Yazarlar: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Özet Fiziksel hataların birikmesi , , mevcut kuantum bilgisayarlarında büyük ölçekli algoritmaların yürütülmesini engeller. Kuantum hata düzeltme mantıksal kübitleri daha büyük bir sayı olan fiziksel kübit üzerine kodlayarak, fiziksel hataların istenen bir hesaplamayı kabul edilebilir bir doğrulukla çalıştırmaya yetecek kadar bastırıldığı bir çözüm vaat eder. Kuantum hata düzeltme, fiziksel hata oranının, kuantum kodunun seçimine, sendrom ölçüm devresine ve kod çözme algoritmasına bağlı bir eşik değerinin altına düştüğünde pratik olarak gerçekleştirilebilir hale gelir . Düşük yoğunluklu eşlik kontrolü (LDPC) kodları ailesine dayanan hataya dayanıklı bellek uygulayan uçtan uca bir kuantum hata düzeltme protokolü sunuyoruz . Yaklaşımımız, standart devre tabanlı gürültü modeli için %0,7'lik bir hata eşiği elde eder, bu değer 20 yıldır hata eşiği açısından önde gelen kod olan yüzey kodu , , , ile eşdeğerdir. Uzunluk- koddaki sendrom ölçüm döngüsü, CNOT kapıları, kübit başlatma ve ölçümler içeren 8 derinliğinde bir devre ve yardımcı kübit gerektirir. Gereken kübit bağlantısı, iki kenar ayrık düzlemsel alt grafiklerden oluşan 6. dereceli bir grafiktir. Özellikle, fiziksel hata oranı %0,1 varsayıldığında, toplam 288 fiziksel kübit kullanarak 12 mantıksal kübitin neredeyse 1 milyon sendrom döngüsü boyunca korunabileceğini gösteriyoruz, oysa yüzey kodunun bu performansı elde etmesi için neredeyse 3.000 fiziksel kübit gerekeceği görülüyor. Bulgularımız, yakın vadeli kuantum işlemcilerin ulaşabileceği bir seviyede düşük maliyetli, hataya dayanıklı kuantum belleğin gösterimlerini mümkün kılmaktadır. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Ana Kuantum hesaplama, bilinen en iyi klasik algoritmalara kıyasla bir dizi hesaplama problemini asimptotik olarak daha hızlı çözme yeteneği nedeniyle dikkat çekmiştir . Ölçeklenebilir bir kuantum bilgisayarın çalışır durumda olmasının, bilimsel keşif, malzeme araştırması, kimya ve ilaç tasarımı gibi alanlarda hesaplama problemlerini çözmeye yardımcı olabileceğine inanılmaktadır , , , . 5 11 12 13 14 Bir kuantum bilgisayar inşa etmenin önündeki ana engel, çeşitli gürültü kaynaklarının etkilediği kuantum bilgisinin kırılganlığıdır. Bir kuantum bilgisayarın dış etkilerden izole edilmesi ve istenen bir hesaplamayı indüklemek için kontrol edilmesi çelişkili olduğundan, gürültü kaçınılmaz görünmektedir. Gürültü kaynakları arasında kübitlerdeki kusurlar, kullanılan malzemeler, kontrol donanımı, durum hazırlığı ve ölçüm hataları ile yerel insan yapımı, örneğin başıboş elektromanyetik alanlardan evrenin doğasında var olan kozmik ışınlara kadar çeşitli dış faktörler yer alır. Özet için bkz. ref. . Gürültü kaynaklarının bazıları daha iyi kontrolle , malzemelerle ve kalkanlama ile , , elimine edilebilirken, diğer birçok kaynak, eğer mümkünse bile, kaldırılamıyor gibi görünmektedir. Son tür, yakalanmış iyonlardaki kendiliğinden ve uyarılmış emisyonları , ve süperiletken devrelerdeki banyo ile etkileşimi (Purcell etkisi) içerebilir - her iki önde gelen kuantum teknolojisini de kapsar. Bu nedenle, hataya dayanıklılık, çalışan ölçeklenebilir bir kuantum bilgisayar inşa etmek için temel bir gereklilik haline gelir. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 Kuantum hataya dayanıklılığın olasılığı iyi kurulmuştur . Bir mantıksal kübiti birden çok fiziksel kübite fazlalıkla kodlamak, parite kontrol operatörlerinin sendromlarını tekrarlı olarak ölçerek hataları teşhis etmeyi ve düzeltmeyi sağlar. Ancak, hata düzeltme yalnızca donanım hata oranı, belirli bir hata düzeltme protokolüne bağlı belirli bir eşik değerinin altındaysa faydalıdır. Katlanmış kodlar , , gibi kuantum hata düzeltmesi için ilk öneriler, hata bastırmanın teorik olasılığını göstermeye odaklandı. Kuantum hata düzeltmesi anlayışı ve kuantum teknolojilerinin yetenekleri olgunlaştıkça, odak pratik kuantum hata düzeltme protokolleri bulmaya kaydı. Bu, yaklaşık %1'e yakın bir hata eşiği, hızlı kod çözme algoritmaları ve iki boyutlu (2D) kare kafes kübit bağlantısına dayanan mevcut kuantum işlemcilerle uyumluluk sunan yüzey kodunun , , , geliştirilmesiyle sonuçlandı. Tek bir mantıksal kübit ile yüzey kodunun küçük örnekleri zaten çeşitli gruplar tarafından deneysel olarak gösterilmiştir , , , , . Ancak, yüzey kodunun 100 veya daha fazla mantıksal kübite ölçeklendirilmesi, yetersiz kodlama verimliliği nedeniyle aşırı maliyetli olacaktır. Bu, düşük yoğunluklu eşlik kontrolü (LDPC) kodları olarak bilinen daha genel kuantum kodlarına olan ilgiyi artırdı . LDPC kodlarının incelenmesindeki son ilerlemeler, daha yüksek bir kodlama verimliliği ile kuantum hataya dayanıklılığı elde edebileceklerini göstermektedir . Burada, hedefimizin hem verimli hem de kuantum hesaplama teknolojilerinin sınırlamaları göz önüne alındığında pratikte gösterilebilen kuantum hata düzeltme kodları ve protokolleri bulmak olduğu için LDPC kodlarının incelenmesine odaklanıyoruz. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 Bir kuantum hata düzeltme kodu, her kontrol operatörü yalnızca birkaç kübiti etkiliyorsa ve her kübit yalnızca birkaç kontrol işlemine katılırsa LDPC tipi olarak kabul edilir. Son zamanlarda hiperbolik yüzey kodları , , , hipergraf çarpımı , dengeli çarpım kodları , sonlu gruplara dayalı iki bloklu kodlar , , , ve kuantum Tanner kodları , dahil olmak üzere birkaç LDPC kod varyantı yakın zamanda önerilmiştir. İkincisinin asimptotik olarak 'iyi' olduğu gösterilmiştir , anlamında sabit bir kodlama oranı ve doğrusal mesafe sunar: düzeltilebilen hataların sayısını ölçen bir parametre. Buna karşılık, yüzey kodunun asimptotik olarak sıfır bir kodlama oranı ve yalnızca karekök mesafesi vardır. Yüzey kodunun yüksek oranlı, yüksek mesafeli bir LDPC koduyla değiştirilmesi önemli pratik sonuçlar doğurabilir. İlk olarak, hataya dayanıklılık maliyeti (fiziksel ve mantıksal kübit sayısı arasındaki oran) önemli ölçüde azaltılabilir. İkinci olarak, yüksek mesafeli kodlar mantıksal hata oranında çok keskin bir azalma gösterir: fiziksel hata olasılığı eşik değerini aştığında, kod tarafından elde edilen hata bastırma miktarı, fiziksel hata oranındaki küçük bir azalmayla bile kat kat artabilir. Bu özellik, yüksek mesafeli LDPC kodlarını, muhtemelen eşik rejimine yakın çalışan yakın vadeli gösterimler için çekici kılar. Ancak daha önce, bellek, kapı ve durum hazırlığı ve ölçüm hatalarını içeren gerçekçi gürültü modelleri için yüzey kodunu geçmenin 10.000'den fazla fiziksel kübit içeren çok büyük LDPC kodları gerektirebileceği düşünülüyordu . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Burada, düşük derinlikte bir sendrom ölçüm devresi, verimli bir kod çözme algoritması ve bireysel mantıksal kübitlere adresleme için hataya dayanıklı bir protokol ile donatılmış birkaç yüz fiziksel kübite sahip yüksek oranlı LDPC kodlarının birkaç somut örneğini sunuyoruz. Bu kodlar %0,7 civarında bir hata eşiği gösterir, eşik rejiminde mükemmel performans gösterir ve yüzey koduna kıyasla kodlama maliyetinde 10 kat azalma sağlar. Hata düzeltme protokollerimizi gerçekleştirmek için gereken donanım gereksinimleri nispeten hafiftir, çünkü her fiziksel kübit yalnızca altı başka kübit ile iki-kübit kapılarıyla bağlanır. Kübit bağlantı grafiği 2D bir kafese yerel olarak yerleştirilemese de, iki kenar ayrık düzlemsel alt grafiklerden oluşan bir grafik olarak ayrıştırılabilir. Aşağıda tartıştığımız gibi, bu tür kübit bağlantısı süperiletken kübitlere dayalı mimariler için iyi uygundur. Kodlarımız, MacKay ve diğerlerinin önerdiği bisiklet kodlarının bir genellemesidir ve ref. , , daha derinlemesine incelenmiştir. Kodlarımızı ikili bisiklet (BB) olarak adlandırıyoruz çünkü yöntemlerde ayrıntılı olarak açıklandığı gibi ikili polinomlara dayanırlar. Bunlar, Pauli ve 'den oluşan altı-kübitlik kontrol (stabilizatör) operatörleri koleksiyonuyla tanımlanabilen Calderbank–Shor–Steane (CSS) tipi , stabilizatör kodlarıdır. Yüksek düzeyde, bir BB kodu iki boyutlu torik koduna benzer. Özellikle, bir BB kodunun fiziksel kübitleri periyodik sınır koşullarına sahip iki boyutlu bir kafes üzerine yerleştirilebilir, böylece tüm kontrol operatörleri kafesin yatay ve dikey kaymaları uygulayarak tek bir ve kontrol çiftinden elde edilir. Ancak, torik kodunu tanımlayan plaka ve köşe stabilizatörlerinin aksine, BB kodlarının kontrol operatörleri geometrik olarak yerel değildir. Ayrıca, her kontrol altı kübit yerine dört kübit üzerinde etki eder. Kodu, her tepe noktasının ya bir veri kübitini ya da bir kontrol operatörünü temsil ettiği bir Tanner grafiği ile tanımlayacağız. Bir kontrol tepe noktası ve bir veri tepe noktası , . kontrol operatörü . veri kübiti üzerinde (Pauli veya uygulayarak) önemsiz bir şekilde etkili olursa bir kenarla birbirine bağlanır. Sırasıyla yüzey ve BB kodlarının örnek Tanner grafikleri için Bkz. Şekil 1a,b. Herhangi bir BB kodunun Tanner grafiği 6. dereceden tepe noktasına ve 2'ye eşit grafik kalınlığına sahiptir, bu da onun iki kenar ayrık düzlemsel alt grafiğe ayrıştırılabileceği anlamına gelir (Yöntemler). Kalınlık-2 kübit bağlantısı, mikrodalga rezonatörleri tarafından bağlanan süperiletken kübitler için iyi uygundur. Örneğin, kaplinlerin iki düzlemsel katmanı ve kontrol hatları, kübitleri barındıran çipin üst ve alt tarafına takılabilir ve iki taraf eşleştirilebilir. 