Đột biến của độ phân giải crepant không giao hoán: Trao đổi & Đột biến của các mô-đun sửa đổi

từ tác giả Eigenvector Initialization Publication4m2024/06/09

dài quá đọc không nổi

Bài báo này nghiên cứu sự tương đương giữa các cửa sổ ma thuật tương ứng với việc vượt tường trong một sắp xếp siêu phẳng theo NCCR.

featured image - Đột biến của độ phân giải crepant không giao hoán: Trao đổi & Đột biến của các mô-đun sửa đổi

tác giả:

(1) Wahei Hara;

(2) Yuki Hirano.

Bảng liên kết

2. Trao đổi và đột biến các mô-đun sửa đổi

2.1. Độ phân giải crepant không giao hoán. Phần này nhắc lại định nghĩa của một số khái niệm cơ bản được nghiên cứu trong bài viết này.

(1) Môđun R phản xạ M được gọi là môđun biến đổi nếu EndR(M) là môđun R Cohen-Macaulay (tối đa).

(2) Chúng ta nói rằng mô đun phản xạ M cho độ phân giải crepant không giao hoán (=NCCR) Λ = EndR(M) nếu M đang sửa đổi và đại số Λ có số chiều toàn cục hữu hạn.

Nhận xét 2.4. Lưu ý rằng định nghĩa của chúng tôi về NCCR khác với định nghĩa trong [Van3] hoặc [IW1]. Tuy nhiên, nếu R là d-sCY thì định nghĩa của chúng tôi tương đương với các định nghĩa khác. Xem [Van3, Bổ đề 4.2] hoặc [IW1, Bổ đề 2.23].

từ K ∈ addL sao cho dạng hình thái cảm ứng α ◦ (-): Hom(N, K) → Hom(N, M) là tính từ. Nếu L = N, chúng ta chỉ gọi α là xấp xỉ đúng (addL) của M. A đúng (cộng L)N - xấp xỉ α: K → M của M được gọi là cực tiểu nếu bất kỳ nội cấu nào φ ∈ End(K) thỏa mãn α◦φ = α là một phép tự đẳng cấu, và chúng ta nói rằng α bị giảm nếu bất kỳ triệu hồi trực tiếp K′ nào của K không chứa trong Ker(α). Lưu ý rằng nếu xấp xỉ đúng là tối thiểu thì nó sẽ bị giảm và trong trường hợp R hoàn toàn cục bộ thì điều ngược lại cũng đúng.

Định nghĩa 2.6. Cho R là một d-sCY bình thường và đặt M, N, L ∈ ref R.

Bổ đề 2.7. Ký hiệu tương tự như trên

(1) Nếu L ′ ∈ addL thì có sự bao gồm

điều này vẫn đúng khi hạn chế trao đổi giảm.

(2) Nếu N′ ∈ cộng N thì có sự bao gồm

điều này vẫn đúng khi hạn chế trao đổi giảm.

(3) Đối với một tiểu thể loại đầy đủ khác S ′ ⊆ ref R, có sự bao gồm

Nếu R hoàn chỉnh cục bộ thì sự bao gồm tương tự cũng được áp dụng cho các trao đổi giảm.

Bằng chứng . (1), (2) và khẳng định đầu tiên trong (3) là hiển nhiên. Khẳng định thứ hai trong (3) xuất phát từ thực tế rằng, nếu R hoàn chỉnh cục bộ, hai giá trị gần đúng α: K → M và α ′ : K′ → M′ bị giảm khi và chỉ khi α ⊕ α ′ : K ⊕ K′ → M ⊕ M′ bị giảm.

Bằng chứng . Giả sử Hom(N, M ⊕ N) là Cohen-Macaulay và xét một dãy chính xác

0 → F Ker α → FK → FM → 0.

Bây giờ áp dụng hàm tử Hom(-, FR) cho dãy này cùng với sự tương đương phản xạ chứng tỏ rằng dãy kép

0 → M∗ → K∗ → (Ker α)

là chính xác.

0 → Hom(FM, FN) → Hom(FK, FN) → Hom(F Ker α, FN) → 0

vẫn chính xác. Vì tất cả các mô-đun trong chuỗi ban đầu đều có tính phản xạ, nên sự tương đương phản xạ và tính đối ngẫu mang lại tính đẳng cấu

và các phép đẳng cấu tương tự cho K và Ker α, ngụ ý tính chính xác của chuỗi

0 → Hom(N ∗ , M∗ ) → Hom(N ∗ , K∗ ) → Hom(N ∗ ,(Ker α) ∗ ) → 0.

Do đó hình thái kép

K∗ → (Ker α) ∗

là một quyền (cộng L ∗ )N∗ -xấp xỉ với hạt nhân M∗ , điều này chứng tỏ khẳng định đầu tiên. Khẳng định thứ hai xuất phát từ một lập luận tương tự.

Phần sau đây nói rằng việc trao đổi lệnh triệu hồi trực tiếp của mô-đun sửa đổi sẽ mang lại một mô-đun sửa đổi mới trong những tình huống tốt.

Bổ đề 2.10. Đặt M ∈ ref R. Tương đương sau đây đúng.

M ∈ CM R ⇐⇒ M∗ ∈ CM R

Bằng chứng. Chúng ta có thể giả sử rằng R là cục bộ. Vì M phản xạ nên chỉ cần chỉ hướng (⇒). Vì R là Gorenstein nên chiều nội chiếu của nó là hữu hạn. Do đó, kết quả rút ra từ [BH, Mệnh đề 3.3.3 (b)].

Bổ đề 2.11. Cho R là vành chuẩn Gorenstein và cho M, N ∈ ref R. Khi đó

Bằng chứng . Chỉ cần chứng minh chiều (⇒) là đủ. Giả sử Hom(M, N) ∈ CM R. Khi đó Bổ đề 2.10 suy ra rằng Hom(M, N) ∗ ∈ CM R. Nhưng theo Bổ đề [IW1, Bổ đề 2.9], có một phép đẳng cấu Hom(M, N) ∗ ∼ = Hom(N, M), chứng tỏ Hom(N, M) ∈ CM R.

Chứng minh cho trường hợp m < 0 cũng tương tự.

Nhận xét 2.13. Vì phép tính gần đúng bên phải nói chung không phải là duy nhất nên đột biến phải/trái cũng vậy. Tuy nhiên, đột biến phải/trái là duy nhất cho đến khi đóng cộng [IW1, Bổ đề 6.2] và nếu R hoàn toàn cục bộ, các đột biến tối thiểu là duy nhất cho đến đẳng cấu.

Định lý 2.14 ([IW1, Mệnh đề 6.5, Định lý 6.8, Định lý 6.10]). Cho M ∈ ref R là môđun R biến đổi.

2.3. Nghiêng bó và đột biến. Phần này thảo luận về việc nghiêng các gói trên các ngăn xếp đại số. Chúng ta bắt đầu từ việc nhớ lại một số dữ kiện cơ bản về các phạm trù dẫn xuất của ngăn xếp đại số.