatée dans une certaine fibre sont celles des définitions 3.1.4 et 3.1.9.

Or, on constate qu'il existe une inclusion naturelle

ce qui, à son tour, induit une inclusion naturelle

sur la base des instructions, et agit par

sur les composantes ∆.

Preuve . Cela découle immédiatement de [GHH19].

nous avons décrit dans la section précédente sont équivariantes sous l’action de groupe.

Lemme 3.1.13. On a l'isomorphisme

Preuve . Cela découle directement de la description ci-dessus de l’action de groupe.

Remarque 3.1.14. On abuse légèrement de la notation en faisant référence au groupe agissant sur X[n] par G, au lieu de G[n]. Le contexte doit toujours indiquer clairement de quoi il s'agit du groupe G.

3.2 Intégration dans le produit de bundles projectifs

Lemme 3.2.1. Il y a une intégration

On en déduit qu’il existe des plongements

On a donc des plongements

Linéarisations . Le lemme suivant donne une méthode pour construire tous les faisceaux de lignes linéarisés dont nous aurons besoin pour faire varier la condition de stabilité du GIT.