著者: セルゲイ・ブラヴィ アンドリュー・W・クロス ジェイ・M・ガンベッタ ドミトリー・マスロフ パトリック・ラル セオドア・J・ヨーダー 要旨 物理エラーの蓄積 , , により、現在の量子コンピュータでの大規模アルゴリズムの実行が妨げられています。量子誤り訂正 は、 個の論理量子ビットをより多数の物理量子ビット にエンコードすることで、物理エラーを許容可能な忠実度で目的の計算を実行できる程度に抑制するという解決策を約束します。量子誤り訂正は、物理エラー率が、量子コード、症候測定回路、およびデコーディングアルゴリズムの選択に依存する閾値よりも低い場合に実用的になります 。低密度パリティチェックコード（LDPCコード）のファミリ に基づいた耐障害性メモリを実装する、エンドツーエンドの量子誤り訂正プロトコルを提示します。私たちの手法は、標準的な回路ベースのノイズモデルに対して0.7%のエラー閾値を達成しており、これは表面コード , , , と同等であり、表面コードは20年間、エラー閾値に関して主要なコードでした。私たちのファミリの長さ のコードの症候測定サイクルには、 個の補助量子ビットと、CNOTゲート、量子ビット初期化、および測定で構成される深さ8の回路が必要です。必要な量子ビット接続性は、2つの辺を分離した平面部分グラフで構成される次数6のグラフです。特に、288個の物理量子ビットを使用して、物理エラー率が0.1%であると仮定すると、12個の論理量子ビットをほぼ100万回の症候サイクルにわたって保持できることを示します。一方、表面コードでは、同様のパフォーマンスを達成するためにほぼ3,000個の物理量子ビットが必要になります。私たちの発見は、近接期の量子プロセッサで実現可能な範囲にある、低オーバーヘッドの耐障害性量子メモリのデモンストレーションをもたらします。 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n メイン 量子コンピューティングは、既知の最高の古典的アルゴリズムと比較して、計算問題のセットに漸近的に高速なソリューションを提供する能力により注目を集めています 。機能的なスケーラブルな量子コンピュータは、科学的発見、材料研究、化学、および創薬などの分野での計算問題の解決に役立つと考えられています , , , 。 5 11 12 13 14 量子コンピュータ構築における主な障害は、さまざまなノイズ源の影響を受ける量子情報の脆弱性です。量子コンピュータを外部影響から隔離し、望ましい計算を誘導するように制御することは互いに矛盾するため、ノイズは避けられないようです。ノイズ源には、量子ビットの不完全性、使用される材料、制御装置、状態準備および測定エラー、および局所的な人為的なもの（迷走電磁場など）から宇宙固有のもの（宇宙線など）まで、さまざまな外部要因が含まれます。参考文献を参照してください。 の概要。一部のノイズ源は、より良い制御 、材料 、およびシールド , , によって排除できますが、他の多くのノイズ源は、削除できるとしても困難であるようです。最後の種類には、捕捉イオン , における自発放射と誘導放出、および超伝導回路におけるバス（パーセル効果） との相互作用が含まれます。これらは、主要な2つの量子技術をカバーしています。したがって、エラー訂正は、機能的なスケーラブルな量子コンピュータを構築するための重要な要件となります。 15 16 17 18 19 20 1 2 3 量子耐障害性の可能性は十分に確立されています 。論理量子ビットを多数の物理量子ビットに冗長にエンコードすることにより、パリティチェック演算子の症候を繰り返し測定することでエラーを診断および修正できます。ただし、エラー訂正は、ハードウェアエラー率が特定の誤り訂正プロトコルに依存する特定の閾値よりも低い場合にのみ有益です。連結コード , , などの最初の量子誤り訂正の提案は、エラー抑制の理論的可能性を実証することに焦点を当てていました。量子誤り訂正と量子技術の能力の理解が成熟するにつれて、焦点は実用的な量子誤り訂正プロトコルを見つけることに移行しました。これにより、表面コード , , , が開発されました。これは、1%に近い高いエラー閾値、高速なデコーディングアルゴリズム、および2次元（2D）正方格子量子ビット接続性に依存する既存の量子プロセッサとの互換性を提供します。