Autor:  (1) CALLA TSCHANZ.  Tabela de links   Resumo e introdução   Antecedentes na perspectiva tropical   A construção ampliada   Estabilidade do TGI   Perspectiva de pilha   A pilha de módulos canônicos   Referências  4. Estabilidade do TGI  Nesta seção, estabelecemos alguns resultados análogos aos de [GHH19] para descrever várias condições de estabilidade do GIT no esquema X[n] em relação às possíveis escolhas de fibrados de linhas G-linearizadas descritas na seção anterior. Em particular, mostramos que estas condições de estabilidade não dependem da estrutura do esquema dos subesquemas de dimensão zero de comprimento m, mas podem ser reduzidas a critérios combinatórios em configurações de n pontos.  4.1 Critério de Hilbert-Mumford  Nesta seção, recordaremos a definição de invariantes de Hilbert-Mumford e forneceremos um critério numérico para estabilidade e semiestabilidade em termos desses invariantes.  Seja H um grupo redutivo agindo em um esquema S, que é próprio sobre um campo algebricamente fechado k. Seja L um fibrado amplo de linhas H-linearizado. Então, um subgrupo de 1 parâmetro de H (denotado 1-PS por conveniência) é definido como um homomorfismo   4.2 Ação do subgrupo de 1 parâmetro   4.3 Pesos limitados e combinatórios  Nesta seção, explicamos a relação entre o que [GHH19] chama de pesos limitados e combinatórios dos invariantes de Hilbert-Mumford.  Mantendo a notação o mais consistente possível com [GHH19], vamos   seja a família universal, com primeira e segunda projeções p e q. O pacote de linha   é relativamente amplo quando l ≫ 0 e é G-linearizado, exatamente como na Seção 2.2.1 de [GHH19].    Os lemas a seguir descrevem como o invariante de Hilbert-Mumford pode ser decomposto em uma soma de invariantes.  Relação entre pesos limitados e combinatórios.  Observe que, embora o peso combinatório dependa da escolha do fibrado linearizado, o peso limitado não. Da mesma forma que [GHH19], podemos mostrar que ao peso limitado, como o próprio nome sugere, pode receber um limite superior.   O resultado a seguir é baseado no Lema 2.3 de [GHH19], com algumas pequenas modificações para se adequar à nossa configuração.   Vamos discutir agora como o peso limitado afeta a condição geral de estabilidade. O seguinte lema é imediato de [GHH19], mas recordamos aqui a sua prova por conveniência.     . Como mostramos que o peso limitado pode ser expresso como  Prova  é apenas uma questão de escolher um valor de   grande o suficiente para fazer com que o peso combinatório supere o peso limitado. Isso nos permite efetivamente tratar o peso limitado como insignificante e ignorá-lo em nossos cálculos.  l    4.3.5. Observe, aqui, que tal Z não será necessariamente suportado suavemente, nem todos os pontos do suporte de Z estarão necessariamente contidos em um componente ∆.  Observação  Repetindo este processo em todos k ∈ {1, . . . , n} nos dará uma descrição de L e podemos formar o fibrado de linhas G-linearizado M a partir deste fibrado de linhas da maneira descrita no início desta seção. Para obter mais detalhes sobre por que isso produz um peso combinatório positivo, consulte a prova do seguinte lema. Observe que esta não é a única condição de estabilidade do TGI para a qual Z é estável.     . É claro que o peso combinatório pode ser escrito como uma soma  Prova  4.4 Locus semiestável e quociente GIT     . Isto segue dos Lemas 4.3.3 e 4.3.7. Na verdade, pelo Lema 4.3.3, se o peso combinatório puder ser escrito na forma  Prova    . Vamos escolher um fibrado linear G-linearizado arbitrário M, não necessariamente construído como acima, em relação ao qual Z tem invariante de Hilbert-Mumford  Prova    . Isto segue diretamente dos Lemas 4.4.1 e 4.4.2. Prova  Podemos agora descrever os quocientes do GIT resultantes destas construções. Deixar   Então lembramos do Lema 3.1.13, o isomorfismo   Para todas as escolhas de fibrado de linhas linearizadas descritas acima, o quociente GIT na base se comporta, portanto, da seguinte forma     . Este resultado segue diretamente do critério relativo de Hilbert-Mumford de [GHH15].  Prova  Este artigo está   sob licença CC 4.0. disponível no arxiv

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