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 Autori: 
 
 
 
 
 
 
 Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Abstract L'accumulo di errori fisici , ,  impedisce l'esecuzione di algoritmi su larga scala negli attuali computer quantistici. La correzione degli errori quantistici  promette una soluzione codificando   qubit logici in un numero maggiore   di qubit fisici, in modo tale che gli errori fisici siano sufficientemente soppressi da consentire l'esecuzione di un calcolo desiderato con fedeltà tollerabile. La correzione degli errori quantistici diventa praticamente realizzabile una volta che il tasso di errore fisico è inferiore a un valore di soglia che dipende dalla scelta del codice quantistico, del circuito di misurazione della sindrome e dell'algoritmo di decodifica . Presentiamo un protocollo di correzione degli errori quantistici end-to-end che implementa una memoria fault-tolerant basata su una famiglia di codici low-density parity-check . Il nostro approccio raggiunge una soglia di errore dello 0,7% per il modello di rumore standard basato su circuiti, alla pari con il codice di superficie , , ,  che per 20 anni è stato il codice leader in termini di soglia di errore. Il ciclo di misurazione della sindrome per un codice di lunghezza   nella nostra famiglia richiede   qubit ausiliari e un circuito di profondità 8 con porte CNOT, inizializzazioni e misurazioni di qubit. La connettività dei qubit richiesta è un grafo di grado 6 composto da due sottografi planari disgiunti. In particolare, dimostriamo che 12 qubit logici possono essere preservati per quasi 1 milione di cicli di sindrome utilizzando un totale di 288 qubit fisici, assumendo un tasso di errore fisico dello 0,1%, mentre il codice di superficie richiederebbe quasi 3.000 qubit fisici per ottenere tali prestazioni. I nostri risultati avvicinano le dimostrazioni di una memoria quantistica fault-tolerant a basso overhead alla portata dei processori quantistici a breve termine. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Principale Il calcolo quantistico ha attirato l'attenzione grazie alla sua capacità di offrire soluzioni asintoticamente più veloci a un insieme di problemi computazionali rispetto ai migliori algoritmi classici conosciuti . Si ritiene che un computer quantistico scalabile funzionante possa aiutare a risolvere problemi computazionali in aree come la scoperta scientifica, la ricerca sui materiali, la chimica e la progettazione di farmaci, solo per citarne alcuni , , , . 5 11 12 13 14 L'ostacolo principale alla costruzione di un computer quantistico è la fragilità dell'informazione quantistica, a causa di varie fonti di rumore che la influenzano. Poiché isolare un computer quantistico dagli effetti esterni e controllarlo per indurre un calcolo desiderato sono in conflitto tra loro, il rumore sembra inevitabile. Le fonti di rumore includono imperfezioni nei qubit, nei materiali utilizzati, negli apparati di controllo, negli errori di preparazione e misurazione dello stato e una varietà di fattori esterni che vanno da quelli artificiali locali, come i campi elettromagnetici vaganti, a quelli inerenti all'Universo, come i raggi cosmici. Vedere ref.   per un riassunto. Mentre alcune fonti di rumore possono essere eliminate con un migliore controllo , materiali  e schermature , , , diverse altre fonti sembrano difficili, se non impossibili, da rimuovere. Quest'ultimo tipo può includere l'emissione spontanea e stimolata negli ioni intrappolati , , e l'interazione con il bagno (effetto Purcell)  nei circuiti superconduttori, coprendo entrambe le tecnologie quantistiche principali. Pertanto, la correzione degli errori diventa un requisito chiave per costruire un computer quantistico scalabile funzionante. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 La possibilità di fault tolerance quantistica è ben consolidata . La codifica di un qubit logico in modo ridondante in molti qubit fisici consente di diagnosticare e correggere gli errori misurando ripetutamente le sindromi degli operatori di parità. Tuttavia, la correzione degli errori è vantaggiosa solo se il tasso di errore hardware è inferiore a un certo valore di soglia che dipende da un particolare protocollo di correzione degli errori. Le prime proposte per la correzione degli errori quantistici, come i codici concatenati , , , si sono concentrate sulla dimostrazione della possibilità teorica di soppressione degli errori. Con l'avanzare della comprensione della correzione degli errori quantistici e delle capacità delle tecnologie quantistiche, l'attenzione si è spostata sulla ricerca di protocolli di correzione degli errori quantistici pratici. Ciò ha portato allo sviluppo del codice di superficie , , ,  che offre un'alta soglia di errore vicina all'1%, algoritmi di decodifica veloci e compatibilità con i processori quantistici esistenti che si basano sulla connettività dei qubit a reticolo quadrato bidimensionale (2D). Piccoli esempi del codice di superficie con un singolo qubit logico sono già stati dimostrati sperimentalmente da diversi gruppi , , , , . Tuttavia, l'aumento di scala del codice di superficie a 100 o più qubit logici sarebbe proibitivo a causa della sua scarsa efficienza di codifica. Ciò ha stimolato l'interesse per codici quantistici più generali noti come codici low-density parity-check (LDPC) . I recenti progressi nello studio dei codici LDPC suggeriscono che possono raggiungere la fault tolerance quantistica con un'efficienza di codifica molto più elevata . Qui, ci concentriamo sullo studio dei codici LDPC, poiché il nostro obiettivo è trovare codici e protocolli di correzione degli errori quantistici che siano sia efficienti sia possibili da dimostrare in pratica, date le limitazioni delle tecnologie di calcolo quantistico. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 Un codice di correzione degli errori quantistici è di tipo LDPC se ogni operatore di controllo del codice agisce solo su pochi qubit e ogni qubit partecipa a pochi controlli. Diverse varianti dei codici LDPC sono state proposte di recente, tra cui codici di superficie iperbolici , , , prodotto di ipergrafi , codici a prodotto bilanciato , codici a doppio blocco basati su gruppi finiti , , ,  e codici di Tanner quantistici , . Questi ultimi sono stati dimostrati ,  essere asintoticamente "buoni" nel senso di offrire un tasso di codifica costante e una distanza lineare: un parametro che quantifica il numero di errori correggibili. Al contrario, il codice di superficie ha un tasso di codifica asintoticamente nullo e solo una distanza pari alla radice quadrata. La sostituzione del codice di superficie con un codice LDPC ad alto tasso e alta distanza potrebbe avere importanti implicazioni pratiche. In primo luogo, l'overhead di fault tolerance (il rapporto tra il numero di qubit fisici e logici) potrebbe essere notevolmente ridotto. In secondo luogo, i codici ad alta distanza mostrano una diminuzione molto netta del tasso di errore logico: quando la probabilità di errore fisico attraversa il valore di soglia, la quantità di soppressione dell'errore ottenuta dal codice può aumentare di ordini di grandezza anche con una piccola riduzione del tasso di errore fisico. Questa caratteristica rende i codici LDPC ad alta distanza attraenti per dimostrazioni a breve termine che probabilmente opereranno nel regime vicino alla soglia. Tuttavia, si riteneva in precedenza che superare il codice di superficie per modelli di rumore realistici, inclusi gli errori di memoria, di gate e di preparazione e misurazione dello stato, potesse richiedere codici LDPC molto grandi con oltre 10.000 qubit fisici . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Qui presentiamo diversi esempi concreti di codici LDPC ad alto tasso con poche centinaia di qubit fisici dotati di un circuito di misurazione della sindrome a bassa profondità, un algoritmo di decodifica efficiente e un protocollo fault-tolerant per indirizzare singoli qubit logici. Questi codici mostrano una soglia di errore vicina allo 0,7%, prestazioni eccellenti nel regime vicino alla soglia e offrono una riduzione di 10 volte dell'overhead di codifica rispetto al codice di superficie. I requisiti hardware per realizzare i nostri protocolli di correzione degli errori sono relativamente modesti, poiché ogni qubit fisico è accoppiato da gate a due qubit con solo altri sei qubit. Sebbene il grafo di connettività dei qubit non sia localmente incorporabile in una griglia 2D, può essere decomposto in due sottografi planari di grado 3. Come sosteniamo di seguito, tale connettività dei qubit è ben adatta per architetture basate su qubit superconduttori. I nostri codici sono una generalizzazione dei codici bicicletta proposti da MacKay et al.  e studiati in modo più approfondito nei ref.  , , . Abbiamo chiamato i nostri codici bicicletta bivariata (BB) perché si basano su polinomi bivariati, come dettagliato nei  . Questi sono codici stabilizzatori di tipo Calderbank–Shor–Steane (CSS) ,  che possono essere descritti da una collezione di operatori di controllo a sei qubit (stabilizzatori) composti da Pauli   e  . A un alto livello, un codice BB è simile al codice torico bidimensionale . In particolare, i qubit fisici di un codice BB possono essere disposti su una griglia bidimensionale con condizioni al contorno periodiche tali che tutti gli operatori di controllo siano ottenuti da una singola coppia di controlli   e   applicando traslazioni orizzontali e verticali della griglia. Tuttavia, a differenza degli stabilizzatori di plaquette e vertice che descrivono il codice torico, gli operatori di controllo dei codici BB non sono geometricamente locali. Inoltre, ogni controllo agisce su sei qubit anziché quattro. Descriveremo il codice tramite un grafo di Tanner   tale che ogni vertice di   rappresenta un qubit di dati o un operatore di controllo. Un vertice di controllo   e un vertice di dati   sono collegati da un arco se l'  -esimo operatore di controllo agisce in modo non banale sull'  -esimo qubit di dati (applicando Pauli   o  ). Vedere Fig.   per esempi di grafi di Tanner di codici di superficie e BB, rispettivamente. Il grafo di Tanner di qualsiasi codice BB ha un grado di vertice di sei e uno spessore del grafo  uguale a due, il che significa che può essere decomposto in due sottografi planari disgiunti ( ). La connettività dei qubit di spessore 2 è ben adatta per i qubit superconduttori accoppiati da risonatori a microonde. Ad esempio, due strati planari di accoppiatori e le loro linee di controllo possono essere attaccati alla parte superiore e inferiore del chip che ospita i qubit, e i due lati uniti. 41 35 36 42 Metodi 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 Metodi   , Grafo di Tanner di un codice di superficie, a confronto.  , Grafo di Tanner di un codice BB con parametri [[144, 12, 12]] incorporato in un toro. Qualsiasi arco del grafo di Tanner collega un vertice di dati e uno di controllo. I qubit di dati associati ai registri  ( ) e  ( ) sono mostrati da cerchi blu e arancioni. Ogni vertice ha sei archi incidenti, inclusi quattro archi a corto raggio (puntano a nord, sud, est e ovest) e due archi a lungo raggio. Mostriamo solo alcuni archi a lungo raggio per evitare confusione. Gli archi tratteggiati e pieni indicano due sottografi planari che coprono il grafo di Tanner, vedere i  .  , Schema di un'estensione del grafo di Tanner per la misurazione di  e  seguendo il ref.  , collegandosi a un codice di superficie. L'ausiliario corrispondente alla misurazione  può essere collegato a un codice di superficie, consentendo operazioni di caricamento-memorizzazione per tutti i qubit logici tramite teletrasporto quantistico e alcune unitarie logiche. a b q L q R Metodi c 50 Un codice BB con parametri [[ ,  ,  ]] codifica   qubit logici in   qubit di dati offrendo una distanza del codice  , il che significa che ogni errore logico copre almeno   qubit di dati. Dividiamo   qubit di dati in registri  ( ) e  ( ) di dimensione  /2 ciascuno. Ogni controllo agisce su tre qubit da  ( ) e tre qubit da  ( ). Il codice si basa su   qubit di controllo ausiliari per misurare la sindrome di errore. Dividiamo   qubit di controllo in registri  ( ) e  ( ) di dimensione  /2 che raccolgono le sindromi di tipo   e  , rispettivamente. In totale, la codifica si basa su 2  qubit fisici. Il tasso di codifica netto è quindi   =  /(2 ). Ad esempio, l'architettura standard del codice di superficie codifica   = 1 qubit logico in   =   qubit di dati per un codice di distanza   e utilizza   - 1 qubit di controllo per le misurazioni della sindrome. Il tasso di codifica netto è   ≈ 1/(2 ), che diventa rapidamente impraticabile poiché si è costretti a scegliere una grande distanza del codice, a causa, ad esempio, del fatto che gli errori fisici sono vicini al valore di soglia. Al contrario, i codici BB hanno un tasso di codifica   ≫ 1/ , vedere Tabella   per esempi di codici. Per quanto ne sappiamo, tutti i codici mostrati nella Tabella   sono nuovi. Il codice di