単一の論理量子ビットを持つ表面コードの小さな例は、すでにいくつかのグループによって実験的に実証されています , , , , 。しかし、表面コードを100以上の論理量子ビットにスケールアップすることは、エンコーディング効率が悪いため、法外に高価になります。これにより、低密度パリティチェック（LDPC）コードとして知られる、より一般的な量子コードへの関心が高まりました 。LDPCコードの研究における最近の進歩は、それらがはるかに高いエンコーディング効率で量子耐障害性を達成できることを示唆しています 。ここでは、LDPCコードの研究に焦点を当てます。私たちの目標は、量子コンピューティング技術の制限を考慮して、効率的かつ実用的に実証可能な量子誤り訂正コードとプロトコルを見つけることです。 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 量子誤り訂正コードは、各チェック演算子が少数の量子ビットにのみ作用し、各量子ビットが少数のチェックにのみ参加する場合、LDPCタイプであると言えます。最近、双曲線表面コード , , 、ハイパーグラフ積 、平衡積コード 、有限群に基づく2ブロックコード , , , 、および量子タンナーコード , を含む、LDPCコードのいくつかのバリアントが最近提案されています。後者は、定数エンコーディングレートと線形距離（訂正可能なエラーの数を定量化するパラメータ）を提供するという意味で、漸近的に「良好」であることが示されています , 。対照的に、表面コードは漸近的にゼロのエンコーディングレートと平方根距離のみを持っています。表面コードを、高レート、高距離のLDPCコードに置き換えることは、実用的に大きな影響を与える可能性があります。第一に、耐障害性オーバーヘッド（物理量子ビットと論理量子ビットの比率）を大幅に削減できます。第二に、高距離コードは論理エラー率の非常に急激な低下を示します。物理エラー確率が閾値を超えると、コードによって達成されるエラー抑制の量は、物理エラー率のわずかな減少でも桁違いに増加する可能性があります。この機能により、高距離LDPCコードは、閾値近辺で動作する可能性が高い近接期のデモンストレーションにとって魅力的になります。しかし、以前は、メモリ、ゲート、状態準備、および測定エラーを含む現実的なノイズモデルで表面コードを上回るには、10,000個以上の物理量子ビットを持つ非常に大きなLDPCコードが必要になる可能性があると考えられていました 。 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 ここでは、低深度症候測定回路、効率的なデコーディングアルゴリズム、および個々の論理量子ビットをアドレス指定するための耐障害性プロトコルを備えた、数百個の物理量子ビットを持つ高レートLDPCコードのいくつかの具体的な例を提示します。これらのコードは、0.7%に近いエラー閾値を示し、閾値近辺の領域で優れたパフォーマンスを発揮し、表面コードと比較してエンコーディングオーバーヘッドを10倍削減します。私たちの誤り訂正プロトコルを実現するためのハードウェア要件は比較的穏やかです。各物理量子ビットは、2量子ビットゲートで6つの他の量子ビットとしか結合しません。量子ビット接続性グラフは2Dグリッドに局所的に埋め込むことはできませんが、2つの平面次数3部分グラフに分解できます。以下で議論するように、このような量子ビット接続性は、超伝導量子ビットに基づいたアーキテクチャに適しています。 私たちのコードは、MacKayらによって提案された自転車コード の一般化であり、参考文献 , , でさらに詳細に調査されています。私たちのコードは、2変数多項式に基づいているため、二変数自転車（BB）コードと名付けました。これは、 で詳述されています。これらは、Calderbank–Shor–Steane（CSS）タイプ , の安定化子コードであり、Pauli XおよびZで構成される6量子ビットチェック（安定化子）演算子のコレクションによって記述できます。大まかに言えば、BBコードは2次元トーリックコード に似ています。