```html Auteurs: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Samenvatting De accumulatie van fysieke fouten , , verhindert de uitvoering van grootschalige algoritmen in de huidige kwantumcomputers. Kwantumfoutcorrectie belooft een oplossing door logische qubits te coderen naar een groter aantal fysieke qubits, zodanig dat de fysieke fouten voldoende worden onderdrukt om een gewenste berekening met acceptabele trouw uit te voeren. Kwantumfoutcorrectie wordt praktisch realiseerbaar zodra de fysieke foutenratio onder een drempelwaarde ligt die afhankelijk is van de keuze van de kwantumcode, het syndrome-meetcircuit en het decoderingsalgoritme . We presenteren een end-to-end kwantumfoutcorrectieprotocol dat fouttolerante geheugens implementeert op basis van een familie van low-density parity-check (LDPC) codes . Onze aanpak bereikt een foutdrempel van 0,7% voor het standaard circuit-gebaseerde ruismodel, vergelijkbaar met de oppervlaktecode , , , die gedurende 20 jaar de leidende code was qua foutdrempel. De syndrome-meetcyclus voor een lengte- code in onze familie vereist ancilla-qubits en een circuit met diepte 8 met CNOT-poorten, qubit-initialisaties en metingen. De vereiste qubit-connectiviteit is een graaf met graad 6, bestaande uit twee rand-disjuncte planaire subgraven. In het bijzonder laten we zien dat 12 logische qubits bijna 1 miljoen syndroomcycli kunnen worden behouden met in totaal 288 fysieke qubits, ervan uitgaande dat de fysieke foutenratio 0,1% bedraagt, terwijl de oppervlaktecode bijna 3.000 fysieke qubits zou vereisen om deze prestatie te bereiken. Onze bevindingen brengen demonstraties van kwantumgeheugen met lage overhead en fouttolerantie binnen bereik van kwantumprocessors van de nabije toekomst. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Hoofdtekst Kwantumcomputing trok de aandacht vanwege zijn vermogen om asymptotisch snellere oplossingen te bieden voor een reeks computationele problemen vergeleken met de best bekende klassieke algoritmen . Er wordt geloofd dat een functionerende schaalbare kwantumcomputer kan helpen bij het oplossen van computationele problemen op gebieden zoals wetenschappelijke ontdekkingen, materiaalonderzoek, chemie en medicijnontwerp, om er maar een paar te noemen , , , . 5 11 12 13 14 Het belangrijkste obstakel voor het bouwen van een kwantumcomputer is de fragiliteit van kwantuminformatie, vanwege diverse bronnen van ruis die deze beïnvloeden. Aangezien het isoleren van een kwantumcomputer van externe effecten en het controleren ervan om een gewenste berekening te induceren, met elkaar conflicteren, lijkt ruis onvermijdelijk. De ruisbronnen omvatten imperfecties in qubits, gebruikte materialen, besturingsapparatuur, fouten bij de voorbereiding van toestanden en metingen, en een verscheidenheid aan externe factoren, variërend van lokale door de mens veroorzaakte, zoals strooiende elektromagnetische velden, tot die inherent aan het Universum, zoals kosmische straling. Zie ref. voor een samenvatting. Hoewel sommige ruisbronnen kunnen worden geëlimineerd met betere controle , materialen en afscherming , , , lijken verschillende andere bronnen moeilijk, zo niet onmogelijk, te verwijderen. De laatstgenoemde kunnen spontane en gestimuleerde emissie in opgesloten ionen omvatten , , en de interactie met het bad (Purcell-effect) in supergeleidende circuits — wat beide leidende kwantumtechnologieën dekt. Foutcorrectie wordt dus een belangrijke vereiste voor het bouwen van een functionerende schaalbare kwantumcomputer. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 De mogelijkheid van kwantumfouttolerantie is goed ingeburgerd . Het coderen van een logische qubit redundant in vele fysieke qubits stelt een persoon in staat fouten te diagnosticeren en te corrigeren door herhaaldelijk syndromen van pariteitscontroleoperatoren te meten. Foutcorrectie is echter alleen gunstig als de hardwarefoutenratio onder een bepaalde drempelwaarde ligt die afhankelijk is van een specifiek foutcorrectieprotocol. De eerste voorstellen voor kwantumfoutcorrectie, zoals geconcateerde codes , , , richtten zich op het aantonen van de theoretische mogelijkheid van foutonderdrukking. Naarmate het begrip van kwantumfoutcorrectie en de mogelijkheden van kwantumtechnologieën volwassen werden, verschoof de focus naar het vinden van praktische kwantumfoutcorrectieprotocollen. Dit resulteerde in de ontwikkeling van de oppervlaktecode , , , die een hoge foutdrempel van bijna 1% biedt, snelle decoderingsalgoritmen en compatibiliteit met bestaande kwantumprocessors die afhankelijk zijn van tweedimensionale (2D) vierkante rooster-qubitconnectiviteit. Kleine voorbeelden van de oppervlaktecode met een enkele logische qubit zijn al experimenteel gedemonstreerd door verschillende groepen , , , , . Het opschalen van de oppervlaktecode naar 100 of meer logische qubits zou echter prohibitief duur zijn vanwege de slechte coderingsefficiëntie. Dit wakkerde interesse aan in meer algemene kwantumcodes, bekend als low-density parity-check (LDPC) codes . Recente vooruitgang in de studie van LDPC-codes suggereert dat ze kwantumfouttolerantie kunnen bereiken met een veel hogere coderingsefficiëntie . Hier richten we ons op de studie van LDPC-codes, aangezien ons doel is om kwantumfoutcorrectiecodes en -protocollen te vinden die zowel efficiënt zijn als praktisch demonstreerbaar, gezien de beperkingen van kwantumcomputatietechnologieën. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 Een kwantumfoutcorrigerende code is van het LDPC-type als elke controle-operator van de code slechts op enkele qubits werkt en elke qubit deelneemt aan slechts enkele controles. Verschillende varianten van LDPC-codes zijn onlangs voorgesteld, waaronder hyperbolische oppervlaktecodes , , , hypergraafproduct , gebalanceerde productcodes , tweeblocks codes gebaseerd op eindige groepen , , , en kwantum Tanner codes , . De laatstgenoemde zijn aangetoond , asymptotisch 'goed' te zijn in de zin dat ze een constante codering-rate en lineaire afstand bieden: een parameter die het aantal corrigeerbare fouten kwantificeert. Daarentegen heeft de oppervlaktecode een asymptotisch nul codering-rate en slechts vierkantswortelafstand. Het vervangen van de oppervlaktecode door een LDPC-code met hoge rate en hoge afstand kan grote praktische implicaties hebben. Ten eerste kan de overhead voor fouttolerantie (de verhouding tussen het aantal fysieke en logische qubits) aanzienlijk worden verminderd. Ten tweede vertonen codes met hoge afstand een zeer scherpe afname van de logische foutenrate: naarmate de fysieke foutenkans de drempelwaarde overschrijdt, kan de mate van foutonderdrukking die door de code wordt bereikt, met ordes van grootte toenemen, zelfs bij een kleine reductie van de fysieke foutenrate. Deze eigenschap maakt LDPC-codes met hoge afstand aantrekkelijk voor demonstraties op korte termijn die waarschijnlijk in het bijna-drempelregime zullen opereren. Echter, het werd eerder geloofd dat het overtreffen van de oppervlaktecode voor realistische ruismodellen, waaronder geheugen-, gate- en state-preparation-and-measurement-fouten, zeer grote LDPC-codes met meer dan 10.000 fysieke qubits zou kunnen vereisen . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Hier presenteren we verschillende concrete voorbeelden van LDPC-codes met hoge rate en een paar honderd fysieke qubits, uitgerust met een syndrome-meetcircuit met lage diepte, een efficiënt decoderingsalgoritme en een fouttolerant protocol voor het adresseren van individuele logische qubits. Deze codes vertonen een foutdrempel van bijna 0,7%, tonen uitstekende prestaties in het bijna-drempelregime en bieden een 10-voudige reductie van de codering-overhead vergeleken met de oppervlaktecode. Hardwarevereisten voor het realiseren van onze foutcorrectieprotocollen zijn relatief mild, aangezien elke fysieke qubit is gekoppeld