```html 著者: セルゲイ・ブラヴィ アンドリュー・W・クロス ジェイ・M・ガンベッタ ドミトリ・マスロフ パトリック・ラール セオドア・J・ヨーダー 要旨 物理的なエラーの蓄積 , , は、現在の量子コンピュータにおける大規模アルゴリズムの実行を妨げています。量子誤り訂正 は、 個の論理量子ビットをより多数の物理量子ビット にエンコードすることで、物理的なエラーを許容可能な忠実度で目的の計算を実行するのに十分なほど抑制することを約束し、解決策を約束します。量子誤り訂正は、物理的なエラー率が、量子コード、症候群測定回路、およびデコーディングアルゴリズムの選択に依存するしきい値値を下回ると、実用的に実現可能になります 。我々は、低密度パリティチェックコードのファミリー に基づいて、耐障害性メモリを実装するエンドツーエンドの量子誤り訂正プロトコルを提示します。我々のアプローチは、標準的な回路ベースのノイズモデルに対して0.7%のエラーしきい値を達成しており、これは、20年間エラーしきい値の点で主要なコードであったサーフェスコード , , , に匹敵します。我々のファミリーの長さ コードの症候群測定サイクルには、 個の補助量子ビットと、CNOTゲート、量子ビット初期化、および測定で構成される深さ8の回路が必要です。必要な量子ビット接続性は、2つの辺互いに素な平面部分グラフで構成される次数6のグラフです。特に、物理エラー率が0.1%であると仮定すると、288個の物理量子ビット全体で12個の論理量子ビットを約100万回の症候群サイクルにわたって保持できることを示しますが、サーフェスコードはこのパフォーマンスを達成するには約3,000個の物理量子ビットが必要になります。我々の発見は、低オーバーヘッドの耐障害性量子メモリのデモンストレーションを、近接量子プロセッサの範囲内に置きます。 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n メイン 量子コンピューティングは、既知の最高の古典的アルゴリズムと比較して、計算問題のセットに対して漸近的に高速なソリューションを提供する能力により、注目を集めています 。機能するスケーラブルな量子コンピュータは、科学的発見、材料研究、化学、および医薬品設計などの分野での計算問題の解決に役立つと考えられています , , , 。 5 11 12 13 14 量子コンピュータ構築における主な障害は、さまざまなノイズ源の影響を受ける量子情報の脆弱性です。量子コンピュータを外部効果から隔離し、望ましい計算を誘導するために制御することは互いに相反するため、ノイズは避けられないようです。ノイズ源には、量子ビットの不完全性、使用される材料、制御装置、状態準備および測定エラー、および局所的な人為的なもの（迷走電磁場など）から、宇宙線のような宇宙に固有のものまで、さまざまな外部要因が含まれます。参考文献を参照してください。 の概要。一部のノイズ源は、より良い制御 、材料 、およびシールド , , で排除できますが、他の多くのソースは、排除できるとしても困難であるようです。後者の種類には、トラップイオン , における自発的および誘起放出、および超伝導回路 >における浴との相互作用（パーセル効果）が含まれ、これら両方の主要な量子技術をカバーしています。したがって、エラー訂正は、機能するスケーラブルな量子コンピュータを構築するための重要な要件となります。 15 16 17 18 19 20 1 2 3 量子耐障害性の可能性はよく確立されています 。論理量子ビットを多数の物理量子ビットに冗長にエンコードすることにより、パリティチェック演算子の症候群を繰り返し測定することでエラーを診断および訂正できます。ただし、エラー訂正は、ハードウェアエラー率が特定の誤り訂正プロトコルに依存する特定のしきい値値を下回っている場合にのみ有益です。連結コード , , >などの最初の量子誤り訂正の提案は、エラー抑制の理論的可能性を実証することに焦点を当てました。量子誤り訂正の理解と量子技術の能力が成熟するにつれて、焦点は実用的な量子誤り訂正プロトコルの発見に移りました。これにより、エラーしきい値が1%近く、高速なデコードアルゴリズム、および2次元（2D）正方形格子量子ビット接続性に依存する既存の量子プロセッサとの互換性を提供するサーフェスコード , , , >の開発につながりました。