```html Authors: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Abstract Ny fanangonana ireo hadisoana ara-batana , , dia manakana ny fanatanterahana ny kajy lehibe amin'ny solosaina quantum ankehitriny. Ny fanitsiana hadisoana amin'ny quantum dia mampanantena vahaolana amin'ny alalan'ny fandefasana logical qubits ho an'ny isan'ny qubits ara-batana lehibe kokoa, ka ny hadisoana ara-batana dia voatsindry tsara mba hahafahana mihazakazaka ny kajy irina miaraka amin'ny fahatokiana azo ekena. Ny fanitsiana hadisoana amin'ny quantum dia tonga azo atao rehefa ny tahan'ny hadisoana ara-batana dia ambany kokoa noho ny sandan'ny tanteraka izay miankina amin'ny fisafidianana ny kaody quantum, ny circuitry fandrefesana ny mari-pamantarana ary ny algoritma decoding . Manolotra protocol fanitsiana hadisoana quantum manontolo izahay izay mampita fahatsiarovana azo itokisana amin'ny fototra amin'ny fianakaviana codes parity-check ambany hakitroky (low-density parity-check codes) . Ny fomba fiasanay dia mahatratra ny tanteraky ny hadisoana 0,7% ho an'ny modely tabataba mifototra amin'ny circuitry mahazatra, mifanaraka amin'ny surface code , , , izay nandritra ny 20 taona no nahazo ny kaody voalohany momba ny tanteraky ny hadisoana. Ny tsingerin'ny fandrefesana ny mari-pamantarana ho an'ny kaody lava amin'ny fianakaviantsika dia mitaky ancillary qubits sy circuitry misy halavany 8 miaraka amin'ny CNOT gates, fanombohana qubit ary fandrefesana. Ny fifandraisana qubit takiana dia graph misy mari-baraka 6 noforonin'ny subgraphs roa tsy miankina amin'ny sisiny. Amin'ny fomba manokana, mampiseho izahay fa ny 12 logical qubits dia azo tehirizina mandritra ny tsingerin'ny mari-pamantarana manodidina ny 1 tapitrisa amin'ny fampiasana 288 physical qubits amin'ny fitambarany, raha toa ka ny tahan'ny hadisoana ara-batana dia 0,1%, raha ny surface code kosa dia mitaky qubits ara-batana manodidina ny 3.000 mba hahatratra izany fampisehoana izany. Ny zavatra hitanay dia mitondra fampisehoana ny fahatsiarovana quantum azo itokisana amin'ny fandaniana ambany eo am-pelatanan'ny processeur quantum akaiky. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Main Ny computing quantum dia nahasarika ny saina noho ny fahaizany manome vahaolana haingana kokoa ho an'ny vondron'olona kajy raha oharina amin'ny algoritma tsara indrindra fantatra ho an'ny solosaina classical . Mino fa ny solosaina quantum azo ampidirina amin'ny fomba mahomby dia afaka manampy amin'ny famahana ny olana momba ny kajy amin'ny sehatra toy ny fikarohana siantifika, fikarohana momba ny fitaovana, simia ary famolavolana fanafody, ankoatra ny hafa , , , . 5 11 12 13 14 Ny sakana lehibe amin'ny fananganana solosaina quantum dia ny fahasimbana ny fampahalalana quantum, vokatry ny loharanom-pahalala isan-karazany misy fiatraikany. Satria mifanolana ny famahana ny solosaina quantum amin'ny fiantraikany ivelany sy ny fanaraha-maso azy mba hamporisihana ny kajy irina, ny tabataba dia toa tsy azo sakanana. Ny loharanom-pahalala dia ahitana ny tsy fetezan'ny qubits, ny fitaovana ampiasaina, ny fitaovana fanaraha-maso, ny fanombohana fanjakana sy ny fandrefesana ary ny fiantraikany ivelany isan-karazany manomboka amin'ny olombelona eo an-toerana, toy ny fiantraikany elektromagnetika, ka hatramin'ny zavatra rehetra ao amin'ny Universe, toy ny taratra kosmik. Jereo ny ref. ho an'ny famintinana. Raha ny sasany amin'ireo loharanom-pahalala dia azo esorina amin'ny fanaraha-maso tsara kokoa , fitaovana sy fiarovana , , , ny hafa indray dia toa sarotra raha tsy hoe tsy azo atao mihitsy ny manala azy. Ny karazana farany dia mety ahitana ny fandrosoana spontaneous sy stimulated amin'ny ions voasambotra , , sy ny fifandraisana amin'ny fandroana (Purcell effect) amin'ny circuits superconducting—manarona ny teknolojia quantum roa mitarika. Noho izany, ny fanitsiana hadisoana dia lasa fepetra manan-danja amin'ny fananganana solosaina quantum azo ampidirina amin'ny fomba mahomby. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 Ny fahafahana mahomby amin'ny fahombiazana amin'ny quantum dia efa voaporofo tsara . Ny fandefasana logical qubit redundantly amin'ny qubits ara-batana maro dia ahafahana mamantatra sy manitsy ny hadisoana amin'ny alalan'ny fandrefesana tsy tapaka ny famantarana ny operators parity-check. Na izany aza, ny fanitsiana hadisoana dia mahasoa ihany raha ny tahan'ny hadisoana hardware dia ambany kokoa noho ny sandan'ny tanteraka sasany izay miankina amin'ny protocol fanitsiana hadisoana manokana. Ireo tolo-kevitra voalohany momba ny fanitsiana hadisoana quantum, toy ny concatenated codes , , , dia nifantoka tamin'ny fampisehoana ny fahafahana ara-teorika amin'ny famahana ny hadisoana. Rehefa niroborobo ny fahatakarana ny fanitsiana hadisoana quantum sy ny fahaizan'ny teknolojia quantum, ny fifantohana dia nifindra tamin'ny fitadiavana protocols fanitsiana hadisoana quantum azo ampiharina. Izany dia nitondra tamin'ny fampandrosoana ny surface code , , , izay manolotra tanteraky ny hadisoana avo akaikin'ny 1%, algoritma decoding haingana ary mifanaraka amin'ny processeur quantum efa misy miantehitra amin'ny fifandraisana qubit amin'ny endrika 2D (lattice) . Ny ohatra kely amin'ny surface code miaraka amin'ny logical qubit tokana dia efa naseho tamin'ny fomba fanandramana nataon'ny vondrona maro , , , , . Na izany aza, ny fampiakarana ny surface code ho an'ny 100 na mihoatra logical qubits dia ho lafo be noho ny fahombiazan'ny fandefasana tsy ampy. Izany dia nahasarika ny fahalianana amin'ny kaody quantum ankapobeny kokoa fantatra amin'ny anarana hoe low-density parity-check (LDPC) codes . Ny fandrosoana vao haingana teo amin'ny fandalinana ny LDPC codes dia manoro hevitra fa afaka mahatsapa fahombiazana quantum miaraka amin'ny fahombiazan'ny fandefasana ambony kokoa izy ireo . Eto, mifantoka amin'ny fandalinana ny LDPC codes izahay, satria ny tanjonay dia ny hitady kaody sy protocols fanitsiana hadisoana quantum izay samy mahomby sy azo aseho amin'ny fampiharana, miaraka amin'ny fetran'ny teknolojia computing quantum. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 Ny kaody fanitsiana hadisoana quantum dia karazana LDPC raha toa ka ny operator tsirairay amin'ny kaody dia mihatra amin'ny qubits vitsivitsy ihany ary ny qubit tsirairay dia mandray anjara amin'ny fanaraha-maso vitsivitsy ihany. Ny variants maro amin'ny LDPC codes dia natolotra vao haingana ahitana hyperbolic surface codes , , , hypergraph product , balanced product codes , two-block codes mifototra amin'ny finite groups , , , sy quantum Tanner codes , . Ireto farany dia naseho , ho tena 'tsara' amin'ny fomba fampitana ny tahan'ny fandefasana tsy miova sy ny halavirana tsipika: sandan'ny parametre mamaritra ny isan'ny hadisoana azo amboarina. Mifanohitra amin'izany, ny surface code dia manana tahan'ny fandefasana tsy miova ho aotra ary ny halavirana fotsiny dia ny faka efatra. Ny fanoloana ny surface code tamin'ny kaody LDPC avo lenta sy lava dia mety hanana fiantraikany lehibe amin'ny fampiharana. Voalohany, ny fandaniana ny fahombiazana (ny tahan'ny qubits ara-batana sy logical) dia azo ahena be. Faharoa, ny kaody lava dia mampiseho fihenana tsara amin'ny tahan'ny hadisoana logical: rehefa ny mety hisian'ny hadisoana ara-batana dia miampita ny sandan'ny tanteraka, ny habetsahan'ny famahana hadisoana azon'ny kaody dia mety hitombo imbetsaka na dia miaraka amin'ny fihenana kely amin'ny tahan'ny hadisoana ara-batana aza. Ity endri-javatra ity dia mahatonga ny LDPC codes lava ho manintona ho an'ny fampisehoana akaiky izay mety hiasa eo amin'ny fari-potoanan'ny tanteraka. Na izany aza, nino teo aloha fa ny fahombiazana ny surface code ho an'ny modely tabataba azo ampiharina ahitana hadisoana fahatsiarovana, fihetsehana ary fanombohana sy fandrefesana dia mety mitaky kaody LDPC lehibe be miaraka amin'ny qubits ara-batana mihoatra ny 10.000 . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Eto izahay dia manolotra ohatra maromaro momba ny kaody LDPC avo lenta miaraka amin'ny qubits ara-batana vitsivitsy zato izay misy circuitry fandrefesana mari-pamantarana ambany halavany, algoritma decoding mahomby ary protocol azo itokisana hanatsiarovana ny qubits logical tsirairay. Ireo kaody ireo dia mampiseho tanteraky ny hadisoana akaiky 0,7%, mampiseho fahombiazana tsara eo amin'ny fari-potoanan'ny tanteraka ary manolotra fihenana 10 heny amin'ny fandaniana fandefasana raha oharina amin'ny surface code. Ny fepetra takiana amin'ny hardware mba hamahana ny protocola fanitsiana hadisoana dia somary malemy, satria ny qubit ara-batana tsirairay dia mifandray amin'ny gates roa qubit miaraka amin'ny qubits enina hafa. Na dia tsy azo ampidirina an-toerana amin'ny 2D grid aza ny graph fifandraisana qubit, dia azo zaraina ho subgraphs roa tsy miankina amin'ny sisiny (planars). Araka ny voalazantsika eto ambany, ny fifandraisana qubit toy izany dia mety tsara ho an'ny fanorenana mifototra amin'ny qubits superconducting. Ny kaodinay dia fanitarana ny bicycle codes natolotry ny MacKay et al. sy nandalina lalindalina kokoa tao amin'ny ref. , , . Nomenay anarana hoe bivariate bicycle (BB) ny kaodinay satria mifototra amin'ny polynomials bivariate izy ireo, araka ny voalaza amin'ny antsipiriany ao amin'ny . Ireo dia stabilizer codes amin'ny karazana Calderbank–Shor–Steane (CSS) , izay azo faritana amin'ny famoriam-boloan'ny check (stabilizer) operators enina qubits vita amin'ny Pauli sy . Amin'ny ankapobeny, ny BB code dia mitovy amin'ny 2D toric code . Amin'ny fomba manokana, ny qubits ara-batana amin'ny BB code dia azo ampidirina amin'ny 2D grid miaraka amin'ny periodic boundary conditions ka ny operators rehetra dia azo avy amin'ny mpivady iray ihany sy checks amin'ny alalan'ny fampiharana ny fihetsehana horizontal sy vertical amin'ny grid. Na izany aza, mifanohitra amin'ny plaquette sy vertex stabilizers izay mamariparitana ny toric code, ny check operators amin'ny BB codes dia tsy eo an-toerana ara-jeometrika. Fanampin'izany, ny check tsirairay dia mihatra amin'ny qubits enina fa tsy qubits efatra. Hazavarinay ny kaody amin'ny alalan'ny Tanner graph ka ny vertices tsirairay amin'ny dia maneho na qubit data na check operator. Ny check vertex sy ny data vertex dia mifandray amin'ny sisiny iray raha toa ny -th check operator dia mihatra tsy miova amin'ny -th data qubit (amin'ny fampiharana Pauli na ). Jereo ny Fig. ho an'ny ohatra Tanner graphs amin'ny surface sy BB codes. Ny Tanner graph an'ny BB code rehetra dia manana mari-baraka 6 ary ny hatevin'ny graph mifandraika amin'ny roa, izay midika fa azo zaraina ho subgraphs roa tsy miankina amin'ny sisiny (planars) ( ). Ny fifandraisana qubit misy halavany 2 dia mety tsara amin'ny qubits superconducting mifandray amin'ny resonator microwave. Ohatra, ny sosona roa tsy miankina amin'ny sisiny amin'ny couplers sy ny tsipiky ny fanaraha-maso azy dia azo ampifandraisina amin'ny lafiny ambony sy ambany amin'ny chip mitazona ny qubits, ary ny roa tonta dia natambatra. 