door twee-qubit gates met slechts zes andere qubits. Hoewel de qubit-connectiviteitsgraaf niet lokaal in een 2D-rooster kan worden ingebed, kan deze worden ontleed in twee planaire subgraven van graad 3. Zoals we hieronder betogen, is een dergelijke qubit-connectiviteit zeer geschikt voor architecturen gebaseerd op supergeleidende qubits. Onze codes zijn een generalisatie van bicycle codes voorgesteld door MacKay et al. en dieper bestudeerd in refs. , , . We noemen onze codes bivariate bicycle (BB), omdat ze gebaseerd zijn op bivariate polynomen, zoals gedetailleerd beschreven in de . Dit zijn stabilisatorcodes van het Calderbank–Shor–Steane (CSS)-type , die kunnen worden beschreven door een verzameling van zes-qubit controle (stabilisator) operatoren bestaande uit Pauli en . Op hoog niveau lijkt een BB-code op de tweedimensionale toric code . In het bijzonder kunnen fysieke qubits van een BB-code worden geplaatst op een tweedimensionaal rooster met periodieke randvoorwaarden, zodat alle controleoperatoren worden verkregen uit een enkel paar en controles door horizontale en verticale verschuivingen van het rooster toe te passen. Echter, in tegenstelling tot de plaquette- en vertexstabilisatoren die de toric code beschrijven, zijn de controleoperatoren van BB-codes niet geometrisch lokaal. Bovendien werkt elke controle op zes qubits in plaats van vier qubits. We zullen de code beschrijven met een Tanner-graaf zodanig dat elke vertex van ofwel een data-qubit of een controle-operator vertegenwoordigt. Een controle-vertex en een data-vertex zijn verbonden door een rand als de -de controle-operator niet-triviaal werkt op de -de data-qubit (door Pauli of toe te passen). Zie Fig. voor voorbeeld-Tanner-grafen van oppervlakte- en BB-codes, respectievelijk. De Tanner-graaf van elke BB-code heeft een vertexgraad van zes en een grafiekdikte gelijk aan twee, wat betekent dat deze kan worden ontleed in twee rand-disjuncte planaire subgraven ( ). Dikte-2 qubit-connectiviteit is zeer geschikt voor supergeleidende qubits die worden gekoppeld door microgolfresonatoren. Twee planaire lagen van koppelaars en hun besturingslijnen kunnen bijvoorbeeld aan de boven- en onderkant van de chip met qubits worden bevestigd, en de twee zijden kunnen worden samengevoegd. 41 35 36 42 Methoden 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 Methoden , Tanner-graaf van een oppervlaktecode, ter vergelijking. , Tanner-graaf van een BB-code met parameters [[144, 12, 12]] ingebed in een torus. Elke rand van de Tanner-graaf verbindt een data- en een controle-vertex. Data-qubits geassocieerd met de registers ( ) en ( ) worden weergegeven door blauwe en oranje cirkels. Elke vertex heeft zes incidentele randen, waaronder vier korte-afstandsranden (wijzend naar noord, zuid, oost en west) en twee lange-afstandsranden. We tonen slechts enkele lange-afstandsranden om rommeligheid te voorkomen. Gestippelde en doorlopende randen geven twee planaire subgraven aan die de Tanner-graaf bestrijken, zie de . , Schematische weergave van een Tanner-graafuitbreiding voor het meten van en volgens ref. , die aansluit op een oppervlaktecode. De ancilla die overeenkomt met de meting kan worden verbonden met een oppervlaktecode, waardoor load-store operaties voor alle logische qubits mogelijk worden gemaakt door middel van kwantumteleportatie en enkele logische unitaire transformaties. Deze uitgebreide Tanner-graaf heeft ook een implementatie in een dikte-2 architectuur via de en randen ( ). a b q L q R Methoden c 50 A B Methoden Een BB-code met parameters [[ , , ]] codeert logische qubits in data-qubits met een codestafstand , wat betekent dat elke logische fout ten minste data-qubits omvat. We verdelen data-qubits in registers ( ) en ( ) van elk /2 groot. Elke controle werkt op drie qubits uit ( ) en drie qubits uit ( ). De code vertrouwt op ancilla-controle-qubits om het foutsyndroom te meten. We verdelen controle-qubits in