具体的には、BBコードの物理量子ビットは、周期境界条件を持つ2次元グリッド上に配置でき、すべてのチェック演算子は、グリッドの水平および垂直シフトを適用することにより、単一のXチェックとZチェックのペアから取得されます。ただし、トーリックコードを記述するプレケットおよび頂点安定化子とは異なり、BBコードのチェック演算子は幾何学的に局所的ではありません。さらに、各チェックは4量子ビットではなく6量子ビットに作用します。コードをタンナーグラフGで記述します。ここで、Gの各頂点はデータ量子ビットまたはチェック演算子のいずれかを表します。チェック頂点iとデータ頂点jは、i番目のチェック演算子がj番目のデータ量子ビットに（Pauli XまたはZを適用することにより）非自明に作用する場合、エッジで接続されます。参考文献 に、それぞれ表面コードとBBコードの例のタンナーグラフを示します。任意のBBコードのタンナーグラフは次数6であり、グラフの厚さ は2です。つまり、2つの辺を分離した平面部分グラフに分解できます（ ）。厚さ2の量子ビット接続性は、マイクロ波共振器によって結合された超伝導量子ビットに適しています。たとえば、カプラーとそれらの制御線の2つの平面層を、量子ビットをホストするチップの上下に配置し、両面を接合できます。 41 35 36 42 手法 43 44 7 1a、b 29 手法 、比較のための表面コードのタンナーグラフ。 、トーラスに埋め込まれたパラメータ[]のBBコードのタンナーグラフ。タンナーグラフの各エッジは、データ頂点とチェック頂点を接続します。レジスタq(L)およびq(R)に関連付けられたデータ量子ビットを、青とオレンジの円で示します。各頂点には、4つの短距離エッジ（北、南、東、西を指す）と2つの長距離エッジを含む6つの入射エッジがあります。混雑を避けるために、長距離エッジをいくつかのみ示します。破線と実線は、タンナーグラフをスパンする2つの平面部分グラフを示しています（ を参照）。 、参考文献 に従って、およびを測定するためのタンナーグラフ拡張のスケッチ。測定のアンチラに対応するアンチラは、量子テレポーテーションといくつかの論理ユニタリーを介して、すべての論理量子ビットのロードストア操作を可能にする表面コードに接続できます。この拡張されたタンナーグラフは、AおよびBエッジ（ ）を使用した厚さ2アーキテクチャでも実装可能です。 a b 手法 c 50 手法 パラメータ[[ , , ]]を持つBBコードは、コード距離 を持つ 個のデータ量子ビットに 個の論理量子ビットをエンコードします。これは、任意の論理エラーが少なくとも 個のデータ量子ビットにまたがることを意味します。 個のデータ量子ビットをそれぞれ /2個のレジスタ ( )と ( )に分割します。各チェックは ( )の3つの量子ビットと ( )の3つの量子ビットに作用します。このコードは、エラー症候を測定するために 個の補助チェック量子ビットに依存します。 個のチェック量子ビットをそれぞれ /2個のレジスタ ( )と ( )に分割し、それぞれXタイプとZタイプの症候を収集します。合計で、エンコーディングは2 個の物理量子ビットに依存します。したがって、正味のエンコーディングレートは = /(2 )です。たとえば、標準的な表面コードアーキテクチャは、距離 のコードに対して = 1個の論理量子ビットを = 個のデータ量子ビットにエンコードし、症候測定に − 1個のチェック量子ビットを使用します。正味のエンコーディングレートは ≈ 1/(2 )であり、たとえば物理エラーが閾値に近い値であるため大きなコード距離を選択する必要があるため、すぐに非実用的になります。対照的に、BBコードはエンコーディングレート ≫ 1/ を持ちます。コード例については、表 を参照してください。私たちの知る限り、表 に示されているすべてのコードは新しいものです。距離12のコード[]は、近接期のデモンストレーションにとって最も有望かもしれません。これは、大きな距離と高い正味エンコーディングレート = 1/24を組み合わせているためです。比較のために、距離11の表面コードの正味エンコーディングレートは = 1/241です。以下では、距離12のBBコードが、実験的に関連性のあるエラー率範囲で距離11の表面コードを上回ることを示します。 