```html लेखक: सर्गेई ब्रावी एंड्रयू डब्ल्यू क्रॉस जे एम गाम्बेटा दिमित्री मास्लोव पैट्रिक राल थियोडोर जे योडर सारांश भौतिक त्रुटियों का संचय , , वर्तमान क्वांटम कंप्यूटरों में बड़े पैमाने पर एल्गोरिदम के निष्पादन को रोकता है। क्वांटम त्रुटि सुधार लॉजिकल क्यूबिट्स को बड़े संख्या में भौतिक क्यूबिट्स पर एन्कोड करके एक समाधान का वादा करता है, ताकि वांछित संगणना को सहनीय निष्ठा के साथ चलाने की अनुमति देने के लिए भौतिक त्रुटियों को पर्याप्त रूप से दबाया जा सके। क्वांटम त्रुटि सुधार व्यावहारिक रूप से तब संभव हो जाता है जब भौतिक त्रुटि दर एक थ्रेशोल्ड मान से नीचे हो जो क्वांटम कोड, सिंड्रोम मापन सर्किट और डिकोडिंग एल्गोरिथम के चुनाव पर निर्भर करती है। हम एक एंड-टू-एंड क्वांटम त्रुटि सुधार प्रोटोकॉल प्रस्तुत करते हैं जो निम्न-घनत्व समता-जाँच कोड के एक परिवार के आधार पर फॉल्ट-टॉलरेंट मेमोरी लागू करता है। हमारा दृष्टिकोण मानक सर्किट-आधारित शोर मॉडल के लिए 0.7% की त्रुटि थ्रेशोल्ड प्राप्त करता है, जो सतह कोड , , , के बराबर है, जो 20 वर्षों से त्रुटि थ्रेशोल्ड के मामले में अग्रणी कोड रहा है। हमारे परिवार में एक लंबाई- कोड के लिए सिंड्रोम मापन चक्र के लिए CNOT गेट, क्यूबिट इनिशियलाइज़ेशन और माप के साथ एक गहराई-8 सर्किट और n सहायक क्यूबिट्स की आवश्यकता होती है। आवश्यक क्यूबिट कनेक्टिविटी दो किनारा-अलग समतल उप-ग्राफ से बना एक डिग्री-6 ग्राफ है। विशेष रूप से, हम दिखाते हैं कि 0.1% की भौतिक त्रुटि दर मानते हुए, कुल 288 भौतिक क्यूबिट्स का उपयोग करके लगभग 1 मिलियन सिंड्रोम चक्रों के लिए 12 लॉजिकल क्यूबिट्स को संरक्षित किया जा सकता है, जबकि सतह कोड को उक्त प्रदर्शन प्राप्त करने के लिए लगभग 3,000 भौतिक क्यूबिट्स की आवश्यकता होगी। हमारे निष्कर्ष निकट-अवधि क्वांटम प्रोसेसर की पहुंच के भीतर फॉल्ट-टॉलरेंट क्वांटम मेमोरी के कम-ओवरहेड प्रदर्शन को लाते हैं। 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n मुख्य क्वांटम कंप्यूटिंग ने उन कम्प्यूटेशनल समस्याओं के लिए स्पष्ट रूप से तेज समाधान प्रदान करने की अपनी क्षमता के कारण ध्यान आकर्षित किया है, जिनकी तुलना ज्ञात सर्वोत्तम शास्त्रीय एल्गोरिदम से की जाती है। यह माना जाता है कि एक कार्यशील स्केलेबल क्वांटम कंप्यूटर वैज्ञानिक खोज, सामग्री अनुसंधान, रसायन विज्ञान और दवा डिजाइन जैसे क्षेत्रों में कम्प्यूटेशनल समस्याओं को हल करने में मदद कर सकता है, कुछ नाम हैं , , , . 