1つの論理量子ビットを持つサーフェスコードの小さな例は、すでにいくつかのグループによって実験的に実証されています , , , , 。しかし、サーフェスコードを100個以上の論理量子ビットにスケールアップすることは、エンコーディング効率が低いため、法外に高価になります。これが、低密度パリティチェック（LDPC）コードとして知られる、より一般的な量子コード >への関心を刺激しました。LDPCコードの研究における最近の進歩は、それらがはるかに高いエンコーディング効率で量子耐障害性を達成できることを示唆しています 。ここでは、LDPCコードの研究に焦点を当てています。なぜなら、私たちの目標は、量子コンピューティング技術の制限を考慮して、効率的かつ実践的に実証可能な量子誤り訂正コードとプロトコルを見つけることだからです。 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 量子誤り訂正コードは、各チェック演算子が少数の量子ビットにのみ作用し、各量子ビットが少数しかチェックに参加しない場合、LDPCタイプです。最近、双曲線サーフェスコード , , >、ハイパーグラフ積 >、平衡積コード >、有限群に基づく2ブロックコード , , , >、および量子タンナーコード , >を含む、LDPCコードのいくつかのバリエーションが最近提案されています。後者は、一定のエンコーディングレートと線形距離（訂正可能なエラーの数を定量化するパラメータ）を提供するという意味で、漸近的に「良好」であることが示されています , 。対照的に、サーフェスコードは漸近的にゼロのエンコーディングレートと平方根距離しか持ちません。サーフェスコードを、高レートで高距離のLDPCコードに置き換えることは、実用的に大きな影響を与える可能性があります。第一に、耐障害性オーバーヘッド（物理量子ビットと論理量子ビットの数の比率）を大幅に削減できます。第二に、高距離コードは論理エラー率の非常に急激な減少を示します。物理エラー確率がしきい値値を超えると、コードによって達成されるエラー抑制の量は、物理エラー率のわずかな削減でも桁違いに増加する可能性があります。この機能により、高距離LDPCコードは、しきい値近傍のレジームで動作する可能性が高い近接デモンストレーションにとって魅力的になります。ただし、メモリ、ゲート、状態準備、および測定エラーを含む現実的なノイズモデルでサーフェスコードを上回るには、10,000個を超える物理量子ビットを持つ非常に大きなLDPCコードが必要になる場合があると以前は考えられていました 。 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 ここでは、低深さの症候群測定回路、効率的なデコーディングアルゴリズム、および個々の論理量子ビットをアドレスするための耐障害性プロトコルを備えた、数百個の物理量子ビットを持ついくつかの具体的な高レートLDPCコードの例を提示します。これらのコードは、0.7%に近いエラーしきい値を示し、しきい値近傍で優れたパフォーマンスを発揮し、サーフェスコードと比較してエンコーディングオーバーヘッドを10倍削減します。我々誤り訂正プロトコルを実現するためのハードウェア要件は比較的穏やかであり、各物理量子ビットは6つの他の量子ビットとのみ2量子ビットゲートで結合されています。量子ビット接続性グラフは2Dグリッドに局所的に埋め込むことはできませんが、2つの辺互いに素な平面部分グラフに分解できます。以下で議論するように、このような量子ビット接続性は、超伝導量子ビットに基づくアーキテクチャに適しています。 私たちのコードは、MacKayらによって提案された自転車コード >の一般化であり、参考文献 , , >でより深く研究されています。それらは二変量多項式に基づいているため、私たちのコードを二変量自転車（BB）と名付けました。これは、 で詳しく説明されています。これらは、1対のパウリ と >で構成される6量子ビットチェック（安定化子）演算子のコレクションによって記述できる、Calderbank–Shor–Steane（CSS）タイプ , >の安定化子コードです。大まかに言えば、BBコードは2次元トーリックコード >に似ています。特に、BBコードの物理量子ビットは、周期境界条件を持つ2次元グリッド上に配置でき、すべてのチェック演算子は、グリッドの水平および垂直シフトを適用することによって、1対の >および >チェックから取得されます。