n k d d n k d n n q L q R q L q R n n n q X q Z n r k n d k n d 2 n r d 2 r d 2 1 1 r r エラーの蓄積を防ぐためには、十分な頻度でエラー症候を測定できる必要があります。これは、各チェック演算子のサポート内のデータ量子ビットを、対応する補助量子ビットにCNOTゲートのシーケンスで結合する症候測定回路によって達成されます。次に、チェック量子ビットを測定して、エラー症候の値が明らかになります。症候測定回路を実装するのにかかる時間は、その深さ、つまり非重複CNOTで構成されるゲート層の数に比例します。症候測定回路が実行されている間、新しいエラーが発生し続けるため、その深さは最小限に抑える必要があります。BBコードの完全な症候測定サイクルを、図 に示します。症候サイクルは、コード長に関係なく、7層のCNOTのみを必要とします。チェック量子ビットは、症候サイクルの開始時と終了時にそれぞれ初期化および測定されます（詳細については、 を参照）。回路は、基盤となるコードの巡回シフト対称性を尊重します。 2 手法 7層のCNOTに依存する完全な症候測定サイクル。回路の局所的なビューを提供し、レジスタ ( )および ( )からそれぞれ1つのデータ量子ビットのみを含みます。回路は、タンナーグラフの水平および垂直シフトに対して対称です。各データ量子ビットは、3つのXチェック量子ビットと3つのZチェック量子ビットとCNOTで結合されています。詳細については、 を参照してください。 q L q R 手法 完全な誤り訂正プロトコルは、 c ≫ 1回の症候測定サイクルを実行し、その後デコーダを呼び出します。デコーダは、測定された症候を入力として受け取り、データ量子ビットの最終的なエラーの推測を出力する古典的アルゴリズムです。誤り訂正は、推測されたエラーと実際の誤差がチェック演算子の積 modulo で一致する場合に成功します。この場合、2つのエラーは、エンコードされた（論理）状態に対して同じ作用を持ちます。したがって、推測されたエラーの逆を適用すると、データ量子ビットは初期論理状態に戻ります。それ以外の場合、推測されたエラーと実際の誤差が非自明な論理演算子で異なる場合、誤り訂正は失敗し、論理エラーが発生します。私たちの数値実験は、PanteleevとKalachev によって提案された順序統計デコーダ（BP-OSD）を備えた信念伝播に基づいています。元の作業 では、BP-OSDをメモリエラーのみの玩具ノイズモデルのコンテキストで説明しました。ここでは、BP-OSDを回路ベースのノイズモデルに拡張する方法を示します。詳細については、 を参照してください。私たちの手法は、参考文献 , , , に密接に従っています。 N 36 36 補足情報 45 46 47 48 症候測定回路のノイズのあるバージョンには、アイドル状態のデータまたはチェック量子ビットのメモリエラー、誤ったCNOTゲート、量子ビット初期化、および測定など、いくつかの種類の誤った操作が含まれる場合があります。各操作が確率 で独立して失敗する回路ベースのノイズモデル を検討します。論理エラー確率 は、エラー率 、症候測定回路の詳細、およびデコーディングアルゴリズムに依存します。 c 回の症候サイクルを実行した後の論理エラー確率を ( c)とします。論理エラー率を次のように定義します。 。非公式には、 は症候サイクルあたりの論理エラー確率と見なすことができます。一般的な慣習に従って、距離 のコードには c = を選択します。図 は、表 のコードによって達成される論理エラー率を示しています。論理エラー率は、 ≥ 10 について数値的に計算され、フィッティング式（ ）を使用して低エラー率に外挿されました。擬似閾値 は、損益分岐点方程式 ( ) = の解として定義されます。ここで、 は 個のエンコードされていない量子ビットのうち少なくとも1つがエラーを受ける確率の推定値です。BBコードは、表 に示すように、0.7%に近い擬似閾値を提供します。これは、表面コード のエラー閾値とほぼ同じであり、著者らが知る限り、すべての高レートLDPCコードの閾値を超えています。 p 10 p L p N P L N p L d N d 3 1 p −3 手法 p 0 p L p kp kp k 1 49 、BB LDPCコードの小さな例の論理エラー率と物理エラー率。 & a p L