5 11 12 13 14 एक क्वांटम कंप्यूटर बनाने में मुख्य बाधा क्वांटम जानकारी की नाजुकता है, जो इसे प्रभावित करने वाले विभिन्न प्रकार के शोर के कारण है। चूंकि बाहरी प्रभावों से क्वांटम कंप्यूटर को अलग करना और इसे एक वांछित संगणना को प्रेरित करने के लिए नियंत्रित करना एक दूसरे के विपरीत है, शोर अपरिहार्य लगता है। शोर के स्रोतों में क्यूबिट्स में अपूर्णता, प्रयुक्त सामग्री, नियंत्रण उपकरण, स्थिति तैयारी और माप त्रुटियां और विभिन्न बाहरी कारक शामिल हैं, जो स्थानीय मानव-निर्मित, जैसे कि आवारा विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र, से लेकर ब्रह्मांड के अंतर्निहित कारकों तक, जैसे कि ब्रह्मांडीय किरणें। संदर्भ देखें। एक सारांश के लिए। जबकि शोर के कुछ स्रोतों को बेहतर नियंत्रण , सामग्री और परिरक्षण , , से समाप्त किया जा सकता है, कई अन्य स्रोतों को हटाना मुश्किल लगता है, अगर संभव हो तो। अंतिम प्रकार में फंसे आयनों में सहज और प्रेरित उत्सर्जन , , और सुपरकंडक्टिंग सर्किट में स्नान (पुरसेल प्रभाव) के साथ संपर्क शामिल हो सकता है - दोनों प्रमुख क्वांटम तकनीकों को कवर करता है। इस प्रकार, एक कार्यशील स्केलेबल क्वांटम कंप्यूटर बनाने के लिए त्रुटि सुधार एक प्रमुख आवश्यकता बन जाता है। 15 16 17 18 19 20 1 2 3 क्वांटम फॉल्ट टॉलरेंस की संभावना अच्छी तरह से स्थापित है । एक लॉजिकल क्यूबिट को कई भौतिक क्यूबिट्स में अनावश्यक रूप से एन्कोड करने से सिंड्रोम की समता-जाँच ऑपरेटरों को बार-बार मापकर त्रुटियों का निदान और सुधार करना संभव हो जाता है। हालांकि, त्रुटि सुधार केवल तभी फायदेमंद होता है जब हार्डवेयर त्रुटि दर एक निश्चित थ्रेशोल्ड मान से नीचे हो जो एक विशेष त्रुटि सुधार प्रोटोकॉल पर निर्भर करती है। क्वांटम त्रुटि सुधार के लिए पहले प्रस्ताव, जैसे कि concatenated codes , , , त्रुटि दमन की सैद्धांतिक संभावना को प्रदर्शित करने पर केंद्रित थे। जैसे-जैसे क्वांटम त्रुटि सुधार और क्वांटम प्रौद्योगिकियों की क्षमताओं की समझ परिपक्व हुई, ध्यान व्यावहारिक क्वांटम त्रुटि सुधार प्रोटोकॉल खोजने पर स्थानांतरित हो गया। इसके परिणामस्वरूप सतह कोड , , , का विकास हुआ, जो लगभग 1% का उच्च त्रुटि थ्रेशोल्ड, तेज डिकोडिंग एल्गोरिदम और दो-आयामी (2D) वर्ग जाली क्यूबिट कनेक्टिविटी पर निर्भर मौजूदा क्वांटम प्रोसेसर के साथ संगतता प्रदान करता है। सतह कोड के छोटे उदाहरण जिनमें एकल लॉजिकल क्यूबिट है, पहले से ही कई समूहों द्वारा प्रयोगात्मक रूप से प्रदर्शित किए गए हैं , , , , । हालाँकि, 100 या अधिक लॉजिकल क्यूबिट्स तक सतह कोड को स्केल करना इसके खराब एन्कोडिंग दक्षता के कारण निषेधात्मक रूप से महंगा होगा। इसने निम्न-घनत्व समता-जाँच (LDPC) कोड के रूप में जाने जाने वाले अधिक सामान्य क्वांटम कोड में रुचि पैदा की। LDPC कोड के अध्ययन में हालिया प्रगति से पता चलता है कि वे बहुत अधिक एन्कोडिंग दक्षता के साथ क्वांटम फॉल्ट टॉलरेंस प्राप्त कर सकते हैं । यहाँ, हम LDPC कोड के अध्ययन पर ध्यान केंद्रित करते हैं, क्योंकि हमारा लक्ष्य क्वांटम त्रुटि सुधार कोड और प्रोटोकॉल खोजना है जो कुशल और व्यावहारिक प्रदर्शन के लिए संभव दोनों हों, क्वांटम कंप्यूटिंग प्रौद्योगिकियों की सीमाओं को देखते हुए। 