Expansões para esquemas de Hilbert: estabilidade do GIT

Tabela de links

• Resumo e introdução
• Antecedentes na perspectiva tropical
• A construção ampliada
• Estabilidade do TGI
• Perspectiva de pilha
• A pilha de módulos canônicos
• Referências

4. Estabilidade do TGI

Nesta seção, estabelecemos alguns resultados análogos aos de [GHH19] para descrever várias condições de estabilidade do GIT no esquema X[n] em relação às possíveis escolhas de fibrados de linhas G-linearizadas descritas na seção anterior. Em particular, mostramos que estas condições de estabilidade não dependem da estrutura do esquema dos subesquemas de dimensão zero de comprimento m, mas podem ser reduzidas a critérios combinatórios em configurações de n pontos.

4.1 Critério de Hilbert-Mumford

Nesta seção, recordaremos a definição de invariantes de Hilbert-Mumford e forneceremos um critério numérico para estabilidade e semiestabilidade em termos desses invariantes.

Seja H um grupo redutivo agindo em um esquema S, que é próprio sobre um campo algebricamente fechado k. Seja L um fibrado amplo de linhas H-linearizado. Então, um subgrupo de 1 parâmetro de H (denotado 1-PS por conveniência) é definido como um homomorfismo

4.2 Ação do subgrupo de 1 parâmetro

4.3 Pesos limitados e combinatórios

Nesta seção, explicamos a relação entre o que [GHH19] chama de pesos limitados e combinatórios dos invariantes de Hilbert-Mumford.

Mantendo a notação o mais consistente possível com [GHH19], vamos

seja a família universal, com primeira e segunda projeções p e q. O pacote de linha

é relativamente amplo quando l ≫ 0 e é G-linearizado, exatamente como na Seção 2.2.1 de [GHH19].

Relação entre pesos limitados e combinatórios. Os lemas a seguir descrevem como o invariante de Hilbert-Mumford pode ser decomposto em uma soma de invariantes.

Observe que, embora o peso combinatório dependa da escolha do fibrado linearizado, o peso limitado não. Da mesma forma que [GHH19], podemos mostrar que ao peso limitado, como o próprio nome sugere, pode receber um limite superior.

O resultado a seguir é baseado no Lema 2.3 de [GHH19], com algumas pequenas modificações para se adequar à nossa configuração.

Vamos discutir agora como o peso limitado afeta a condição geral de estabilidade. O seguinte lema é imediato de [GHH19], mas recordamos aqui a sua prova por conveniência.

Prova . Como mostramos que o peso limitado pode ser expresso como

é apenas uma questão de escolher um valor de l grande o suficiente para fazer com que o peso combinatório supere o peso limitado. Isso nos permite efetivamente tratar o peso limitado como insignificante e ignorá-lo em nossos cálculos.

Observação 4.3.5. Observe, aqui, que tal Z não será necessariamente suportado suavemente, nem todos os pontos do suporte de Z estarão necessariamente contidos em um componente ∆.

Repetindo este processo em todos k ∈ {1, . . . , n} nos dará uma descrição de L e podemos formar o fibrado de linhas G-linearizado M a partir deste fibrado de linhas da maneira descrita no início desta seção. Para obter mais detalhes sobre por que isso produz um peso combinatório positivo, consulte a prova do seguinte lema. Observe que esta não é a única condição de estabilidade do TGI para a qual Z é estável.

Prova . É claro que o peso combinatório pode ser escrito como uma soma

4.4 Locus semiestável e quociente GIT

Prova . Isto segue dos Lemas 4.3.3 e 4.3.7. Na verdade, pelo Lema 4.3.3, se o peso combinatório puder ser escrito na forma

Prova . Vamos escolher um fibrado linear G-linearizado arbitrário M, não necessariamente construído como acima, em relação ao qual Z tem invariante de Hilbert-Mumford

Prova . Isto segue diretamente dos Lemas 4.4.1 e 4.4.2.

Podemos agora descrever os quocientes do GIT resultantes destas construções. Deixar

Então lembramos do Lema 3.1.13, o isomorfismo

Para todas as escolhas de fibrado de linhas linearizadas descritas acima, o quociente GIT na base se comporta, portanto, da seguinte forma

Prova . Este resultado segue diretamente do critério relativo de Hilbert-Mumford de [GHH15].