Mutations de résolutions crépantes non commutatives : résumé et introduction

Tableau des liens

• Résumé et introduction
• Echanges et Mutations de modules modificateurs
• Représentation quasi-symétrique et quotient GIT
• Principaux résultats
• Applications aux intersections complètes Calabi-Yau
• Annexe A. Factorisations matricielles
• Annexe B. Liste des notations
• Les références

1. Introduction

1.1. Arrière-plans. Une résolution crépante est une des meilleures modifications des singularités. Cela peut être considéré comme un analogue dimensionnel supérieur des résolutions minimales des singularités de surface, et dans la terminologie de la théorie des modèles minimaux, une résolution crépante peut être paraphrasée comme un modèle minimal lisse de la singularité.

En tant qu'analogue non commutatif de la notion de résolutions crépantes, Van den Bergh a introduit les résolutions crépantes non commutatives (= NCCR) [Van2, Van3]. Dans les cas commutatifs et non commutatifs, l’existence d’une telle résolution n’est pas toujours vraie. Il existe deux grandes classes de singularités pour lesquelles l’étude des NCCR (et des résolutions crépantes) est bien établie. L'une est la classe des singularités de quotient issues de représentations quasi-symétriques de groupes réductifs, qui a été étudiée pour la première fois dans [SV1], et l'autre est la classe des singularités (3 fois) composées du Val, étudiées dans [Van1, Wem] . Pour étudier cette dernière classe, Iyama et Wemyss [IW1] ont introduit une opération appelée mutation, qui produit un nouveau NCCR à partir de l'original. Par Kawamata [Kaw], on sait que tous les modèles minimaux (et donc toutes les résolutions crépantes) sont reliés par des flops itérés, et que les mutations peuvent être considérées comme une contrepartie non commutative des flops. En effet, il est prouvé dans [Wem] que les équivalences dérivées associées aux triples flops, qui sont établies dans [Bri, Che], correspondent à des équivalences dérivées associées à des mutations de NCCR. Cette interprétation et la technique de mutations des NCCR fournissent les principaux ingrédients pour l'étude des conditions de stabilité de Bridgeland pour des flops triples [HW1, HW2].

L'objectif principal de cet article est d'importer une telle technologie établie par [IW1] pour approfondir l'étude des PRN pour les singularités quotientes issues de représentations quasi-symétriques, en étudiant la combinatoire associée à la représentation, et en accédant aux idées de [ HSa, SV1].

1.2. Echanges et mutations de modules modificateurs. La présente section, la section 1.3 et la section 1.4 expliquent le cadre de cet article et rappellent certaines terminologies, notations et résultats connus qui sont nécessaires pour énoncer nos résultats. Les énoncés précis des principaux résultats sont donnés dans la section 1.5.

Soit R un anneau de Gorenstein équidimensionnel normal. Un Rmodule réflexif de génération finie M est dit modificateur si l'anneau d'endomorphisme EndR(M) est Cohen-Macaulay en tant que R-module. Une résolution crépante non commutative (=NCCR) de R est l'anneau d'endomorphisme Λ = EndR(M) d'un R-module modificateur M tel que la dimension globale de Λ est finie. Si EndR(M) est un NCCR, on dit que M donne un NCCR. Voici l’un des problèmes centraux des PRN.

Conjecture 1.1 ([Van2]). Soit R un anneau de Gorenstein normal équidimensionnel. Alors toutes les résolutions crépantes et tous les NCCR de R sont dérivés équivalents. En relation avec ce problème d'équivalence dérivé, Iyama et Wemys

Il est naturel de se demander si deux PRN donnés sont liés ou non par des mutations (itérées). On sait que, pour de nombreux types de singularités, leurs NCCR naturels sont en réalité reliés par des mutations [Har1, Har2, HN, Nak, SV5, Wem]. L'un des principaux objectifs de cet article est de présenter un résultat similaire pour les PRN associés au quotient des représentations quasi-symétriques, qui sont rappelés dans la section suivante.

sera construit, et en utilisant cela donne

Ce qui suit est notre résultat principal.

Remerciements . WH souhaite remercier le professeur Michael Wemyss pour ses discussions et ses commentaires. WH a été soutenu par la subvention EPSRC EP/R034826/1 et par la subvention ERC Consolidator 101001227 (MMiMMa). YH était pris en charge par JSPS KAKENHI 19K14502.