ただし、トーリックコードを記述するプレケットおよび頂点安定化子とは対照的に、BBコードのチェック演算子は幾何学的に局所的ではありません。さらに、各チェックは4つの量子ビットではなく6つの量子ビットに作用します。タナーグラフ >を使用してコードを記述します。ここで、 >の各頂点は、データ量子ビットまたはチェック演算子のいずれかを表します。チェック頂点 >とデータ頂点 >は、 番目のチェック演算子が 番目のデータ量子ビットに（パウリ >または >を適用することにより）非自明に作用する場合、エッジで接続されます。それぞれサーフェスコードとBBコードの例のタナーグラフについては、図 を参照してください。任意のBBコードのタナーグラフは頂点次数6、グラフ厚さ >は2であるため、2つの辺互いに素な平面部分グラフに分解できます（ ）。厚さ2の量子ビット接続性は、マイクロ波共振器で結合された超伝導量子ビットに適しています。たとえば、カプラーとそれらの制御線の2つの平面層を、量子ビットをホストするチップの上下に配置し、2つの側面を接合できます。 41 35 36 42 方法 X Z 43 44 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 方法 、比較のためのサーフェスコードのタナーグラフ。 、トーラスに埋め込まれたパラメータ[[144、12、12]]を持つBBコードのタナーグラフ。タナーグラフのエッジは、データ頂点とチェック頂点を接続します。レジスタ ( )および ( )に関連付けられたデータ量子ビットは、青とオレンジの円で示されています。各頂点は、4つの短距離エッジ（北、南、東、西を指す）と2つの長距離エッジを含む6つのエッジを持っています。混乱を避けるため、長距離エッジはわずかしか示されていません。点線と実線のエッジは、タナーグラフをスパンする2つの平面部分グラフを示しており、 >を参照してください。 、図 >に従って、 >および >を測定するためのタナーグラフ拡張のスケッチ。補助量子ビットは、量子テレポートといくつかの論理単位を介して、すべての論理量子ビットのロードストア操作を可能にする、 >測定に対応しており、サーフェスコードに接続できます。この拡張タナーグラフは、 >と >エッジ（ ）を介して厚さ2アーキテクチャでも実装できます。 a b q L q R 方法 c 50 X Z X A B 方法 パラメータ[[ 、 、 ]]を持つBBコードは、コード距離 >を提供する >個のデータ量子ビットに >個の論理量子ビットをエンコードします。これは、任意の論理エラーが少なくとも >個のデータ量子ビットをカバーすることを意味します。 >個のデータ量子ビットをサイズ /2のレジスタ ( )と ( )に分割します。各チェックは ( )の3つの量子ビットと ( )の3つの量子ビットに作用します。このコードは、エラー症候群を測定するための >個の補助チェック量子ビットに依存します。 >個のチェック量子ビットをサイズ /2のレジスタ ( )と ( )に分割し、それぞれ >および >タイプの症候群を収集します。合計で、エンコーディングは2 >個の物理量子ビットに依存します。したがって、正味エンコーディングレートは = /(2 )です。たとえば、標準的なサーフェスコードアーキテクチャは、距離 >コードの場合、 = 2 データ量子ビットに = 1論理量子ビットをエンコードし、症候群測定に -1チェック量子ビットを使用します。正味エンコーディングレートは ≈ 1/(2 2)であり、たとえば大きなコード距離を選択する必要があるため、すぐに非実用的になります。物理エラーがしきい値値に近い場合などです。対照的に、BBコードのエンコーディングレートは ≫ 1/ 2 >であり、コード例については表 >を参照してください。我々の知る限り、表 >に示されているすべてのコードは新しいものです。距離12のコード[[144、12、12]]は、近接デモンストレーションにとって最も有望である可能性があります。なぜなら、それは大きな距離と高い正味エンコーディングレート = 1/24 >を組み合わせているからです。比較のために、距離11のサーフェスコードの正味エンコーディングレートは = 1/241 >です。以下では、距離12のBBコードが、実験的に関連のあるエラー率範囲で、距離11のサーフェスコードを上回ることを示します。 