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Erweiterungen für Hilbert-Schemata: die erweiterte Konstruktionvon@eigenvector

Erweiterungen für Hilbert-Schemata: die erweiterte Konstruktion

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3 Mindest read2024/06/11
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In diesem Artikel werden Methoden zur Degenerierung von „Hilbert-Schemata“ (geometrische Objekte) auf Oberflächen verbessert und Stabilität sowie Verbindungen zu anderen Konstruktionen untersucht.
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Academic Research Paper

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Autor:

(1) CALLA TSCHANZ.

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3. Die erweiterte Konstruktion

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Ausgabe der erweiterten Konstruktion. Die erweiterte Degeneration X[n] ! C[n], die wir in diesem Abschnitt konstruieren, hat die folgenden Eigenschaften:


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3.1 Die Explosionen

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In dieser erweiterten Degenerationskonstruktion werden wir Schemata entlang von Weil-Teilern aufblasen. Eine Konsequenz der Art und Weise, wie diese Blow-ups definiert werden, ist, dass die Blow-up-Morphimen nur Komponenten mit einer Kodimension von mindestens 2 kontrahieren.


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die Morphismen, die jedem einzelnen Blow-up entsprechen. Wir haben daher die Gleichheit


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Wir legen nun die folgende Terminologie fest.


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Proposition 3.1.5. Das folgende vergrößerte Diagramm kommutiert


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Beweis . Dies ergibt sich unmittelbar aus der örtlichen Beschreibung der Explosionen oben.


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Wir erweitern nun die Definition der ∆1-Komponenten auf die Schemata X[n] und legen einige zusätzliche Begriffe fest.


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Bevor wir fortfahren, legen wir einige Begriffe fest, die uns bei der Beschreibung der erweiterten Komponenten helfen werden.


Definition 3.1.11. Wir bezeichnen eine irreduzible Komponente einer ∆-Komponente als Blase. Die Begriffe, dass zwei Blasen gleich sind und dass eine Blase in einer bestimmten Faser ausgedehnt ist, sind wie in den Definitionen 3.1.4 und 3.1.9.


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Nun stellen wir fest, dass es eine natürliche Einbeziehung gibt


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was wiederum eine natürliche Einbeziehung bewirkt


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auf der Grundlage von Anweisungen und handelt durch


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auf den ∆-Komponenten.


Beweis . Dies folgt unmittelbar aus [GHH19].


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die wir im vorigen Abschnitt beschrieben haben, sind unter der Gruppenaktion äquivariant.


Lemma 3.1.13. Wir haben den Isomorphismus


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Beweis . Dies ergibt sich unmittelbar aus der obigen Beschreibung der Gruppenaktion.


Bemerkung 3.1.14. Wir missbrauchen die Notation leicht, indem wir die auf X[n] wirkende Gruppe mit G statt mit G[n] bezeichnen. Aus dem Kontext sollte immer klar sein, welche Gruppe G gemeint ist.

3.2 Einbettung in das Produkt projektiver Bündel

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Lemma 3.2.1. Es gibt eine Einbettung


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Daraus folgern wir, dass es Einbettungen gibt


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Daher haben wir Einbettungen


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Linearisierungen . Das folgende Lemma bietet eine Methode zum Erstellen aller linearisierten Linienbündel, die wir zum Variieren der GIT-Stabilitätsbedingung benötigen.


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