Mutaciones de resoluciones crepantes no conmutativas: intercambios y mutaciones de módulos modificadores

Tabla de enlaces

• Resumen e introducción
• Intercambios y Mutaciones de módulos modificadores.
• Representación cuasisimétrica y cociente GIT.
• Resultados principales
• Solicitudes para intersecciones completas Calabi-Yau
• Apéndice A. Factorizaciones matriciales
• Apéndice B. Lista de notación
• Referencias

2. Intercambios y Mutaciones de módulos modificadores

2.1. Resolución crepante no conmutativa. El presente apartado recuerda la definición de algunas nociones básicas que se estudian en este artículo.

(1) Un módulo R reflexivo M se denomina módulo modificador si EndR(M) es un módulo R (máximo) de Cohen-Macaulay.

(2) Decimos que un módulo reflexivo M da una resolución crepante no conmutativa (=NCCR) Λ = EndR(M) si M es modificante y el álgebra Λ tiene una dimensión global finita.

Observación 2.4. Tenga en cuenta que nuestra definición de NCCR es diferente de la de [Van3] o [IW1]. Sin embargo, si R es d-sCY, nuestra definición es equivalente a otras definiciones. Consulte [Van3, Lema 4.2] o [IW1, Lema 2.23].

de K ∈ addL tal que el morfismo inducido α ◦ (-): Hom(N, K) → Hom(N, M) es sobreyectivo. Si L = N, simplemente llamamos a α una aproximación correcta (addL) de M. Una aproximación correcta (add L)N α: K → M de M se dice que es mínima si cualquier endomorfismo φ ∈ End(K) satisface α◦φ = α es un automorfismo, y decimos que α se reduce si cualquier sumando directo K′ de K no está contenido en Ker(α). Tenga en cuenta que si una aproximación correcta es mínima, se reduce y, en el caso de que R sea local completo, lo contrario también se cumple.

Definición 2.6. Sea R un d-sCY normal y sea M, N, L ∈ ref R.

Lema 2.7. La notación es la misma que la anterior.

(1) Si L ′ ∈ addL, hay una inclusión

lo cual sigue siendo cierto cuando se limita a intercambios reducidos.

(2) Si N′ ∈ suma N, hay una inclusión

lo cual sigue siendo cierto cuando se limita a intercambios reducidos.

(3) Para otra subcategoría completa S ′ ⊆ ref R, hay una inclusión

Si R es completamente local, la inclusión similar también se cumple para intercambios reducidos.

Prueba . (1), (2) y la primera afirmación en (3) son obvias. La segunda afirmación en (3) se deriva del hecho de que, si R es local completo, dos aproximaciones α: K → M y α ′ : K′ → M′ se reducen si y sólo si α ⊕ α ′ : K ⊕ K′ → M ⊕ M′ se reduce.

Prueba . Suponga que Hom(N, M ⊕ N) es Cohen-Macaulay y considere una secuencia exacta

0 → F Ker α → FK → FM → 0.

Ahora, aplicando el funtor Hom(−, FR) a esta secuencia junto con la equivalencia reflexiva se demuestra que la secuencia dual

0 → M∗ → K∗ → (Ker α)

es exacto.

0 → Hom(FM, FN) → Hom(FK, FN) → Hom(F Ker α, FN) → 0

queda por ser exacto. Dado que todos los módulos de la secuencia original son reflexivos, la equivalencia reflexiva y la dualidad producen un isomorfismo

e isomorfismos similares para K y Ker α, que implican la exactitud de la secuencia

0 → Hom(N ∗ , M∗ ) → Hom(N ∗ , K∗ ) → Hom(N ∗ ,(Ker α) ∗ ) → 0.

Así, el morfismo dual

K∗ → (Ker α) ∗

es una aproximación correcta (suma L ∗ )N∗ con el núcleo M∗, lo que prueba la primera afirmación. La segunda afirmación se deriva de un argumento similar.

Lo siguiente dice que intercambiar un sumando directo de un módulo de modificación proporciona un nuevo módulo de modificación en situaciones agradables.

Lema 2.10. Sea M ∈ ref R. Se cumple la siguiente equivalencia.

METRO ∈ CM R ⇐⇒ M∗ ∈ CM R

Prueba. Podemos suponer que R es local. Como M es reflexivo, basta con mostrar la dirección (⇒). Como R es Gorenstein, su dimensión inyectiva es finita. Por tanto, el resultado se desprende de [BH, Proposición 3.3.3 (b)].

Lema 2.11. Sea R un anillo normal de Gorenstein y sea M, N ∈ ref R. Entonces

Prueba . Basta probar la dirección (⇒). Supongamos que Hom(M, N) ∈ CM R. Entonces el Lema 2.10 implica que Hom(M, N) ∗ ∈ CM R. Pero según el Lema [IW1, Lema 2.9], hay un isomorfismo Hom(M, N) ∗ ∼ = Hom(N, M), lo que muestra que Hom(N, M) ∈ CM R.

La prueba para el caso en que m < 0 es similar.

Observación 2.13. Dado que una aproximación derecha no es única en general, tampoco lo es la mutación derecha/izquierda. Sin embargo, la mutación derecha/izquierda es única hasta el cierre aditivo [IW1, Lema 6.2], y si R es local completo, las mutaciones mínimas son únicas hasta el isomorfismo.

Teorema 2.14 ([IW1, Proposición 6.5, Teorema 6.8, Teorema 6.10]). Sea M ∈ ref R un módulo R modificador.

2.3. Haces basculantes y mutaciones. Esta sección analiza la inclinación de paquetes sobre pilas algebraicas. Comenzamos recordando algunos hechos básicos sobre las categorías derivadas de pilas algebraicas.