distanza 12 [[144, 12, 12]] potrebbe essere il più promettente per le dimostrazioni a breve termine, poiché combina una grande distanza e un alto tasso di codifica netto   = 1/24. Per confronto, il codice di superficie di distanza 11 ha un tasso di codifica netto   = 1/241. Di seguito, dimostriamo che il codice BB di distanza 12 supera il codice di superficie di distanza 11 nell'intervallo di tassi di errore rilevanti sperimentalmente. n k d k n d d n q L q R n q L q R n n q X q Z n X Z n r k n k n d 2 d n r d 2 r d 2 1 1 r r Per prevenire l'accumulo di errori, è necessario essere in grado di misurare la sindrome di errore abbastanza frequentemente. Ciò si ottiene tramite un circuito di misurazione della sindrome che accoppia i qubit di dati nel supporto di ciascun operatore di controllo con il rispettivo qubit ausiliario tramite una sequenza di porte CNOT. I qubit di controllo vengono quindi misurati rivelando il valore della sindrome di errore. Il tempo necessario per implementare il circuito di misurazione della sindrome è proporzionale alla sua profondità: il numero di strati di gate composti da CNOT non sovrapposti. Poiché continuano a verificarsi nuovi errori durante l'esecuzione del circuito di misurazione della sindrome, la sua profondità dovrebbe essere minimizzata. L'intero ciclo di misurazione della sindrome per un codice BB è illustrato nella Fig.  . Il ciclo di sindrome richiede solo sette strati di CNOT indipendentemente dalla lunghezza del codice. I qubit di controllo vengono inizializzati e misurati rispettivamente all'inizio e alla fine del ciclo di sindrome (vedere i   per i dettagli). Il circuito rispetta la simmetria ciclica di spostamento del codice sottostante. 2 Metodi   Ciclo completo di misurazioni della sindrome basato su sette strati di CNOT. Forniamo una vista locale del circuito che include solo un qubit di dati da ciascun registro  ( ) e  ( ). Il circuito è simmetrico rispetto agli spostamenti orizzontali e verticali del grafo di Tanner. Ogni qubit di dati è accoppiato da CNOT con tre qubit di controllo X e tre qubit di controllo Z: vedere i   per maggiori dettagli. q L q R Metodi Il protocollo completo di correzione degli errori esegue   ≫ 1 cicli di misurazione della sindrome e quindi chiama un decoder: un algoritmo classico che prende in input le sindromi misurate e restituisce un'ipotesi sull'errore finale sui qubit di dati. La correzione degli errori ha successo se l'errore ipotizzato e quello effettivo coincidono modulo un prodotto di operatori di controllo. In tal caso, i due errori hanno la stessa azione su qualsiasi stato codificato (logico). Pertanto, applicare l'inverso dell'errore ipotizzato riporta i qubit di dati allo stato logico iniziale. Altrimenti, se l'errore ipotizzato e quello effettivo differiscono per un operatore logico non banale, la correzione degli errori fallisce causando un errore logico. I nostri esperimenti numerici si basano sulla propagazione di credenza con un decoder a statistiche ordinate (BP-OSD) proposto da Panteleev e Kalachev . Il lavoro originale  ha descritto BP-OSD nel contesto di un modello di rumore giocattolo con solo errori di memoria. Qui mostriamo come estendere BP-OSD al modello di rumore basato su circuiti, vedere le   per i dettagli. Il nostro approccio segue da vicino i ref.  , , , . N c 36 36 Informazioni Supplementari 45 46 47 48 Una versione rumorosa del circuito di misurazione della sindrome può includere diversi tipi di operazioni difettose come errori di memoria su qubit di dati o di controllo inattivi, porte CNOT difettose, inizializzazioni e misurazioni di qubit. Consideriamo il modello di rumore basato su circuiti  in cui ogni operazione fallisce indipendentemente con probabilità  . La probabilità di un errore logico   dipende dal tasso di errore  , dai dettagli dei circuiti di misurazione della sindrome e dall'algoritmo di decodifica. Sia  ( ) la probabilità di errore logico dopo aver eseguito   cicli di sindrome. Definiamo il tasso di errore logico come  . Informalmente,   può essere visto come la probabilità di errore logico per ciclo di sindrome. Seguendo la pratica comune, scegliamo   =    per un codice di distanza  . La Figura   mostra il tasso di errore logico ottenuto dai codici della Tabella  10 p p L p P L N c N c p L N c d d 3

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