41 35 36 42 Methods 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 Methods , Tanner graph of a surface code, for comparison. , Tanner graph of a BB code with parameters [[144, 12, 12]] embedded into a torus. Any edge of the Tanner graph connects a data and a check vertex. Data qubits associated with the registers ( ) and ( ) are shown by blue and orange circles. Each vertex has six incident edges including four short-range edges (pointing north, south, east and west) and two long-range edges. We only show a few long-range edges to avoid clutter. Dashed and solid edges indicate two planar subgraphs spanning the Tanner graph, see the . , Sketch of a Tanner graph extension for measuring and following ref. , attaching to a surface code. The ancilla corresponding to the measurement can be connected to a surface code, enabling load-store operations for all logical qubits by means of quantum teleportation and some logical unitaries. This extended Tanner graph also has an implementation in a thickness-2 architecture through the and edges ( ). a b q L q R Methods c 50 A B Methods Ny BB code misy parametre [[ , , ]] dia mandefa logical qubits ho an'ny data qubits manolotra halavirana kaody , midika izany fa ny hadisoana logical rehetra dia mandrakotra farafahakeliny data qubits. Zarainay data qubits ho amin'ny rejisitra ( ) sy ( ) miisa /2 tsirairay. Ny check tsirairay dia mihatra amin'ny qubits telo avy amin'ny ( ) sy telo avy amin'ny ( ). Ny kaody dia miantehitra amin'ny ancillary check qubits handrefesana ny mari-pamantarana hadisoana. Zarainay check qubits ho amin'ny rejisitra ( ) sy ( ) miisa /2 izay manangona mari-pamantarana karazana sy , tsirairay avy. Amin'ny ankapobeny, ny fandefasana dia miantehitra amin'ny 2 physical qubits. Ny tahan'ny fandefasana net dia = /(2 ). Ohatra, ny fanorenana surface code mahazatra dia mandefa = 1 logical qubit ho an'ny = 2 data qubits ho an'ny kaody halavany- ary mampiasa − 1 check qubits ho an'ny fandrefesana mari-pamantarana. Ny tahan'ny fandefasana net dia ≈ 1/(2 2), izay lasa tsy azo atao haingana rehefa voatery misafidy halavany kaody lehibe, vokatry ny, ohatra, ny hadisoana ara-batana dia akaiky ny sandan'ny tanteraka. Mifanohitra amin'izany kosa, ny BB codes dia manana tahan'ny fandefasana ≫ 1/ 2, jereo ny Table ho an'ny ohatra kaody. Raha ny fahalalanay, ny kaody rehetra aseho ao amin'ny Table dia vaovao. Ny kaody [[144, 12, 12]] misy halavany 12 dia mety ho mahasoa indrindra amin'ny fampisehoana akaiky, satria mitambatra ny halavany lehibe sy ny tahan'ny fandefasana net avo = 1/24. Ho fampitahana, ny surface code misy halavany 11 dia manana tahan'ny fandefasana net = 1/241. Etsy ambany, mampiseho izahay fa ny BB code misy halavany 12 dia mahomby kokoa noho ny surface code misy halavany 11 ho an'ny faritry ny tahan'ny hadisoana izay mahakasika ny fanandramana. n k d k n d d n q L q R n q L q R n n q X q Z n X Z n r k n k n d d n r d r d 1 1 r r Mba hisorohana ny fanangonana hadisoana dia tsy maintsy afaka mandrefy ny mari-pamantarana hadisoana ampy matetika. Izany dia tanterahana amin'ny alalan'ny circuitry fandrefesana mari-pamantarana izay mampifandray ny qubits data ao amin'ny fananana ny check operator tsirairay miaraka amin'ny ancillary qubit mifanaraka aminy amin'ny alalan'ny filaharana ny CNOT gates. Ny qubits check dia refesina avy eo, manambara ny sandan'ny mari-pamantarana hadisoana. Ny fotoana ilaina mba hamahana ny circuitry fandrefesana mari-pamantarana dia mifanaraka amin'ny halavany: ny isan'ny sosona miara-mampiasa CNOTs tsy mifampitady. Satria mitohy ny hadisoana vaovao raha ny circuitry fandrefesana mari-pamantarana no vita, ny halavany dia tokony ho kely indrindra. Ny tsingerin'ny fandrefesana mari-pamantarana feno ho an'ny BB code dia aseho amin'ny Fig. . Ny tsingerin'ny mari-pamantarana dia mitaky fito sos 2