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 एक क्वांटम त्रुटि सुधार कोड LDPC प्रकार का होता है यदि कोड का प्रत्येक जाँच ऑपरेटर केवल कुछ क्यूबिट्स पर कार्य करता है और प्रत्येक क्यूबिट केवल कुछ जाँचों में भाग लेता है। LDPC कोड के कई वेरिएंट हाल ही में प्रस्तावित किए गए हैं जिनमें हाइपरबोलिक सतह कोड , , , हाइपरग्राफ उत्पाद , संतुलित उत्पाद कोड , परिमित समूहों पर आधारित दो-ब्लॉक कोड , , , और क्वांटम टैनर कोड , । बाद वाले को , को एसिम्प्टोटिकली 'अच्छा' दिखाया गया है, जिसका अर्थ है एक स्थिर एन्कोडिंग दर और रैखिक दूरी प्रदान करना: एक पैरामीटर जो सही की जाने वाली त्रुटियों की संख्या को मापता है। इसके विपरीत, सतह कोड में एसिम्प्टोटिकली शून्य एन्कोडिंग दर और केवल वर्गमूल दूरी होती है। सतह कोड को उच्च-दर, उच्च-दूरी वाले LDPC कोड से बदलने से बड़े व्यावहारिक निहितार्थ हो सकते हैं। पहला, फॉल्ट-टॉलरेंस ओवरहेड (भौतिक और लॉजिकल क्यूबिट्स की संख्या के बीच का अनुपात) काफी कम हो सकता है। दूसरा, उच्च-दूरी वाले कोड लॉजिकल त्रुटि दर में बहुत तेज गिरावट दिखाते हैं: जैसे ही भौतिक त्रुटि संभाव्यता थ्रेशोल्ड मान को पार करती है, कोड द्वारा प्राप्त त्रुटि दमन की मात्रा भौतिक त्रुटि दर में थोड़ी कमी के साथ भी कई गुना बढ़ सकती है। यह सुविधा उच्च-दूरी वाले LDPC कोड को उन निकट-अवधि प्रदर्शनों के लिए आकर्षक बनाती है जो संभवतः निकट-थ्रेशोल्ड व्यवस्था में संचालित होंगे। हालाँकि, यह पहले माना जाता था कि यथार्थवादी शोर मॉडल के लिए सतह कोड को पार करने के लिए, जिसमें मेमोरी, गेट और स्थिति तैयारी और माप त्रुटियाँ शामिल हैं, 10,000 से अधिक भौतिक क्यूबिट्स वाले बहुत बड़े LDPC कोड की आवश्यकता हो सकती है। 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 यहाँ हम कुछ सौ भौतिक क्यूबिट्स वाले उच्च-दर LDPC कोड के कई ठोस उदाहरण प्रस्तुत करते हैं, जो एक निम्न-गहराई सिंड्रोम मापन सर्किट, एक कुशल डिकोडिंग एल्गोरिथम और व्यक्तिगत लॉजिकल क्यूबिट्स को संबोधित करने के लिए एक फॉल्ट-टॉलरेंट प्रोटोकॉल से लैस हैं। ये कोड 0.7% के करीब त्रुटि थ्रेशोल्ड दिखाते हैं, निकट-थ्रेशोल्ड व्यवस्था में उत्कृष्ट प्रदर्शन दिखाते हैं, और सतह कोड की तुलना में एन्कोडिंग ओवरहेड में 10 गुना कमी प्रदान करते हैं। हमारे त्रुटि सुधार प्रोटोकॉल को साकार करने के लिए हार्डवेयर की आवश्यकताएं अपेक्षाकृत हल्की हैं, क्योंकि प्रत्येक भौतिक क्यूबिट केवल छह अन्य क्यूबिट्स के साथ दो-क्यूबिट गेट द्वारा जुड़ा हुआ है। यद्यपि क्यूबिट कनेक्टिविटी ग्राफ 2D ग्रिड में स्थानीय रूप से एम्बेडेड नहीं है, इसे दो समतल डिग्री-3 उप-ग्राफ में विघटित किया जा