Autori: Sergej Bravyi Endrju V. Kros Džej M. Gambeta Dmitrij Maslov Patrik Ral Teodor J. Joder Rezime Akumulacija fizičkih grešaka , , onemogućava izvršavanje velikih algoritama na trenutnim kvantnim računarima. Kvantna korekcija grešaka obećava rešenje kodiranjem logičkih kvantnih bitova u veći broj fizičkih kvantnih bitova, tako da se fizičke greške potiskuju dovoljno da bi se omogućilo izvođenje željenog izračunavanja sa podnošljivom preciznošću. Kvantna korekcija grešaka postaje praktično ostvariva kada je stopa fizičkih grešaka ispod granične vrednosti koja zavisi od izbora kvantnog koda, kruga za merenje sindroma i algoritma za dekodiranje . Predstavljamo end-to-end protokol kvantne korekcije grešaka koji implementira tolerantnu memoriju na osnovu porodice kodova sa niskom gustinom provere parnosti . Naš pristup postiže prag greške od 0,7% za standardni model buke zasnovan na kolima, uporedivo sa površinskim kodom , , , koji je 20 godina bio vodeći kod u pogledu praga greške. Ciklus merenja sindroma za kod dužine u našoj porodici zahteva pomoćnih kvantnih bitova i kolo dubine 8 sa CNOT kapijama, inicijalizacijom kvantnih bitova i merenjima. Potrebna konektivnost kvantnih bitova je graf stepena 6 sastavljen od dva planarna podgrafa koja se ne preklapaju. Konkretno, pokazujemo da se 12 logičkih kvantnih bitova može očuvati skoro 1 milion ciklusa sindroma koristeći ukupno 288 fizičkih kvantnih bitova, pod pretpostavkom da je stopa fizičkih grešaka 0,1%, dok bi površinski kod zahtevao skoro 3.000 fizičkih kvantnih bitova da bi postigao pomenute performanse. Naši nalazi približavaju demonstracije tolerantne kvantne memorije sa niskim troškovima kvantnim procesorima bliske budućnosti. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Glavni deo Kvantno računarstvo je privuklo pažnju zbog svoje sposobnosti da ponudi asymptotski brža rešenja za skup računarskih problema u poređenju sa najboljim poznatim klasičnim algoritmima . Veruje se da funkcionalni skalabilni kvantni računar može pomoći u rešavanju računarskih problema u oblastima kao što su naučna otkrića, istraživanje materijala, hemija i dizajn lekova, da navedemo samo neke , , , . 5 11 12 13 14 Glavna prepreka izgradnji kvantnog računara je krhkost kvantne informacije, usled raznih izvora buke koji na nju utiču. Pošto je izolacija kvantnog računara od spoljnih efekata i njegova kontrola za izvođenje željenog izračunavanja u sukobu jedno s drugim, buka se čini neizbežnom. Izvori buke uključuju nesavršenosti u kvantnim bitovima, korišćenim materijalima, kontrolnoj opremi, greške pri pripremi stanja i merenju, kao i razne spoljne faktore, od lokalnih veštačkih, poput zalutalih elektromagnetnih polja, do onih inherentnih Univerzumu, poput kosmičkih zraka. Videti ref. za pregled. Dok se neki izvori buke mogu eliminisati boljom kontrolom , materijalima i oklopom , , , nekoliko drugih izvora izgleda teško, ako ne i nemoguće, ukloniti. Poslednja vrsta može uključivati spontanu i stimulisano zračenje u zarobljenim jonovima , , i interakciju sa okolinom (Purcellov efekat) u superprovodničkim kolima—obuhvatajući obe vodeće kvantne tehnologije. Stoga, korekcija grešaka postaje ključni zahtev za izgradnju funkcionalnog skalabilnog kvantnog računara. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 Mogućnost kvantne tolerantnosti na greške je dobro utvrđena . Kodiranje logičkog kvantnog bita redundantno u mnoge fizičke kvantne bitove omogućava dijagnostikovanje i ispravljanje grešaka ponovljenim merenjem sindroma operatora provere parnosti. Međutim, korekcija grešaka je korisna samo ako je stopa greške hardvera ispod određene granične vrednosti koja zavisi od specifičnog protokola korekcije grešaka. Prvi predlozi za kvantnu korekciju grešaka, kao što su konkatenirani kodovi , , , fokusirali su se na demonstraciju teorijske mogućnosti suzbijanja grešaka. Kako je razumevanje kvantne korekcije grešaka i mogućnosti kvantnih tehnologija sazrelo, fokus se pomerio na pronalaženje praktičnih protokola kvantne korekcije grešaka. Ovo je rezultiralo razvojem površinskog koda , , , koji nudi visok prag greške blizu 1%, brze algoritme za dekodiranje i kompatibilnost sa postojećim kvantnim procesorima koji se oslanjaju na dvodimenzionalnu (2D) konektivnost kvantnih bitova u obliku mreže. Mali primeri površinskog koda sa jednim logičkim kvantnim bitom već su demonstrirani eksperimentalno od strane nekoliko grupa , , , , . Međutim, skaliranje površinskog koda na 100 ili više logičkih kvantnih bitova bilo bi prohibitivno skupo zbog njegove slabe efikasnosti kodiranja. Ovo je podstaklo interesovanje za opštije kvantne kodove poznate kao kodovi sa niskom gustinom provere parnosti (LDPC) . Nedavni napredak u proučavanju LDPC kodova sugeriše da oni mogu postići kvantnu tolerantnost na greške sa mnogo većom efikasnošću kodiranja . Ovde se fokusiramo na proučavanje LDPC kodova, jer nam je cilj da pronađemo kvantne kodove za korekciju grešaka i protokole koji su efikasni i mogući za demonstraciju u praksi, s obzirom na ograničenja tehnologija kvantnog računarstva. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 Kvantni kod za korekciju grešaka je tipa LDPC ako svaki operator provere koda deluje samo na nekoliko kvantnih bitova i svaki kvantni bit učestvuje u samo nekoliko provera. Nekoliko varijanti LDPC kodova je nedavno predloženo, uključujući hiperboličke površinske kodove , , , hipergraf proizvod , uravnotežene proizvodne kodove , dvoblok kodove zasnovane na konačnim grupama , , , i kvantne Tanner kodove , . Ponekad je pokazano , da su asimptotski „dobri“ u smislu nuđenja konstantne stope kodiranja i linearne udaljenosti: parametar koji kvantifikuje broj grešaka koje se mogu ispraviti. Nasuprot tome, površinski kod ima asimptotski nultu stopu kodiranja i samo kvadratnu udaljenost. Zamena površinskog koda sa LDPC kodom visoke stope i velike udaljenosti mogla bi imati značajne praktične implikacije. Prvo, režija tolerantnosti na greške (odnos između broja fizičkih i logičkih kvantnih bitova) mogla bi se znatno smanjiti. Drugo, kodovi velike udaljenosti pokazuju vrlo oštar pad stope logičke greške: kako verovatnoća fizičke greške prelazi graničnu vrednost, količina suzbijanja grešaka koju kod postiže može se povećati za redove veličine, čak i uz malo smanjenje stope fizičke greške. Ova karakteristika čini LDPC kodove velike udaljenosti atraktivnim za demonstracije bliske budućnosti koje će verovatno raditi u režimu blizu granične vrednosti. Međutim, ranije se verovalo da bi prevazilaženje površinskog koda za realne modele buke, uključujući greške memorije, kapije i pripreme stanja i merenja, moglo zahtevati vrlo velike LDPC kodove sa više od 10.000 fizičkih kvantnih bitova . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Ovde predstavljamo nekoliko konkretnih primera LDPC kodova visoke stope sa nekoliko stotina fizičkih kvantnih bitova, opremljenih krugom za merenje sindroma male dubine, efikasnim algoritmom za dekodiranje i protokolom tolerantnim na greške za adresiranje pojedinačnih logičkih kvantnih bitova. Ovi kodovi pokazuju prag greške blizu 0,7%, pokazuju odlične performanse u režimu blizu granične vrednosti i nude 10 puta smanjenje režije kodiranja u poređenju sa površinskim kodom. Hardverski zahtevi za realizaciju naših protokola korekcije grešaka su relativno blagi, pošto je svaki fizički kvantni bit povezan dvokvantnim kapijama sa samo šest drugih kvantnih bitova. Iako graf konektivnosti kvantnih bitova nije lokalno ugrađen u 2D mrežu, on se može razložiti na dva planarna podgrafa sa stepenom 3. Kao što dalje objašnjavamo, takva konektivnost kvantnih bitova je pogodna za arhitekture zasnovane na superprovodničkim kvantnim bitovima. Naši kodovi su generalizacija biciklističkih kodova koje je predložio Makkej i saradnici i detaljnije proučavani u ref. , , . Naše kodove smo nazvali dvobivarijatnim biciklističkim (BB) jer su zasnovani na dvobivarijatnim polinomima, kao što je detaljno opisano u odeljku . Ovo su stabilizatorski kodovi tipa Koldberk-Šor-Stin (CSS) , koji se mogu opisati kolekcijom šestokvantnih operatorskih provera (stabilizatora) sastavljenih od Paulijevih i . Na visokom nivou, BB kod je sličan dvodimenzionalnom toričnom kodu . Konkretno, fizički kvantni bitovi BB koda mogu se postaviti na dvodimenzionalnu mrežu sa periodičnim graničnim uslovima tako da se svi operatorski provere dobijaju iz jednog para i provera primenom horizontalnih i vertikalnih pomeranja mreže. Međutim, za razliku od plačetnih i verniksnih stabilizatora koji opisuju torični kod, operatorski provere BB kodova nisu geometrijski lokalni. Nadalje, svaka provera deluje na šest kvantnih bitova umesto na četiri. Kod ćemo opisati Tannerovim grafom tako da svaki čvor predstavlja ili podatkovni kvantni bit ili operator provere. Čvor provere i čvor podatka su povezani ivicom ako -ti operator provere deluje netrivijalno na -ti podatkovni kvantni bit (primjenom Paulijevog ili ). Videti sliku za primere Tannerovih grafova površinskog i BB kodova. Tannerov graf bilo kog BB koda ima stepen čvora šest i debljinu grafa jednaku dva, što znači da se može razložiti na dva planarna podgrafa koja se ne preklapaju ivicama ( ). Konektivnost kvantnih bitova debljine 2 dobro je prilagođena superprovodničkim kvantnim bitovima povezanim mikrotalasnim rezonatorima. Na primer, dva planarna sloja koplera i njihovi kontrolni vodovi mogu se postaviti na gornju i donju stranu čipa koji sadrži kvantne bitove, a dve strane spojiti. 41 35 36 42 Metode 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 Metode , Tannerov graf površinskog koda, radi poređenja. , Tannerov graf BB koda sa parametrima [] ugrađenog u torus. Svaka ivica Tannerovog grafa povezuje podatkovni i provereni čvor. Podatkovni kvantni bitovi povezani sa registrima ( ) i ( ) prikazani su plavim i narandžastim krugovima. Svaki čvor ima šest incidentnih ivica, uključujući četiri kratke ivice (koje pokazuju na sever, jug, istok i zapad) i dve dugodugačke ivice. Prikazujemo samo nekoliko dugodugačkih ivica kako bismo izbegli gužvu. Prekinute i pune ivice ukazuju na dva planarna podgrafa koji pokrivaju Tannerov graf, videti . , Skica proširenja Tannerovog grafa za merenje i prema ref. , koja se povezuje sa površinskim kodom. Ancila koja odgovara merenju može se povezati sa površinskim kodom, omogućavajući operacije učitavanja-čuvanja za sve logičke kvantne bitove putem kvantne teleportacije i nekih logičkih unitarnih transformacija. Ovaj prošireni Tannerov graf takođe ima implementaciju u arhitekturi debljine 2 kroz i ivice ( ). a b q L q R Metode c 50 A B Metode BB kod sa parametrima [[ , , ]] kodira logičkih kvantnih bitova u podatkovnih