Erweiterungen für Hilbert-Schemata: GIT-Stabilität

Linktabelle

• Zusammenfassung und Einleitung
• Hintergrund zur tropischen Perspektive
• Der erweiterte Bau
• GIT-Stabilität
• Stapelperspektive
• Der kanonische Modulstapel
• Verweise

4. GIT-Stabilität

In diesem Abschnitt werden wir einige Ergebnisse analog zu denen von [GHH19] aufstellen, um verschiedene GIT-Stabilitätsbedingungen auf dem Schema X[n] in Bezug auf die im vorherigen Abschnitt beschriebenen Auswahlmöglichkeiten von G-linearisierten Linienbündeln zu beschreiben. Insbesondere zeigen wir, dass diese Stabilitätsbedingungen nicht von der Schemastruktur der nulldimensionalen Teilschemata der Länge m abhängen, sondern auf kombinatorische Kriterien für Konfigurationen von n Punkten reduziert werden können.

4.1 Hilbert-Mumford-Kriterium

In diesem Abschnitt werden wir die Definition der Hilbert-Mumford-Invarianten in Erinnerung rufen und ein numerisches Kriterium für Stabilität und Semistabilität in Bezug auf diese Invarianten angeben.

Sei H eine reduktive Gruppe, die auf einem Schema S wirkt, das über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k richtig ist. Sei L ein H-linearisiertes ample Linienbündel. Dann wird eine 1-Parameter-Untergruppe von H (der Einfachheit halber als 1-PS bezeichnet) als Homomorphismus definiert

4.2 Wirkung der 1-Parameter-Untergruppe

4.3 Beschränkte und kombinatorische Gewichte

In diesem Abschnitt erklären wir die Beziehung zwischen dem, was [GHH19] die beschränkten und kombinatorischen Gewichte der Hilbert-Mumford-Invarianten nennt.

Um die Notation so konsistent wie möglich mit [GHH19] zu halten, sei

sei die universelle Familie mit der ersten und zweiten Projektion p und q. Das Linienbündel

ist relativ reichlich, wenn l ≫ 0 und ist G-linearisiert, genau wie in Abschnitt 2.2.1 von [GHH19].

Beziehung zwischen beschränkten und kombinatorischen Gewichten. Die folgenden Lemmata beschreiben, wie die Hilbert-Mumford-Invariante in eine Summe von Invarianten zerlegt werden kann.

Beachten Sie, dass das kombinatorische Gewicht von der Wahl des linearisierten Linienbündels abhängt, das beschränkte Gewicht jedoch nicht. Ähnlich wie in [GHH19] können wir zeigen, dass das beschränkte Gewicht, wie der Name schon sagt, nach oben begrenzt werden kann.

Das folgende Ergebnis basiert auf Lemma 2.3 von [GHH19], mit einigen geringfügigen Modifikationen, um es unserem Anwendungsfall anzupassen.

Wir wollen nun diskutieren, wie sich das beschränkte Gewicht auf die Gesamtstabilitätsbedingung auswirkt. Das folgende Lemma ist unmittelbar aus [GHH19] abgeleitet, wir greifen den Beweis jedoch hier der Einfachheit halber noch einmal auf.

Beweis . Da wir gezeigt haben, dass das beschränkte Gewicht wie folgt ausgedrückt werden kann:

es geht nur darum, einen ausreichend großen Wert für l zu wählen, damit das kombinatorische Gewicht das beschränkte Gewicht übersteigt. Dadurch können wir das beschränkte Gewicht effektiv als vernachlässigbar behandeln und es in unseren Berechnungen ignorieren.

Bemerkung 4.3.5. Beachten Sie hier, dass ein solches Z nicht unbedingt gleichmäßig gestützt wird und dass nicht jeder Stützpunkt von Z unbedingt in einer ∆-Komponente enthalten ist.

Wenn wir diesen Prozess für alle k ∈ {1, . . . , n} wiederholen, erhalten wir eine Beschreibung von L und können aus diesem Linienbündel das G-linearisierte Linienbündel M bilden, wie zu Beginn dieses Abschnitts beschrieben. Weitere Einzelheiten dazu, warum dies ein positives kombinatorisches Gewicht ergibt, finden Sie im Beweis des folgenden Lemmas. Beachten Sie, dass dies nicht die einzige GIT-Stabilitätsbedingung ist, für die Z stabil ist.

Beweis . Es ist klar, dass das kombinatorische Gewicht als Summe geschrieben werden kann

4.4 Semistabiler Locus und GIT-Quotient

Beweis . Dies folgt aus Lemmas 4.3.3 und 4.3.7. Tatsächlich gilt nach Lemma 4.3.3, wenn das kombinatorische Gewicht in der Form

Beweis . Wir wählen ein beliebiges G-linearisiertes Linienbündel M, das nicht notwendigerweise wie oben konstruiert ist, bezüglich dem Z Hilbert-Mumford-Invariante ist

Beweis . Dies folgt direkt aus Lemmas 4.4.1 und 4.4.2.

Wir können nun die GIT-Quotienten beschreiben, die sich aus diesen Konstruktionen ergeben. Seien

Dann erinnern wir uns an Lemma 3.1.13, den Isomorphismus

Für alle oben beschriebenen Wahlmöglichkeiten linearisierter Linienbündel verhält sich der GIT-Quotient auf der Basis daher wie folgt

Beweis . Dieses Ergebnis folgt direkt aus dem relativen Hilbert-Mumford-Kriterium von [GHH15].