सकता है। जैसा कि हम नीचे तर्क देते हैं, ऐसी क्यूबिट कनेक्टिविटी सुपरकंडक्टिंग क्यूबिट्स पर आधारित आर्किटेक्चर के लिए अच्छी तरह से अनुकूल है। हमारे कोड मैके और सहकर्मियों द्वारा प्रस्तावित और रेफ़्स में अधिक गहराई से अध्ययन किए गए बाइसिकल कोड के सामान्यीकरण हैं। , , । हमने अपने कोड को द्विपद बाइसिकल (BB) नाम दिया है क्योंकि वे द्विपद बहुपद पर आधारित हैं, जैसा कि में विस्तार से बताया गया है। ये Calderbank–Shor–Steane (CSS) प्रकार , के स्टेबलाइज़र कोड हैं जिन्हें पाउली और से बने छह-क्यूबिट चेक (स्टेबलाइज़र) ऑपरेटरों के संग्रह द्वारा वर्णित किया जा सकता है। उच्च स्तर पर, एक BB कोड दो-आयामी टोरिक कोड के समान है। विशेष रूप से, एक BB कोड के भौतिक क्यूबिट्स को आवधिक सीमा शर्तों के साथ दो-आयामी ग्रिड पर रखा जा सकता है ताकि सभी चेक ऑपरेटर ग्रिड के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर शिफ्ट लागू करके और चेक की एकल जोड़ी से प्राप्त हों। हालाँकि, टोरिक कोड का वर्णन करने वाले प्लेक्वेट और वर्टेक्स स्टेबलाइजर्स के विपरीत, BB कोड के चेक ऑपरेटर ज्यामितीय रूप से स्थानीय नहीं होते हैं। इसके अलावा, प्रत्येक चेक चार क्यूबिट्स के बजाय छह क्यूबिट्स पर कार्य करता है। हम कोड को एक टैनर ग्राफ द्वारा वर्णित करेंगे जैसे कि के प्रत्येक शीर्ष को या तो एक डेटा क्यूबिट या एक चेक ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है। एक चेक शीर्ष और एक डेटा शीर्ष एक किनारे से जुड़े होते हैं यदि वें चेक ऑपरेटर वें डेटा क्यूबिट पर गैर-तुच्छ रूप से कार्य करता है (पाउली या लागू करके)। उदाहरण टैनर ग्राफ़ सतह और BB कोड के लिए क्रमशः चित्र देखें। किसी भी BB कोड का टैनर ग्राफ वर्टेक्स डिग्री छह और ग्राफ मोटाई दो के बराबर है, जिसका अर्थ है कि इसे दो किनारा-अलग समतल उप-ग्राफ ( ) में विघटित किया जा सकता है। मोटाई-2 क्यूबिट कनेक्टिविटी सुपरकंडक्टिंग क्यूबिट्स के लिए अच्छी तरह से अनुकूल है जो माइक्रोवेव रेज़ोनेटर द्वारा युग्मित हैं। उदाहरण के लिए, कपलर की दो समतल परतें और उनकी नियंत्रण रेखाएँ क्यूबिट्स को होस्ट करने वाले चिप के ऊपर और नीचे की ओर जुड़ी हो सकती हैं, और दोनों तरफ मिलान किया जा सकता है। 41 35 36 42 विधियों 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 विधियाँ , तुलना के लिए सतह कोड का टैनर ग्राफ़। , [[144, 12, 12]] पैरामीटर वाले BB कोड का टैनर ग्राफ़, जिसे टोरस में एम्बेड किया गया है। टैनर ग्राफ़ का कोई भी किनारा डेटा और चेक वर्टेक्स को जोड़ता है। registers ( ) और ( ) से जुड़े डेटा क्यूबिट्स नीले और नारंगी वृत्तों द्वारा दिखाए गए हैं। प्रत्येक वर्टेक्स में चार छोटी-सीमा वाले किनारों (उत्तर, दक्षिण, पूर्व और पश्चिम की ओर इशारा करते हुए) और दो लंबी-सीमा वाले किनारों सहित