kvantnih bitova nudeći kodnu udaljenost , što znači da bilo koja logička greška obuhvata najmanje podatkovnih kvantnih bitova. Mi delimo podatkovnih kvantnih bitova na registre ( ) i ( ) veličine /2 svaki. Svaka provera deluje na tri kvantna bita iz ( ) i tri kvantna bita iz ( ). Kod se oslanja na pomoćnih proverenih kvantnih bitova za merenje sindroma greške. Mi delimo proverenih kvantnih bitova na registre ( ) i ( ) veličine /2 koji prikupljaju sindrome tipa i redom. Ukupno, kodiranje se oslanja na 2 fizičkih kvantnih bitova. Neto stopa kodiranja je stoga = /(2 ). Na primer, standardna arhitektura površinskog koda kodira = 1 logički kvantni bit u = podatkovnih kvantnih bitova za kod udaljenosti i koristi − 1 proverenih kvantnih bitova za merenje sindroma. Neto stopa kodiranja je ≈ 1/(2 ), što brzo postaje nepraktično jer smo primorani da biramo veliku kodnu udaljenost, zbog, na primer, fizičkih grešaka blizu granične vrednosti. Nasuprot tome, BB kodovi imaju stopu kodiranja ≫ 1/ , videti tabelu za primere kodova. Koliko nam je poznato, svi kodovi prikazani u tabeli su novi. Kod udaljenosti 12 [] možda je najperspektivniji za demonstracije bliske budućnosti, jer kombinuje veliku udaljenost i visoku neto stopu kodiranja = 1/24. Za poređenje, površinski kod udaljenosti 11 ima neto stopu kodiranja = 1/241. U nastavku pokazujemo da kod BB udaljenosti 12 nadmašuje površinski kod udaljenosti 11 za eksperimentalno relevantan opseg stopa grešaka. n k d k n d d n q L q R n q L q R n n q X q Z n X Z n r k n k n d 2 d n r d 2 r d 2 1 1 r r Da bi se sprečila akumulacija grešaka, mora se biti u stanju da se sindrom greške meri dovoljno često. Ovo se postiže krugom za merenje sindroma koji povezuje podatkovne kvantne bitove u potpori svakog operatora provere sa odgovarajućim pomoćnim kvantnim bitom nizom CNOT kapija. Zatim se provereni kvantni bitovi mere, otkrivajući vrednost sindroma greške. Vreme potrebno za implementaciju kruga za merenje sindroma je proporcionalno njegovoj dubini: broj slojeva kapija sastavljenih od nepreklapajućih CNOT kapija. Pošto nove greške nastavljaju da se javljaju dok se izvršava krug za merenje sindroma, njegova dubina treba da bude minimalna. Puni ciklus merenja sindroma za BB kod ilustrovan je na slici . Ciklus sindroma zahteva samo sedam slojeva CNOT kapija, bez obzira na dužinu koda. Provereni kvantni bitovi se inicijalizuju i mere na početku i na kraju ciklusa sindroma, respektivno (videti za detalje). Krug poštuje simetriju cikličnog pomeranja osnovnog koda. 2 Metode Puni ciklus merenja sindroma koji se oslanja na sedam slojeva CNOT kapija. Dajemo lokalni pogled na krug koji uključuje samo jedan podatkovni kvantni bit iz svakog registra ( ) i ( ). Krug je simetričan u odnosu na horizontalno i vertikalno pomeranje Tannerovog grafa. Svaki podatkovni kvantni bit je povezan CNOT kapijama sa tri *X-*proverena i tri *Z-*proverena kvantna bita: videti za više detalja. q L q R Metode Potpuni protokol korekcije grešaka izvršava c ≫ 1 ciklusa merenja sindroma, a zatim poziva dekoder: klasični algoritam koji kao ulaz uzima izmerene sindrome i daje pretpostavku o konačnoj grešci na podatkovnim kvantnim bitovima. Korekcija grešaka uspeva ako se pretpostavljena i stvarna greška poklapaju modulo proizvod operatorskih provera. U tom slučaju, dve greške imaju isto dejstvo na bilo koje kodovano (logičko) stanje. Stoga, primena inverzne transformacije pretpostavljene greške vraća podatkovne kvantne bitove u početno logičko stanje. U suprotnom, ako se pretpostavljena i stvarna greška razlikuju za net N
