Trình tự GIT: kích thước tùy ý

từ tác giả Graph Theory4m2024/06/04

dài quá đọc không nổi

Các nhà nghiên cứu nghiên cứu độ ổn định tuyến tính và sự phân nhánh trong các hệ Hamilton, sử dụng các phương pháp tôpô/tổ hợp để tinh chỉnh định lý Krein–Moser.

featured image - Trình tự GIT: kích thước tùy ý

tác giả:

(1) Agustin Moreno;

(2) Francesco Ruscelli.

Bảng liên kết

5. Chuỗi GIT: kích thước tùy ý

Trong số các thành phần này, có một thành phần đặc biệt là thành phần ổn định, tương ứng với các quỹ đạo tuần hoàn ổn định. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng tổ hợp của nó bị chi phối bởi thương số của khối liên hợp .

5.1. Một số hình học đại số thực. Xét không gian các đa thức monic với hệ số thực và bậc n, tức là có dạng

Hãy nhớ lại rằng phân biệt của một đa thức được định nghĩa là biểu thức

Ví dụ 5.1. Với trường hợp n = 3 thì mọi đa thức

có thể được chuyển đổi thông qua việc thay đổi các biến y = x − b/3 thành đa thức không có số hạng bậc 2 (đa thức bậc ba bị nén ), tức là có dạng

Nhận xét 5.2. Lưu ý rằng nếu có các bộ tứ phức trong phổ thì Bblock luôn có ít nhất một triệu có dạng diag(1, −1). Được xem dưới dạng song tuyến tính, ma trận này luôn có chữ ký hỗn hợp. Vì các chữ ký hoạt động liên tục trong không gian của các dạng song tuyến tính không suy biến, điều này ngụ ý rằng bộ tứ tương ứng không thể được kết nối với một cặp bội số hai của hyperbol hoặc elip xác định, trong khi cố định các giá trị riêng còn lại. Đây là quan sát chính ám chỉ định lý Krein–Moser, cf. Phụ lục A. Đây cũng là điều ngụ ý sự cải tiến của nó đối với các quỹ đạo đối xứng (Định lý A).

Những trường hợp không thường xuyên Các trường hợp không chính quy có thể được xử lý tương tự, mặc dù tổ hợp có liên quan nhiều hơn. Thật vậy, giả sử A có giá trị riêng thực

trong đó chúng tôi cũng cho phép ±1 làm giá trị riêng và giá trị riêng phức tạp

Chúng tôi biểu thị bội số bằng cách

Hiệp hội. Tổ hợp biên của vùng ổn định có thể được mã hóa luân phiên như sau. Chúng tôi xác định các giá trị riêng đơn giản

chỉ ra rằng các giá trị riêng νj và νj+1 kết hợp với nhau thành bội số hai giá trị riêng, và do đó tương ứng với sự rút gọn của bội số được cho bởi

(1, . . . , 1) 7→ (1, . . . , 2, . . . , 1).

Tương tự, một dấu ngoặc đơn nữa

−1ν1 . . . νj−1{νj , νj+1} . . . νl1 7→ −1ν1 . . . {νj−1, νj , νj+1} . . . νl1

chỉ ra rằng giá trị riêng νj−1 kết hợp với bội số hai giá trị riêng trước đó thành bội số ba giá trị riêng, và do đó tương ứng với phép rút gọn

(1, . . ., 1, 2, . . . , 1) 7→ (1, . . . , 3, . . . , 1).

Việc xây dựng này lặp đi lặp lại một cách rõ ràng. Ở đây chúng tôi cũng cho phép các giá trị riêng đi cùng với ±1, tức là {−1, ν1}ν2{ν3, ν4, 1} là một biểu thức hợp lệ. Lưu ý rằng chúng tôi sử dụng ký hiệu ngoặc để chỉ ra rằng thứ tự của các phần tử trong ngoặc là không liên quan. Việc lặp lại cấu trúc này dẫn đến một tập hợp các chuỗi (trong đó tất cả các dấu ngoặc mở đều đi kèm với một dấu ngoặc đóng tương ứng và không có dấu ngoặc lồng nhau) và trong đó hai chuỗi a, b thỏa mãn a ≤ b nếu b thu được từ một chuỗi các các phép toán trong ngoặc từ a. Poset này sau đó mã hóa tổ hợp biên của vùng ổn định bằng cách xây dựng.

Bây giờ, những điều trên có liên quan mật thiết đến thao tác lấy phép toán dấu ngoặc đơn

và lặp lại chúng, tương tự như trên, ví dụ như

v.v., ví dụ, bây giờ một biểu thức hợp lệ là ((−1ν1)ν2)ν3(ν41). Khi đó, dấu ngoặc là kết quả của việc loại bỏ tất cả dấu ngoặc đơn bên trong trong một biểu thức, tức là một cách ký hiệu thông qua (. . .(. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ) ) 7→ (. . . . . . . . . . .). (tức là tác động lên số phần tử bên trong ngoặc), một cách tượng trưng thông qua

Ví dụ: biểu thức trên trở thành {−1, ν1, ν2}ν3{ν4, 1}, lúc này thứ tự của các phần tử bên trong ngoặc không còn phù hợp nữa.

Nhưng tổ hợp các biểu thức có dấu ngoặc đơn bị chi phối bởi một đa hình rất nổi tiếng, được gọi là khối kết hợp. Đây là đa giác lồi (m − 2) chiều K m trong đó mỗi đỉnh tương ứng với một cách chèn dấu ngoặc đơn mở và đóng trong một chuỗi m chữ cái (có nghĩa là nó xác định duy nhất thứ tự của các phép toán tích), và các cạnh tương ứng với việc áp dụng duy nhất quy tắc kết hợp. Điều này cũng có thể được xem như một poset, khi mũi tên chỉ ra rằng các dấu ngoặc đơn đã được di chuyển sang bên phải (đây là mạng Tamari). Hơn nữa, người ta cũng có thể dán nhãn cho các cạnh

Để có được vùng ổn định từ khối liên kết, chúng tôi nhận thấy rằng nhiều nhãn ở khối sau thực sự tương đương khi được viết bằng ký hiệu ngoặc. Sau đó chúng tôi kết luận:

Nói cách khác, vùng ổn định có tính đồng cấu với thương số của khối kết hợp, trong đó chúng tôi xác định các tầng có nhãn trở nên tương đương khi được viết trong ký hiệu ngoặc. Các trường hợp chiều thấp (n = 1, 2, 3) được mô tả trong Hình 6 và 7.