छह घटना किनारे होते हैं। हम अव्यवस्था से बचने के लिए केवल कुछ लंबी-सीमा वाले किनारों को दिखाते हैं। धराशायी और ठोस किनारे टैनर ग्राफ़ को फैलाने वाले दो समतल उप-ग्राफ का संकेत देते हैं, देखें । , रेफ़ के अनुसार और को मापने के लिए टैनर ग्राफ़ एक्सटेंशन का स्केच। , एक सतह कोड से जुड़ रहा है। माप के अनुरूप एन्सिला को क्वांटम टेलीपोर्टेशन और कुछ लॉजिकल यूनिटेरिज के माध्यम से सभी लॉजिकल क्यूबिट्स के लिए लोड-स्टोर ऑपरेशंस को सक्षम करते हुए, एक सतह कोड से जोड़ा जा सकता है। इस विस्तारित टैनर ग्राफ का मोटाई-2 आर्किटेक्चर में और किनारों ( ) के माध्यम से एक कार्यान्वयन भी है। ए बी q L q R विधियाँ सी 50 A B विधियाँ [[ , , ]] पैरामीटर वाला एक BB कोड लॉजिकल क्यूबिट्स को डेटा क्यूबिट्स में एन्कोड करता है जो कोड दूरी प्रदान करता है, जिसका अर्थ है कि कोई भी लॉजिकल त्रुटि कम से कम डेटा क्यूबिट्स तक फैली हुई है। हम डेटा क्यूबिट्स को /2 प्रत्येक के रजिस्टर ( ) और ( ) में विभाजित करते हैं। कोई भी जांच ( ) से तीन क्यूबिट्स और ( ) से तीन क्यूबिट्स पर कार्य करती है। कोड और प्रकारों के त्रुटि सिंड्रोम एकत्र करने वाले /2 प्रत्येक के रजिस्टर ( ) और ( ) में विभाजित एनसिलरी चेक क्यूबिट्स पर निर्भर करता है। कुल मिलाकर, एन्कोडिंग 2*n* भौतिक क्यूबिट्स पर निर्भर करती है। इसलिए शुद्ध एन्कोडिंग दर = /(2 ) है। उदाहरण के लिए, मानक सतह कोड आर्किटेक्चर दूरी- कोड के लिए = 2 डेटा क्यूबिट्स में = 1 लॉजिकल क्यूबिट को एन्कोड करता है और सिंड्रोम माप के लिए − 1 चेक क्यूबिट्स का उपयोग करता है। शुद्ध एन्कोडिंग दर ≈ 1/(2*d*2) है, जो जल्दी से अव्यावहारिक हो जाती है क्योंकि एक को बड़े कोड दूरी को चुनने के लिए मजबूर किया जाता है, उदाहरण के लिए, भौतिक त्रुटियां थ्रेशोल्ड मान के करीब होने के कारण। इसके विपरीत, BB कोड में एन्कोडिंग दर ≫ 1/ 2 होती है, कोड उदाहरणों के लिए तालिका देखें। हमारे ज्ञान के अनुसार, तालिका में दिखाए गए सभी कोड नए हैं। दूरी-12 कोड [[144, 12, 12]] निकट-अवधि प्रदर्शनों के लिए सबसे आशाजनक हो सकता है, क्योंकि यह बड़ी दूरी और उच्च शुद्ध एन्कोडिंग दर = 1/24 को जोड़ता है। तुलना के लिए, दूरी-11 सतह कोड में शुद्ध एन्कोडिंग दर = 1/241 होती है। नीचे, हम दिखाते हैं कि दूरी-12 BB कोड प्रयोगात्मक रूप से प्रासंगिक त्रुटि दरों की सीमा के लिए दूरी-11 सतह कोड से बेहतर प्रदर्शन करता है। n k d k n d d n n q L q R q L q R X Z n q X q Z n r k n d n d k n r r d 1 1 r r त्रुटियों के संचय को रोकने के लिए, त्रुटि सिंड्रोम को पर्याप्त बार मापना संभव होना चाहिए। यह एक सिंड्रोम मापन सर्किट द्वारा प्राप्त किया जाता है जो प्रत्येक चेक ऑपरेटर के समर्थन में डेटा क्यूबिट्स को संबंधित एनसिलरी क्यूबिट के साथ CNOT गेट की एक