Sequência GIT: dimensão arbitrária

Tabela de Links

• Abstrato
• Introdução
• Preliminares
• A assinatura B
• Sequência GIT: dimensões baixas
• Sequência GIT: dimensão arbitrária
• Apêndice A. Estabilidade, teorema de Krein-Moser e refinamentos e referências

5. Sequência GIT: dimensão arbitrária

Dentre esses componentes, existe um especial, o componente estável, que corresponde a órbitas periódicas estáveis. Mostraremos que a sua combinatória é governada por um quociente do associaedro .

5.1. Alguma geometria algébrica real. Considere o espaço de polinômios mônicos com coeficientes reais e de grau n, ou seja, da forma

Lembre-se de que o discriminante de um polinômio é definido como a expressão

Exemplo 5.1. Para o caso n = 3, todo polinômio

pode ser transformado através da mudança das variáveis y = x − b/3 em um polinômio sem termo de grau 2 (um polinômio cúbico deprimido ), ou seja, da forma

Observação 5.2. Observe que se houver quádruplos complexos no espectro, então o bloco B sempre terá pelo menos uma soma na forma diag(1, −1). Vista como uma forma bilinear, esta matriz sempre possui assinatura mista. Como as assinaturas se comportam continuamente no espaço de formas bilineares não degeneradas, isso implica que o quádruplo correspondente não pode ser conectado a um par hiperbólico ou elíptico de multiplicidade dois de assinatura definida, enquanto fixa os demais autovalores. Esta é a principal observação que implica o teorema de Krein-Moser, cf. Apêndice A. É também isso que implica seu refinamento para órbitas simétricas (Teorema A).

Casos não regulares. Os casos não regulares podem ser tratados de forma semelhante, embora a combinatória seja mais envolvente. Na verdade, suponha que A tenha autovalores reais

onde também permitimos ±1 como autovalor e autovalores complexos

Denotamos as multiplicidades por

O associaedro. A combinatória de limites da região estável pode ser alternativamente codificada como segue. Identificamos os autovalores simples

indica que os autovalores νj e νj+1 se reúnem em um autovalor de multiplicidade dois e, portanto, corresponde à contração de multiplicidades dada por

(1, . . . , 1) 7 → (1, . . . , 2, . . . , 1).

Da mesma forma, mais um parêntese

−1ν1. . . νj−1{νj , νj+1} . . . νl1 7→ −1ν1 . . . {νj−1, νj , νj+1} . . . νl1

indica que o autovalor νj−1 veio junto com o autovalor de multiplicidade dois anterior em um autovalor de multiplicidade três e, portanto, corresponde à contração

(1, . . . , 1, 2, . . . , 1) 7→ (1, . . . , 3, . . . , 1).

Esta construção itera da maneira óbvia. Aqui também permitimos que autovalores se juntem a ±1, ou seja, {−1, ν1}ν2{ν3, ν4, 1} é uma expressão válida. Observe que usamos a notação de colchetes para indicar que a ordem dos elementos entre colchetes é irrelevante. A iteração desta construção resulta em um conjunto de strings (no qual todos os colchetes abertos são acompanhados por um colchetes fechado correspondente, e não há colchetes aninhados), e onde duas strings a, b satisfazem a ≤ b se b for obtido por uma sequência de operações entre colchetes de a. Este poset então codifica a combinatória de limites da região estável, por construção.

Agora, o que foi dito acima está intimamente relacionado à operação de obter operações entre parênteses

e iterá-los, da mesma forma que acima, por exemplo, como

e assim por diante, onde agora uma expressão válida é, por exemplo, ((−1ν1)ν2)ν3(ν41). O colchete é então o resultado da remoção de todos os parênteses internos em uma expressão, ou seja, simbolicamente via (. . .(. . .). . .) 7→ (. . .), e modificado pela ação do grupo de permutação correspondente (ou seja, agindo sobre o número de elementos dentro do colchete), simbolicamente via

Por exemplo, a expressão acima torna-se {−1, ν1, ν2}ν3{ν4, 1}, onde agora a ordem dos elementos dentro do colchete é irrelevante.

Mas a combinatória das expressões entre parênteses é governada por um politopo muito conhecido, denominado associaedro. Este é o politopo convexo (m - 2) dimensional K m em que cada vértice corresponde a uma maneira de inserir corretamente parênteses de abertura e fechamento em uma sequência de m letras (o que significa que determina exclusivamente a ordem das operações de produto), e as arestas correspondem à aplicação única da regra de associatividade. Isso também pode ser visto como um poset, quando a seta indica que os parênteses foram movidos para a direita (esta é a rede Tamari). Além disso, também se pode rotular as bordas

Para obter a região estável do associaedro, observamos que muitos rótulos neste último são na verdade equivalentes quando escritos com a notação de colchetes. Concluímos então:

Em outras palavras, a região estável é homeomórfica a um quociente do associaedro, onde identificamos aqueles estratos cujo rótulo se torna equivalente quando escrito na notação de colchetes. Os casos de baixa dimensão (n = 1, 2, 3) estão representados nas Figuras 6 e 7.