Autoren:  (1) Wahei Hara;  (2) Yuki Hirano.  Linktabelle   Zusammenfassung und Einleitung   Austausch und Mutation von modifizierenden Modulen   Quasisymmetrische Darstellung und GIT-Quotient   Wichtigste Ergebnisse   Anwendungen für komplette Kreuzungen von Calabi und Yau   Anhang A. Matrixfaktorisierungen   Anhang B. Liste der Notation   Verweise  5. Anwendungen für komplette Kreuzungen von Calabi und Yau   Daher ergibt (5.A) und (5.B) eine Äquivalenz        Satz 5.1. Die Einschränkung von (5.F  zu einem magischen Fenster und dem Funktor (5.G)      sind Äquivalenzen.  Da der Bottom-Funktor nach Theorem A.5 eine Äquivalenz ist, gilt dies auch für (5.G).   für abgeleitete Faktorisierungskategorien ist eine Äquivalenz nach Theorem A.5.  Das Folgende zeigt, dass die Äquivalenzen der Magic Windows, die die Gruppenaktion (5.D) erzeugen, Mutationsfunktoren zwischen nichtkommutativen Matrixfaktorisierungen entsprechen.     . Wir zeigen nur, dass das linke Quadrat kommutativ ist, da die Kommutativität des rechten aus einem ähnlichen Argument folgt. Betrachten Sie das folgende Diagramm  Beweis    (5.C)   (5.H) sind.  kommutiert, wobei die vertikalen Äquivalenzen die Kompositionen von und       Lemma 5.5. Es gibt einen Isomorphismus  wobei der erste Isomorphismus aus Lemma A.6 folgt. Damit ist der Beweis abgeschlossen.  Das Folgende ist eine Verallgemeinerung von [KO, Theorem 8.5], die wir mit einem ähnlichen Argument wie in loc. cit. beweisen.       Lemma 5.6. Das folgende Diagramm kommutiert.  Es genügt also zu zeigen, dass es einen natürlichen Isomorphismus gibt   Nach Lemma 5.6 gibt es einen Isomorphismus     Der Einfachheit halber schreiben wir  Beweis von Korollar 5.3.  Daher folgt die Behauptung aus Theorem 5.2.  Dieses Dokument ist   . auf arxiv unter der Lizenz CC0 1.0 DEED verfügbar  [1] Obwohl [HSh] nur Komplexe diskutiert, gibt es ähnliche Funktoren und semiorthogonale Zerlegungen für Matrixfaktorisierungen nach [BFK2], so dass in unserem Zusammenhang eine ähnliche Argumentation wie in [HSh] funktioniert.

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