n k d d n k d n n q L q R q L q R n n n q X q Z X Z n r k n d n d k n r d r d 1 1 r r エラーの蓄積を防ぐためには、エラー症候群を十分に頻繁に測定できる必要があります。これは、各チェック演算子のサポート内のデータ量子ビットを、一連のCNOTゲートで対応する補助量子ビットに結合する症候群測定回路によって達成されます。その後、チェック量子ビットが測定され、エラー症候群の値が明らかになります。症候群測定回路を実装するのにかかる時間は、その深さ、つまり非重複CNOTで構成されるゲート層の数に比例します。症候群測定回路が実行されている間、新しいエラーが発生し続けるため、その深さは最小限に抑える必要があります。BBコードの完全な症候群測定サイクルは、図 >に示されています。症候群サイクルは、コード長に関係なく、7層のCNOTのみを必要とします。チェック量子ビットは、症候群サイクルの開始時と終了時に初期化および測定されます（詳細については、 >を参照してください）。回路は、基盤となるコードの巡回シフト対称性を尊重します。 2 方法 7層のCNOTに依存する症候群測定の完全なサイクル。各レジスタ ( )および ( )から1つのデータ量子ビットのみを含む局所的なビューを提供します。回路は、タナーグラフの水平および垂直シフトに対して対称です。各データ量子ビットは、3つの*X*チェック量子ビットと3つの*Z*チェック量子ビットとCNOTで結合されています。詳細については、 >を参照してください。 q L q R 方法 完全な誤り訂正プロトコルは、 c ≫ 1回の症候群測定サイクルを実行し、その後デコーダを呼び出します。デコーダは、測定された症候群を入力として受け取り、データ量子ビットの最終的なエラーの推測を出力する古典的アルゴリズムです。誤り訂正は、推測されたエラーと実際の（実際の）エラーがチェック演算子の積 modulo で一致する場合に成功します。この場合、2つのエラーは、エンコードされた（論理）状態に対して同じアクションを実行します。したがって、推測されたエラーの逆を適用すると、データ量子ビットは最初の論理状態に戻ります。それ以外の場合、推測されたエラーと実際のエラーが非自明な論理演算子によって異なる場合、誤り訂正は失敗し、論理エラーが発生します。私たちの数値実験は、PanteleevとKalachev >によって提案された順序統計デコーダ（BP-OSD）による信念伝播に基づいています。元の作業 >は、メモリエラーのみの玩具ノイズモデルのコンテキストでBP-OSDを記述しました。ここでは、BP-OSDを回路ベースのノイズモデルに拡張する方法を示します（詳細については、 >を参照）。私たちの方法は、参考文献 , , , >に密接に従っています。 N 36 36 補足情報 45 46 47 48 症候群測定回路のノイズのあるバージョンには、アイドル状態のデータまたはチェック量子ビットでのメモリエラー、誤ったCNOTゲート、量子ビット初期化、および測定など、いくつかの種類の誤った操作が含まれる場合があります。各操作が確率 >で独立に失敗する回路ベースのノイズモデル >を検討します。論理エラー L >の確率は、エラー率 >、症候群測定回路の詳細、およびデコードアルゴリズムに依存します。 >回の症候群サイクルを実行した後の論理エラー確率を L( c)とします。論理エラー率を次のように定義します。 . 便宜上、 L >は、症候群サイクルあたりの論理エラー確率と見なすことができます。一般的な慣習に従い、距離 >コードの場合は c = >を選択します。図 >は、表 >のコードによって達成される論理エラー率を示しています。論理エラー率は、 ≥ 10−3 >に対して数値的に計算され、フィッティング式（ ）を使用して低エラー率に外挿されました。疑似しきい値 0 >は、ブレークイーブン方程式 L( ) = >の解として定義されます。ここで、 >は、 >個のエンコードされていない量子ビットの少なくとも1つがエラーを受ける確率の推定値です。BBコードは、表 >に示すように、0.7%に近い疑似しきい値を提供します。これは、サーフェスコード p 10 p p Nc P N p d N d 3 1 p 方法 p p p kp kp k 1
