जीआईटी अनुक्रम: मनमाना आयाम

लिंक की तालिका

• अमूर्त
• परिचय
• प्रारंभिक
• बी-हस्ताक्षर
• जीआईटी अनुक्रम: निम्न आयाम
• जीआईटी अनुक्रम: मनमाना आयाम
• परिशिष्ट A. स्थिरता, क्रेन-मोजर प्रमेय, और परिशोधन और संदर्भ

5. जीआईटी अनुक्रम: मनमाना आयाम

इन घटकों में से एक विशेष घटक है, स्थिर घटक, जो स्थिर आवधिक कक्षाओं से मेल खाता है। हम दिखाएंगे कि इसका संयोजन एसोसिएहेड्रॉन के भागफल द्वारा नियंत्रित होता है।

5.1. कुछ वास्तविक बीजीय ज्यामिति। वास्तविक गुणांकों और डिग्री n वाले मोनिक बहुपदों के स्थान पर विचार करें, अर्थात इस रूप में

स्मरण करें कि बहुपद के विभेदक को अभिव्यक्ति के रूप में परिभाषित किया गया है

उदाहरण 5.1. स्थिति n = 3 के लिए, प्रत्येक बहुपद

चर y = x − b/3 के परिवर्तन के माध्यम से बिना घात 2 पद वाले बहुपद ( अवसादित घन बहुपद) में रूपांतरित किया जा सकता है, अर्थात इस रूप का

टिप्पणी 5.2. ध्यान दें कि यदि स्पेक्ट्रम में जटिल चतुर्भुज हैं, तो Bblock में हमेशा diag(1, −1) के रूप का कम से कम एक योग होता है। द्विरेखीय रूप के रूप में देखा जाए, तो इस मैट्रिक्स में हमेशा मिश्रित हस्ताक्षर होते हैं। चूंकि हस्ताक्षर गैर-पतित द्विरेखीय रूपों के स्थान में निरंतर व्यवहार करते हैं, इसका तात्पर्य यह है कि संबंधित चतुर्भुज को निश्चित हस्ताक्षर के हाइपरबोलिक या अण्डाकार गुणन दो की जोड़ी से नहीं जोड़ा जा सकता है, जबकि शेष आइगेनवैल्यू को ठीक किया जाता है। यह मुख्य अवलोकन है जो क्रेन-मोजर प्रमेय को दर्शाता है, cf. परिशिष्ट A. यह भी सममित कक्षाओं (प्रमेय A) के लिए इसके परिशोधन को दर्शाता है।

अनियमित मामले। अनियमित मामलों को भी इसी तरह से निपटाया जा सकता है, हालांकि संयोजन विज्ञान अधिक जटिल हो जाता है। वास्तव में, मान लें कि A के वास्तविक आइगेनवैल्यू हैं

जहाँ हम ±1 को आइजेनवैल्यू के रूप में भी स्वीकार करते हैं, और जटिल आइजेनवैल्यू

हम गुणन को निम्न द्वारा निरूपित करते हैं

एसोसिएहेड्रॉन। स्थिर क्षेत्र की सीमा संयोजन को वैकल्पिक रूप से निम्न प्रकार से एनकोड किया जा सकता है। हम सरल आइगेनवैल्यू की पहचान करते हैं

यह दर्शाता है कि आइजेन वैल्यू νj और νj+1 एक साथ मिलकर दो आइजेन वैल्यू की बहुलता बनाते हैं, और इस प्रकार यह दिए गए बहुलता के संकुचन के अनुरूप है

(1, . . . , 1) 7→ (1, . . . , 2, . . . , 1).

इसी प्रकार, एक और कोष्ठक

−1ν1 . . . νj−1{νj , νj+1} . . . νl1 7→ −1ν1 . . . {νj−1, νj , νj+1} . . . νl1

यह दर्शाता है कि आइजेनवैल्यू νj−1 पिछली बहुलता दो आइजेनवैल्यू के साथ मिलकर बहुलता तीन आइजेनवैल्यू में बदल गया है, और इसलिए संकुचन के अनुरूप है

(1, . . . , 1, 2, . . . , 1) 7→ (1, . . . , 3, . . . , 1).