41 35 36 42 X Z 43 44 7 X Z G i j i j X Z 29 , Karşılaştırma için bir yüzey kodunun Tanner grafiği. , Bir torus içine yerleştirilmiş [] parametrelerine sahip bir BB kodunun Tanner grafiği. Tanner grafiğinin herhangi bir kenarı bir veri ve bir kontrol tepe noktasını bağlar. ( ) ve ( ) kayıtlarıyla ilişkili veri kübitleri mavi ve turuncu dairelerle gösterilir. Her tepe noktası, dört kısa menzilli kenara (kuzey, güney, doğu ve batıya bakan) ve iki uzun menzilli kenara sahip altı bitişik kenara sahiptir. Kalabalığı önlemek için yalnızca birkaç uzun menzilli kenarı gösteriyoruz. Kesikli ve düz çizgili kenarlar, Tanner grafiğini kapsayan iki düzlemsel alt grafiği gösterir, Yöntemler bölümüne bakınız. , 50 numaralı referansa göre ve ölçümü için bir Tanner grafiği uzantısının taslağı. ölçümüne karşılık gelen yardımcı, kuantum teleportasyon ve bazı mantıksal birimler aracılığıyla tüm mantıksal kübitler için yükleme-depolama işlemleri sağlayarak bir yüzey koduna bağlanabilir. Bu genişletilmiş Tanner grafiğinin, ve kenarları aracılığıyla kalınlık-2 mimarisinde bir uygulaması da vardır (Yöntemler). a b q L q R c A B Bir BB kodunun [[ , , ]] parametreleriyle, mantıksal kübiti veri kübitine kodlar ve en az veri kübitini kapsayan herhangi bir mantıksal hatayı temsil eden kod mesafesi sunar. veri kübitini /2'lik her biri ( ) ve ( ) kayıtlarına ayırırız. Her kontrol, ( )'den üç kübit ve ( )'den üç kübit üzerinde etki eder. Kod, hata sendromunu ölçmek için yardımcı kontrol kübitine dayanır. kontrol kübitini /2'lik ( ) ve ( ) kayıtlarına ayırırız, bunlar sırasıyla ve tiplerindeki sendromları toplar. Toplamda, kodlama 2 fiziksel kübite dayanır. Bu nedenle net kodlama oranı = /(2 )'dir. Örneğin, standart yüzey kodu mimarisi, mesafe- kod için =1 mantıksal kübitini = veri kübitine kodlar ve sendrom ölçümleri için -1 kontrol kübiti kullanır. Net kodlama oranı ≈ 1/(2 )'dir, bu da pratikte, örneğin fiziksel hataların eşiğe yakın olması nedeniyle büyük bir kod mesafesi seçilmeye zorlandığı için hızla pratik olmaktan çıkar. Buna karşılık, BB kodları kodlama oranı ≫ 1/ 'ye sahiptir, bkz. Tablo 1 kod örnekleri için. Bildiğimiz kadarıyla, Tablo 1'deki tüm kodlar yenidir. Mesafe-12 kodu [] yakın vadeli gösterimler için en umut verici olanı olabilir, çünkü hem büyük mesafeyi hem de yüksek net kodlama oranını =1/24'ü birleştirir. Karşılaştırma için, mesafe-11 yüzey kodunun net kodlama oranı =1/241'dir. Aşağıda, mesafe-12 BB kodunun, mesafe-11 yüzey kodundan deneysel olarak ilgili hata oranları aralığında daha iyi performans gösterdiğini gösteriyoruz. n k d k n d d n n q L q R q L q R n n n q X q Z X Z n r k n d k n d 2 n r d 2 r d 2 r r Hataların birikmesini önlemek için hata sendromunu yeterince sık ölçebilmek gerekir. Bu, her kontrol operatörünün destek alanındaki veri kübitlerini ilgili yardımcı kübit ile bir dizi CNOT kapısı aracılığıyla bağlayan bir sendrom ölçüm devresi ile gerçekleştirilir. Ardından, sendrom değerini ortaya çıkaran kontrol kübitleri ölçülür. Sendrom ölçüm devresini uygulamak için gereken süre, derinliğiyle orantılıdır: örtüşmeyen CNOT'lardan oluşan kapı katmanlarının sayısı. Sendrom ölçüm devresi uygulanırken yeni hatalar oluşmaya devam ettiğinden, derinliği en aza indirilmelidir. Bir BB kodu için sendrom ölçümünün tam döngüsü Şekil 2'de gösterilmiştir. Sendrom döngüsü, kod uzunluğundan