Auteurs:  (1) Wahei Hara ;  (2) Yuki Hirano.  Tableau des liens   Résumé et introduction   Echanges et Mutations de modules modificateurs   Représentation quasi-symétrique et quotient GIT   Principaux résultats   Applications aux intersections complètes Calabi-Yau   Annexe A. Factorisations matricielles   Annexe B. Liste des notations   Les références  2. Echanges et Mutations de modules modificateurs  2.1.   La présente section rappelle la définition de quelques notions de base qui sont étudiées dans cet article.  Résolution crépante non commutative.  (1) Un R-module réflexif M est appelé module modificateur si EndR(M) est un R-module de Cohen-Macaulay (maximal).  (2) On dit qu'un module réflexif M donne une résolution crépante non commutative (=NCCR) Λ = EndR(M) si M est modifiant et que l'algèbre Λ est de dimension globale finie.    Notez que notre définition du NCCR est différente de celle de [Van3] ou [IW1]. Cependant, si R est d-sCY, notre définition est équivalente aux autres définitions. Voir [Van3, Lemme 4.2] ou [IW1, Lemme 2.23].  Remarque 2.4.  de K ∈ addL tel que le morphisme induit α ◦ (−) : Hom(N, K) → Hom(N, M) est surjectif. Si L = N, nous appelons simplement α une approximation à droite (addL) de M. Une approximation à droite (add L)N α : K → M de M est dit minimal si un endomorphisme φ ∈ End(K) satisfait α◦φ = α est un automorphisme, et on dit que α est réduit si aucune somme directe K′ de K n'est contenue dans Ker(α). Notez que si une bonne approximation est minimale, elle est réduite, et dans le cas où R est local complet, l'inverse est également vrai.     Soit R un d-sCY normal, et soit M, N, L ∈ ref R.  Définition 2.6.     Lemme 2.7. La notation est la même que ci-dessus  (1)    Si L ′ ∈ addL, il y a une inclusion  ce qui reste vrai lorsqu’on se limite à des échanges réduits.  (2)    Si N′ ∈ ajoutez N, il y a une inclusion   ce qui reste vrai lorsqu’on se limite à des échanges réduits.  (3)    Pour une autre sous-catégorie complète S ′ ⊆ ref R, il y a une inclusion   Si R est local complet, l’inclusion similaire est également valable pour des échanges réduits.    . (1), (2) et la première assertion de (3) sont évidentes. La deuxième assertion de (3) découle du fait que, si R est local complet, deux approximations α : K → M et α ′ : K′ → M′ sont réduites si et seulement si α ⊕ α ′ : K ⊕ K′ → M ⊕ M′ est réduit.  Preuve    . Supposons que Hom(N, M ⊕ N) soit Cohen-Macaulay, et considérons une séquence exacte  Preuve  0 → F Ker α → FK → FM → 0.  Appliquer maintenant le foncteur Hom(−, FR) à cette séquence avec l'équivalence réflexive prouve que la séquence double  0 → M∗ → K∗ → (Ker α)  est exact.   0 → Hom(FM, FN) → Hom(FK, FN) → Hom(F Ker α, FN) → 0  reste à être précis. Puisque tous les modules de la séquence originale sont réflexifs, l'équivalence réflexive et la dualité donnent un isomorphisme   et des isomorphismes similaires pour K et Ker α, qui impliquent l'exactitude de la séquence  0 → Hom(N ∗ , M∗ ) → Hom(N ∗ , K∗ ) → Hom(N ∗ ,(Ker α) ∗ ) → 0.  D'où le double morphisme  K∗ → (Kerα)∗  est une bonne (ajouter L ∗ )N∗ -approximation avec le noyau M∗ , qui prouve la première assertion. La deuxième affirmation découle d’un argument similaire.  Ce qui suit indique que l'échange d'une somme directe d'un module de modification donne un nouveau module de modification dans des situations intéressantes.      Lemme 2.10. Soit M ∈ ref R. L’équivalence suivante est vraie.  M ∈ CM R ⇐⇒ M∗ ∈ CM R  Preuve. On peut supposer que R est local. Puisque M est réflexif, il suffit de montrer la direction (⇒). Puisque R est Gorenstein, sa dimension injective est finie. Ainsi le résultat découle de [BH, Proposition 3.3.3 (b)].    Soit R un anneau normal de Gorenstein, et soit M, N ∈ ref R. Alors  Lemme 2.11.    . Il suffit de prouver la direction (⇒). Supposons que Hom(M, N) ∈ CM R. Alors le Lemme 2.10 implique que Hom(M, N) ∗ ∈ CM R. Mais d’après le Lemme [IW1, Lemme 2.9], il existe un isomorphisme Hom(M, N) ∗ ∼ = Hom(N, M), ce qui montre que Hom(N, M) ∈ CM R.  Preuve  La preuve pour le cas où m < 0 est similaire.   Remarque 2.13. Puisqu’une approximation droite n’est pas unique en général, la mutation droite/gauche ne l’est pas non plus. Cependant, la mutation droite/gauche est unique jusqu’à la fermeture additive [IW1, Lemme 6.2], et si R est local complet, les mutations minimales sont uniques jusqu’à l’isomorphisme.   Théorème 2.14 ([IW1, Proposition 6.5, Théorème 6.8, Théorème 6.10]). Soit M ∈ ref R un R-module modificateur.  2.3. Faisceaux basculants et mutations. Cette section traite de l'inclinaison des faisceaux sur des piles algébriques. Nous commençons par rappeler quelques faits de base sur les catégories dérivées des piles algébriques.   Cet article est   sous licence CC0 1.0 DEED. disponible sur arxiv

Part of HackerNoon's growing list of open-source research papers, promoting free access to academic material.

Read My Stories

Cutting-edge research & publications dedicated t0 eigenvector theory, shaping diverse science & technological fields.

Eigenvector's blog

Cet audio est produit dans la langue originale de l'histoire !

Mutations de résolutions crépantes non commutatives : Echanges & Mutations de modules modificateurs

About Author

COMMENTAIRES

ÉTIQUETTES

CET ARTICLE A ÉTÉ PARU DANS

Related Stories

Guide de l'architecte pour créer une architecture de référence pour un datalake IA/ML

Boostez votre productivité avec ces 18 outils de développement 🚀🔥

La fuite de l'invite du système Claude Sonnet 3.5 : une analyse médico-légale

Appuyez pour gagner : Telegram pourrait intégrer les 10 prochains milliards d'utilisateurs de crypto avant Solana

Guide de l'architecte pour créer une architecture de référence pour un datalake IA/ML

Boostez votre productivité avec ces 18 outils de développement 🚀🔥

La fuite de l'invite du système Claude Sonnet 3.5 : une analyse médico-légale

Appuyez pour gagner : Telegram pourrait intégrer les 10 prochains milliards d'utilisateurs de crypto avant Solana

Light-Mode

Classic

Newspaper

Minty

Dark-Mode

Neon Noir

Minty

HN StartUps