Мутации некоммутативных крепантных резольвент: приложения к полным пересечениям Калаби-Яу

Таблица ссылок

• Аннотация и введение
• Обмены и мутации модифицирующих модулей
• Квазисимметричное представление и коэффициент GIT
• Основные результаты
• Приложения к полным пересечениям Калаби-Яу
• Приложение A. Матричные факторизации
• Приложение Б. Список обозначений
• Рекомендации

5. Приложения к полным пересечениям Калаби-Яу.

Следовательно, (5.А) и (5.Б) дают эквивалентность

Предложение 5.1. Ограничение (5.F

к волшебному окну и функтору (5.G)

являются эквивалентами.

Поскольку нижний функтор является эквивалентностью по теореме A.5, то же самое относится и к (5.G).

для производных факторизационных категорий является эквивалентностью по теореме A.5.

Следующее показывает, что эквивалентности волшебных окон, порождающих групповое действие (5.D), соответствуют функторам мутации между некоммутативными факторизациями матриц.

Доказательство . Мы лишь покажем, что левый квадрат коммутативен, поскольку коммутативность правого следует из аналогичного рассуждения. Рассмотрим следующую диаграмму

коммутирует, где вертикальные эквивалентности представляют собой композиции (5.C) и (5.H).

Лемма 5.5. Существует изоморфизм

где первый изоморфизм следует из леммы П.6. Это завершает доказательство.

Следующее является обобщением [КО, теорема 8.5], которое мы доказываем теми же рассуждениями, что и в лок. цит.

Лемма 5.6. Следующая диаграмма коммутирует.

Таким образом, достаточно показать, что существует естественный изоморфизм

По лемме 5.6 существует изоморфизм

Доказательство следствия 5.3. Для простоты напишите

Поэтому утверждение следует из теоремы 5.2.

[1] Хотя в [HSh] обсуждаются только комплексы, существуют аналогичные функторы и полуортогональные разложения для факторизации матриц по [BFK2], поэтому в наших условиях работает аналогичный аргумент, как в [HSh].