bağımsız olarak yalnızca yedi CNOT katmanı gerektirir. Kontrol kübitleri sendrom döngüsünün başında ve sonunda başlatılır ve ölçülür (ayrıntılar için Yöntemler bölümüne bakınız). Devre, altta yatan kodun döngüsel kayma simetrisine uyar. Yedi CNOT katmanına dayanan tam sendrom ölçüm döngüsü. Devrenin yerel bir görünümünü sağlıyoruz, bu görünüm yalnızca her ( ) ve ( ) kaydından bir veri kübitini içerir. Devre, Tanner grafiğinin yatay ve dikey kaymaları altında simetriktir. Her veri kübiti, üç -kontrolü ve üç -kontrolü kübiti ile CNOT'lar aracılığıyla bağlanır: daha fazla ayrıntı için Yöntemler bölümüne bakınız. q L q R X Z Tam hata düzeltme protokolü, ≫ 1 sendrom ölçüm döngüsü gerçekleştirir ve ardından bir kod çözücü çağırır: girdisi ölçülen sendromlar ve veri kübitlerindeki son hataya dair bir tahmin olan klasik bir algoritma. Hata düzeltme, tahmin edilen ve gerçek hata, kontrol operatörlerinin çarpımına göre çakıştığında başarılı olur. Bu durumda, iki hata, kodlanmış (mantıksal) herhangi bir durum üzerinde aynı eylemi gerçekleştirir. Bu nedenle, tahmin edilen hatanın tersini uygulamak veri kübitlerini başlangıçtaki mantıksal duruma geri döndürür. Aksi takdirde, tahmin edilen ve gerçek hata anlamlı bir mantıksal operatörle farklılık gösterirse, hata düzeltme başarısız olur ve bir mantıksal hataya yol açar. Sayısal deneylerimiz, Panteleev ve Kalachev tarafından önerilen sıralı istatistik kod çözücülü (BP-OSD) güven yayılımına dayanmaktadır . Orijinal çalışma BP-OSD'yi yalnızca bellek hatalarını içeren bir oyuncak gürültü modeli bağlamında tanımlamıştır. Burada, BP-OSD'yi devre tabanlı gürültü modeline nasıl genişleteceğimizi gösteriyoruz, ayrıntılar için Ek Bilgiler bölümüne bakınız. Yaklaşımımız ref. , , , yakından takip etmektedir. N c 36 36 45 46 47 48 Sendrom ölçüm devresinin gürültülü bir versiyonu, boşta veri veya kontrol kübitlerindeki bellek hataları, hatalı CNOT kapıları, kübit başlatma ve ölçümler gibi çeşitli hatalı işlemleri içerebilir. Her işlemin olasılık ile bağımsız olarak başarısız olduğu devre tabanlı gürültü modelini dikkate alıyoruz. Mantıksal bir hata olasılığı , hata oranı 'ye, sendrom ölçüm devrelerinin ayrıntılarına ve kod çözme algoritmasına bağlıdır. sendrom döngüsü gerçekleştirildikten sonraki mantıksal hata olasılığını ( ) olarak tanımlayın. Mantıksal hata oranını olarak tanımlayın. Gayri resmi olarak, , sendrom döngüsü başına mantıksal hata olasılığı olarak görülebilir. Yaygın uygulamayı takip ederek, mesafe- kod için = seçiyoruz. Şekil 3, Tablo 1'deki kodlar tarafından elde edilen mantıksal hata oranını göstermektedir. Mantıksal hata oranı, ≥ 10 için sayısal olarak hesaplanmış ve uyum formülü ( ) kullanılarak daha düşük hata oranlarına ekstrapole edilmiştir. Sözde eşik , kırılma denklemi ( ) = * p 10 p L p N c P L N c p L p L d N c d p -3 Yöntemler p 0 p L p k p*'nin bir çözümü olarak tanımlanır. Burada * k p*, kodlanmamış kübitten en az birinin hata yapması olasılığının bir tahminidir. BB kodları, Tablo 1'de görüldüğü gibi, %0,7 civarında bir sözde eşik sunar ve bu, yüzey kodunun hata eşiğine neredeyse eşittir ve yazarların bildiği tüm yüksek oranlı LDPC kodlarının eşiğini aşar. k 49
