Мутации некоммутативных крепантных резолюций: Аннотация и введение

Таблица ссылок

• Аннотация и введение
• Обмены и мутации модифицирующих модулей
• Квазисимметричное представление и коэффициент GIT
• Основные результаты
• Приложения к полным пересечениям Калаби-Яу
• Приложение A. Матричные факторизации
• Приложение Б. Список обозначений
• Рекомендации

1. Введение

1.1. Фоны. Крепантное разрешение — одна из лучших модификаций особенностей. Это можно рассматривать как многомерный аналог минимального разрешения особенностей поверхности, а в терминологии теории минимальных моделей крепантное разрешение можно перефразировать как гладкую минимальную модель особенности.

В качестве некоммутативного аналога понятия крепантных резолюций Ван ден Берг ввел некоммутативные крепантные резольвенты (= NCCR) [Van2, Van3]. Как в коммутативном, так и в некоммутативном случаях существование такой резольвенты не всегда верно. Есть два больших класса особенностей, для которых изучение NCCR (и крепантного разрешения) хорошо изучено. Один из них — это класс факторособенностей, возникающих из квазисимметричных представлений редуктивных групп, который впервые был изучен в [SV1], а другой — класс (3-кратных) составных особенностей Дюваля, изученный в [Van1, Wem] . Чтобы исследовать последний класс, Ияма и Вемисс [IW1] ввели операцию, называемую мутацией, которая создает новый NCCR из исходного. Кавамате [Kaw] известно, что все минимальные модели (и, следовательно, все крепантные разрешения) связаны итерированными флопами, а мутации можно рассматривать как некоммутативный аналог флопов. Действительно, в [Wem] доказано, что производные эквивалентности, связанные с 3-кратными флопами, установленные в [Bri, Che], соответствуют производным эквивалентностям, связанным с мутациями NCCR. Эта интерпретация и метод мутаций NCCR обеспечивают основные ингредиенты для изучения условий устойчивости Бриджленда для 3-кратных флопов [HW1, HW2].

Основная цель этой статьи — импортировать такую технологию, установленную [IW1], для углубления изучения NCCR для факторособенностей, возникающих из квазисимметричных представлений, путем изучения комбинаторики, связанной с представлением, и путем доступа к идеям из [ ХСа, СВ1].

1.2. Обмены и мутации модифицирующих модулей. В настоящем разделе, разделе 1.3 и разделе 1.4 объясняется тема данной статьи, а также напоминаются некоторые термины, обозначения и известные результаты, которые необходимы для формулировки наших результатов. Точные формулировки основных результатов приведены в разделе 1.5.

Пусть R — нормальное равномерное горенштейново кольцо. Конечно порожденный рефлексивный R-модуль M называется модифицирующим, если кольцо эндоморфизмов EndR(M) является Коэном-Маколеем как R-модуль. Некоммутативная крепантная резольвента (=NCCR) кольца R — это кольцо эндоморфизмов Λ = EndR(M) некоторого модифицирующего R-модуля M такого, что глобальная размерность Λ конечна. Если EndR(M) является NCCR, мы говорим, что M дает NCCR. Ниже приводится одна из центральных проблем, связанных с NCCR.

Гипотеза 1.1 ([Ван2]). Пусть R — равномерное нормальное горенштейново кольцо. Тогда все крепантные разрешения и все NCCR R получаются эквивалентными. Что касается этой производной проблемы эквивалентности, Ияма и Вемис

Естественно задаться вопросом, связаны ли два данных NCCR (повторяющимися) мутациями или нет. Известно, что для многих типов особенностей их естественные NCCR действительно связаны мутациями [Har1, Har2, HN, Nak, SV5, Wem]. Одна из основных целей данной статьи — представить аналогичный результат для NCCR, связанных с фактором квазисимметричных представлений, которые упоминаются в следующем разделе.

будет построено, и использование этого дает

Ниже приводится наш основной результат.

Благодарности . WH хотел бы поблагодарить профессора Майкла Вемисса за обсуждения и комментарии. WH был поддержан грантом EPSRC EP/R034826/1 и грантом консолидатора ERC 101001227 (MMiMMa). YH был поддержан JSPS KAKENHI 19K14502.