registers ( ) en ( ) van elk /2 groot die respectievelijk syndromen van het type en verzamelen. In totaal is de codering afhankelijk van 2 fysieke qubits. De netto codering-rate is dus = /(2 ). De standaard oppervlaktecode-architectuur codeert bijvoorbeeld = 1 logische qubit in = data-qubits voor een code met afstand en gebruikt − 1 controle-qubits voor syndroommetingen. De netto codering-rate is ≈ 1/(2 ), wat snel onpraktisch wordt naarmate men gedwongen wordt een grote codestafstand te kiezen, bijvoorbeeld vanwege fysieke fouten die dicht bij de drempelwaarde liggen. Daarentegen hebben BB-codes een codering-rate ≫ 1/ , zie Tabel voor codevoorbeelden. Voor zover wij weten, zijn alle codes in Tabel nieuw. De code met afstand 12 [[144, 12, 12]] is mogelijk de meest veelbelovende voor demonstraties op korte termijn, aangezien deze een grote afstand combineert met een hoge netto codering-rate = 1/24. Ter vergelijking, de oppervlaktecode met afstand 11 heeft een netto codering-rate = 1/241. Hieronder laten we zien dat de BB-code met afstand 12 beter presteert dan de oppervlaktecode met afstand 11 voor het experimenteel relevante bereik van foutenrates. n k d k n d d n q L q R n q L q R n n q X q Z n X Z n r k n k n d 2 d n r d 2 r d 2 1 1 r r Om de accumulatie van fouten te voorkomen, moet het mogelijk zijn om het foutsyndroom vaak genoeg te meten. Dit wordt bereikt door een syndroom-meetcircuit dat data-qubits in de ondersteuning van elke controle-operator koppelt met de respectievelijke ancilla-qubit via een reeks CNOT-poorten. Controle-qubits worden vervolgens gemeten, waardoor de waarde van het foutsyndroom wordt onthuld. De tijd die nodig is om het syndroom-meetcircuit te implementeren is evenredig met de diepte ervan: het aantal poortlagen bestaande uit niet-overlappende CNOTs. Aangezien er voortdurend nieuwe fouten optreden terwijl het syndroom-meetcircuit wordt uitgevoerd, moet de diepte ervan worden geminimaliseerd. De volledige cyclus van syndroommeting voor een BB-code wordt geïllustreerd in Fig. . De syndroomcyclus vereist slechts zeven lagen CNOTs, ongeacht de codelengte. De controle-qubits worden geïnitialiseerd en gemeten aan het begin en aan het einde van de syndroomcyclus respectievelijk (zie de voor details). Het circuit respecteert de cyclische verschuivingssymmetrie van de onderliggende code. 2 Methoden Volledige cyclus van syndroommetingen met zeven lagen CNOTs. We geven een lokaal beeld van het circuit dat slechts één data-qubit uit elk register ( ) en ( ) bevat. Het circuit is symmetrisch onder horizontale en verticale verschuivingen van de Tanner-graaf. Elke data-qubit is gekoppeld via CNOTs met drie *X-*controle- en drie *Z-*controle-qubits: zie de voor meer details. q L q R Methoden Het volledige foutcorrectieprotocol voert c ≫ 1 syndroommetingscycli uit en roept vervolgens een decoder aan: een klassiek algoritme dat als invoer de gemeten syndromen neemt en een schatting van de uiteindelijke fout op de data-qubits produceert. Foutcorrectie slaagt als de geschatte en de werkelijke fout overeenkomen modulo een product van controleoperatoren. In dit geval hebben de twee fouten dezelfde werking op elke gecodeerde (logische) toestand. Het toepassen van de inverse van de geschatte fout brengt de data-qubits dus terug naar de oorspronkelijke logische toestand. Anders, als de geschatte en de werkelijke fout verschillen door een niet-triviale logische operator, mislukt de foutcorrectie, wat resulteert in een logische fout. Onze numerieke experimenten zijn gebaseerd op belief propagation met een ordered statistics decoder (BP-OSD) voorgesteld door Panteleev en Kalachev . Het originele werk beschreef BP-OSD in de context van een speelgoed-ruismodel met alleen geheugenfouten. Hier laten we zien hoe BP-OSD kan worden uitgebreid naar het circuit-gebaseerde ruismodModel, zie de voor details. Onze aanpak volgt nauwkeurig refs. , , , N 36 36 Supplementary Information 45 46 47