यह निर्माण स्पष्ट तरीके से दोहराया जाता है। यहाँ हम आइगेनवैल्यू को ±1 के साथ आने की अनुमति भी देते हैं, यानी {−1, ν1}ν2{ν3, ν4, 1} एक वैध अभिव्यक्ति है। ध्यान दें कि हम ब्रैकेट संकेतन का उपयोग यह इंगित करने के लिए करते हैं कि ब्रैकेट में तत्वों का क्रम अप्रासंगिक है। इस निर्माण को दोहराने से स्ट्रिंग्स का एक पॉसेट प्राप्त होता है (जिसमें सभी खुले ब्रैकेट एक संगत बंद ब्रैकेट के साथ होते हैं, और कोई नेस्टेड ब्रैकेट नहीं होते हैं), और जहाँ दो स्ट्रिंग्स a, b a ≤ b को संतुष्ट करते हैं यदि b को a से ब्रैकेट संचालन के अनुक्रम द्वारा प्राप्त किया जाता है। यह पॉसेट तब निर्माण द्वारा स्थिर क्षेत्र की सीमा संयोजन को एनकोड करता है।

अब, उपरोक्त कोष्ठक संचालन के संचालन से घनिष्ठ रूप से संबंधित है

और उन्हें ऊपर बताए अनुसार दोहराते रहें, जैसे कि

और इसी प्रकार, जहाँ अब एक वैध अभिव्यक्ति उदाहरण के लिए ((−1ν1)ν2)ν3(ν41) है। ब्रैकेट तब एक अभिव्यक्ति में सभी आंतरिक कोष्ठक हटाने का परिणाम है, यानी प्रतीकात्मक रूप से (. . .(. . .). . .) 7→ (. . .) के माध्यम से, और इसी क्रमचय समूह की कार्रवाई द्वारा मॉडिंग आउट (यानी ब्रैकेट के अंदर तत्वों की संख्या पर कार्य करना), प्रतीकात्मक रूप से

उदाहरण के लिए, उपरोक्त अभिव्यक्ति {−1, ν1, ν2}ν3{ν4, 1} बन जाती है, जहाँ अब ब्रैकेट के अंदर तत्वों का क्रम अप्रासंगिक है।

लेकिन कोष्ठक के साथ अभिव्यक्तियों का संयोजन एक बहुत प्रसिद्ध बहुफलक द्वारा नियंत्रित होता है, जिसे एसोसिएहेड्रॉन कहा जाता है। यह (m − 2)-आयामी उत्तल बहुफलक K m है जिसमें प्रत्येक शीर्ष m अक्षरों की एक स्ट्रिंग में खुलने और बंद होने वाले कोष्ठकों को सही ढंग से सम्मिलित करने के तरीके से मेल खाता है (जिसका अर्थ है कि यह उत्पाद संचालन के क्रम को विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है), और किनारे साहचर्य नियम के एकल अनुप्रयोग के अनुरूप हैं। इसे एक पोसेट के रूप में भी देखा जा सकता है, जब तीर इंगित करता है कि कोष्ठक दाईं ओर ले जाया गया है (यह तामारी जाली है)। इसके अलावा, कोई किनारों को लेबल भी कर सकता है

एसोसिएहेड्रॉन से स्थिर क्षेत्र प्राप्त करने के लिए, हम देखते हैं कि ब्रैकेट नोटेशन के साथ लिखे जाने पर बाद वाले में कई लेबल वास्तव में समतुल्य हैं। फिर हम निष्कर्ष निकालते हैं:

दूसरे शब्दों में, स्थिर क्षेत्र एसोसिएहेड्रॉन के भागफल के लिए समरूप है, जहाँ हम उन स्तरों की पहचान करते हैं जिनके लेबल को ब्रैकेट नोटेशन में लिखे जाने पर समतुल्य हो जाते हैं। निम्न आयामी मामले (n = 1, 2, 3) चित्र 6 और 7 में दर्शाए गए हैं।