श्रृंखला द्वारा जोड़ता है। फिर चेक क्यूबिट्स को मापा जाता है जो त्रुटि सिंड्रोम के मान को प्रकट करते हैं। सिंड्रोम मापन सर्किट को लागू करने में लगने वाला समय उसकी गहराई के समानुपाती होता है: गैर-ओवरलैपिंग CNOTs से बने गेट परतों की संख्या। जैसे-जैसे सिंड्रोम मापन सर्किट निष्पादित होता रहता है, नई त्रुटियाँ होती रहती हैं, इसकी गहराई को न्यूनतम किया जाना चाहिए। BB कोड के लिए पूर्ण सिंड्रोम मापन चक्र चित्र पर चित्रित किया गया है। कोड की लंबाई के बावजूद, सिंड्रोम चक्र के लिए केवल सात CNOT परतों की आवश्यकता होती है। चेक क्यूबिट्स को सिंड्रोम चक्र की शुरुआत और अंत में क्रमशः इनिशियलाइज़ और मापा जाता है (विवरण के लिए देखें)। सर्किट अंतर्निहित कोड की चक्रीय शिफ्ट समरूपता का सम्मान करता है। 2 विधियाँ सात CNOT परतों पर निर्भर सिंड्रोम माप का पूर्ण चक्र। हम सर्किट का एक स्थानीय दृश्य प्रदान करते हैं जिसमें प्रत्येक रजिस्टर ( ) और ( ) से केवल एक डेटा क्यूबिट शामिल है। सर्किट टैनर ग्राफ़ के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर शिफ्ट के तहत सममित है। प्रत्येक डेटा क्यूबिट को तीन *X-*चेक और तीन *Z-*चेक क्यूबिट्स के साथ CNOTs द्वारा युग्मित किया जाता है: अधिक विवरण के लिए देखें। q L q R विधियाँ पूर्ण त्रुटि सुधार प्रोटोकॉल c ≫ 1 सिंड्रोम मापन चक्रों को निष्पादित करता है और फिर एक डिकोडर को कॉल करता है: एक शास्त्रीय एल्गोरिथम जो इनपुट के रूप में मापे गए सिंड्रोम लेता है और डेटा क्यूबिट्स पर अंतिम त्रुटि का अनुमान आउटपुट करता है। त्रुटि सुधार सफल होता है यदि अनुमानित और वास्तविक त्रुटि चेक ऑपरेटरों के उत्पाद के मॉड्यूलो मेल खाती है। इस मामले में, दो त्रुटियों का किसी भी एन्कोडेड (लॉजिकल) स्थिति पर समान प्रभाव पड़ता है। इस प्रकार, अनुमानित त्रुटि के व्युत्क्रम को लागू करने से डेटा क्यूबिट्स प्रारंभिक लॉजिकल स्थिति में वापस आ जाते हैं। अन्यथा, यदि अनुमानित और वास्तविक त्रुटि एक गैर-तुच्छ लॉजिकल ऑपरेटर से भिन्न होती है, तो त्रुटि सुधार विफल हो जाता है जिसके परिणामस्वरूप लॉजिकल त्रुटि होती है। हमारे संख्यात्मक प्रयोग पांटेलेव और कलाचेव द्वारा प्रस्तावित क्रमबद्ध सांख्यिकी डिकोडर (BP-OSD) के साथ विश्वास प्रसार पर आधारित हैं। मूल कार्य ने केवल मेमोरी त्रुटियों वाले एक खिलौना शोर मॉडल के संदर्भ में BP-OSD का वर्णन किया। यहाँ हम सर्किट-आधारित शोर मॉडल में BP-OSD का विस्तार कैसे करें, यह दिखाते हैं, विवरण के लिए देखें। हमारा दृष्टिकोण रेफ़्स का बारीकी से अनुसरण करता है। , , , . N 36 36 पूरक सूचना 45 46 47 48 सिंड्रोम मापन सर्किट का एक शोरयुक्त संस्करण कई प्रकार के दोषपूर्ण संचालन शामिल कर सकता है जैसे कि निष्क्रिय डेटा या चेक क्यूबिट्स पर मेमोरी त्रुटियां, दोषपूर्ण CNOT गेट,
