```html Autoři: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Abstrakt Hromadění fyzikálních chyb , , brání provádění rozsáhlých algoritmů v současných kvantových počítačích. Kvantová korekce chyb slibuje řešení kódováním logických qubitů do většího počtu fyzikálních qubitů tak, aby byly fyzikální chyby potlačeny natolik, aby bylo možné spustit požadovaný výpočet s přijatelnou věrností. Kvantová korekce chyb se stává prakticky realizovatelnou, jakmile je rychlost fyzikálních chyb pod prahovou hodnotou, která závisí na výběru kvantového kódu, obvodu pro měření syndromů a dekódovacím algoritmu . Prezentujeme kompletní protokol kvantové korekce chyb, který implementuje odolnou paměť na základě rodiny kódů s nízkou hustotou paritních kontrol (low-density parity-check codes) . Náš přístup dosahuje prahové hodnoty chyby 0,7 % pro standardní model šumu založený na obvodech, což je srovnatelné s povrchovým kódem (surface code) , , , , který byl po 20 let vedoucím kódem z hlediska prahové hodnoty chyb. Cyklus měření syndromů pro kód délky v naší rodině vyžaduje pomocných qubitů a obvod s hloubkou 8 s hradly CNOT, inicializacemi a měřeními qubitů. Požadovaná konektivita qubitů je graf stupně 6 složený ze dvou plánárních podgrafů bez společných hran. Konkrétně ukazujeme, že 12 logických qubitů lze zachovat po téměř 1 milion cyklů měření syndromů s celkovým počtem 288 fyzikálních qubitů, za předpokladu fyzické rychlosti chyb 0,1 %, zatímco povrchový kód by vyžadoval téměř 3 000 fyzikálních qubitů k dosažení zmíněného výkonu. Naše zjištění přibližují demonstrace nízkooverheadové kvantové paměti odolné proti chybám na dosah kvantových procesorů blízké budoucnosti. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Hlavní část Kvantové počítání přitáhlo pozornost díky své schopnosti nabídnout asymptoticky rychlejší řešení pro sadu výpočetních problémů ve srovnání s nejlepšími známými klasickými algoritmy . Věří se, že funkční škálovatelný kvantový počítač může pomoci řešit výpočetní problémy v oblastech jako je vědecký objev, výzkum materiálů, chemie a návrh léků, abychom jmenovali alespoň některé , , , . 5 11 12 13 14 Hlavní překážkou pro konstrukci kvantového počítače je křehkost kvantové informace v důsledku různých zdrojů šumu, které ji ovlivňují. Protože izolace kvantového počítače od vnějších vlivů a jeho řízení za účelem provedení požadovaného výpočtu jsou v rozporu, šum se zdá nevyhnutelný. Zdroje šumu zahrnují nedokonalosti v qubitech, použité materiály, řídicí aparát, chyby při přípravě stavu a měření a různé vnější faktory od lokálních umělých, jako jsou bludná elektromagnetická pole, až po ty, které jsou vlastní vesmíru, jako jsou kosmické paprsky. Viz ref. pro souhrn. Zatímco některé zdroje šumu lze odstranit lepším řízením , materiály a stíněním , , , několik dalších zdrojů se zdá být obtížné, ne-li nemožné, odstranit. Poslední typ může zahrnovat spontánní a stimulovanou emisi v zachycených iontech , a interakci s lázní (Purcellův jev) v supravodivých obvodech—pokrývající obě vedoucí kvantové technologie. Korekce chyb se tedy stává klíčovým požadavkem pro konstrukci funkčního škálovatelného kvantového počítače. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 Možnost kvantové odolnosti proti chybám je dobře zavedená . Kódování logického qubitu redundantně do mnoha fyzikálních qubitů umožňuje diagnostikovat a opravovat chyby opakovaným měřením syndromů paritně-kontrolních operátorů. Korekce chyb je však prospěšná pouze tehdy, je-li rychlost chyb hardwaru pod určitou prahovou hodnotou, která závisí na konkrétním protokolu korekce chyb. První návrhy pro kvantovou korekci chyb, jako jsou zřetězené kódy (concatenated codes) , , , se zaměřily na demonstraci teoretické možnosti potlačení chyb. S dozráváním porozumění kvantové korekci chyb a možnostem kvantových technologií se pozornost přesunula na hledání praktických protokolů kvantové korekce chyb. To vedlo k vývoji povrchového kódu (surface code) , , , , který nabízí vysokou prahovou hodnotu chyby blízkou 1 %, rychlé dekódovací algoritmy a kompatibilitu se stávajícími kvantovými procesory spoléhajícími na dvourozměrnou (2D) čtvercovou mřížku konektivity qubitů. Malé příklady povrchového kódu s jedním logickým qubitem již byly experimentálně demonstrovány několika skupinami , , , , . Nicméně škálování povrchového kódu na 100 nebo více logických qubitů by bylo nepřípustně nákladné kvůli jeho nízké efektivitě kódování. To podnítilo zájem o obecnější kvantové kódy známé jako kódy s nízkou hustotou paritních kontrol (LDPC) . Nedávný pokrok ve studiu LDPC kódů naznačuje, že mohou dosáhnout kvantové odolnosti proti chybám s mnohem vyšší efektivitou kódování . Zde se zaměřujeme na studium LDPC kódů, protože naším cílem je najít kvantové kódy pro korekci chyb a protokoly, které jsou jak efektivní, tak prakticky proveditelné vzhledem k omezením technologií kvantového počítání. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 Kvantový kód pro korekci chyb je typu LDPC, pokud každý kontrolní operátor kódu působí pouze na několik qubitů a každý qubit se účastní pouze několika kontrol. Nedávno bylo navrženo několik variant LDPC kódů, včetně hyperbolických povrchových kódů , , , hypergrafových produktů , vyvážených produktových kódů , dvoublokových kódů založených na konečných grupách , , , a kvantových Tannerových kódů , . Bylo ukázáno , , že jsou asymptoticky „dobré“ ve smyslu nabídky konstantní kódovací rychlosti a lineární vzdálenosti: parametr kvantifikující počet opravitelných chyb. Naproti tomu povrchový kód má asymptoticky nulovou kódovací rychlost a pouze odmocninu vzdálenosti. Nahrazení povrchového kódu LDPC kódem s vysokou rychlostí a vysokou vzdáleností by mohlo mít významné praktické důsledky. Zaprvé, režie odolnosti proti chybám (poměr mezi počtem fyzikálních a logických qubitů) by mohla být výrazně snížena. Zadruhé, kódy s vysokou vzdáleností vykazují velmi ostrý pokles logické chybové rychlosti: jakmile pravděpodobnost fyzikální chyby překročí prahovou hodnotu, míra potlačení chyb dosažená kódem se může zvýšit o řády i při malém snížení rychlosti fyzikální chyby. Tato vlastnost činí LDPC kódy s vysokou vzdáleností atraktivními pro demonstrace blízké budoucnosti, které pravděpodobně budou operovat v režimu blízkém prahu. Bylo však dříve přesvědčení, že překonání povrchového kódu pro realistické modely šumu, včetně paměťových chyb, chyb bran a chyb při přípravě stavu a měření, může vyžadovat velmi velké LDPC kódy s více než 10 000 fyzikálních qubitů . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Zde představujeme několik konkrétních příkladů LDPC kódů s vysokou rychlostí a několika stovkami fyzikálních qubitů vybavených obvodem pro měření syndromů s nízkou hloubkou, efektivním dekódovacím algoritmem a protokolem odolným proti chybám pro adresování jednotlivých logických qubitů. Tyto kódy vykazují prahovou hodnotu chyby blízkou 0,7 %, vykazují vynikající výkon v režimu blízkém prahu a nabízejí 10násobné snížení režie kódování ve srovnání s povrchovým kódem. Hardwarové požadavky pro realizaci našich protokolů korekce chyb jsou poměrně mírné, protože každý fyzikální qubit je spojen dvouqubitovými branami pouze se šesti dalšími qubity. Ačkoli graf konektivity qubitů není lokálně vnořitelný do 2D mřížky, lze jej rozložit na dva plánární podgrafy s hloubkou 3. Jak dále argumentujeme, taková konektivita qubitů je vhodná pro architektury založené na supravodivých qubitech. Naše kódy jsou zobecněním cyklických kódů (bicycle codes) navržených MacKayem a kol. a podrobněji studovaných v ref. , , . Naše kódy jsme pojmenovali dvojvariabilní cyklické (bivariate bicycle, BB), protože jsou založeny na dvojvariabilních polynomech, jak je podrobněji popsáno v . Jedná se o stabilizátorové kódy typu Calderbank–Shor–Steane (CSS) , , které lze popsat kolekcí šesti-qubitových kontrolních (stabilizátorových) operátorů složených z Pauliho a . Na vysoké úrovni je BB kód podobný dvourozměrnému torickému kódu . Konkrétně fyzikální qubity BB kódu lze rozložit do dvourozměrné mřížky s periodickými okrajovými podmínkami tak, že všechny kontrolní operátory jsou získány z jediné dvojice a kontrol posunutím mřížky horizontálně a vertikálně. Avšak na rozdíl od stabilizátorů plošek (plaquette) a vrcholů (vertex) popisujících torický kód, kontrolní operátory BB kódů nejsou geometricky lokální. Navíc každá kontrola působí na šest qubitů namísto čtyř. Kód popíšeme pomocí Tannerova grafu tak, že každý vrchol představuje buď datový qubit, nebo kontrolní operátor. Kontrolní vrchol a datový vrchol jsou spojeny hranou, pokud -tý kontrolní operátor působí netriviálně na -tý datový qubit (aplikací Pauliho nebo ). Viz obr. pro příklady Tannerových grafů povrchového a BB kódu. Tannerův graf jakéhokoli BB kódu má vrcholový stupeň šest a tloušťku grafu rovnou dvě, což znamená, že jej lze rozložit na dva plánární podgrafy bez společných hran ( ). Konektivita qubitů s tloušťkou 2 je dobře vhodná pro supravodivé qubity spojené mikrovlnnými rezonátory. Například dvě plánární vrstvy spojovačů a jejich řídicí linky lze připojit k horní a spodní straně čipu obsahujícího qubity a obě strany spojit. 41 35 36 42 Metodách 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 Metody , Tannerův graf povrchového kódu pro srovnání. , Tannerův graf BB kódu s parametry [[144, 12, 12]] vloženého do torusu. Každá hrana Tannerova grafu spojuje datový a kontrolní vrchol. Datové qubity spojené s registry ( ) a ( ) jsou zobrazeny modrými a oranžovými kruhy. Každý vrchol má šest přilehlých hran, včetně čtyř krátk dosahu (směřujících na sever, jih, východ a západ) a dvou dlouh dosahu. Zobrazujeme pouze několik dlouh dosahu, abychom předešli přeplnění. Přerušované a plné hrany značí dva plánární podgrafy pokrývající Tannerův graf, viz . , Nákres rozšíření Tannerova grafu pro měření a dle ref. , připojeného k povrchovému kódu. Pomocný qubit odpovídající měření může být připojen k povrchovému kódu, což umožňuje operace načítání-ukládání pro všechny logické qubity pomocí kvantové teleportace a některých logických unitárních operací. Tento rozšířený Tannerův graf má také implementaci v architektuře s tloušťkou 2 prostřednictvím hran a ( ). a b q L q R Metody c 50 A B Metody BB kód s parametry [[ , , ]] kóduje logických qubitů do datových qubitů nabízející kódovou vzdálenost , což znamená, že každá logická chyba postihuje nejméně datových qubitů. Rozdělujeme datových qubitů do registrů ( ) a ( ) o velikosti /2 každý. Každá kontrola působí na tři qubity z ( ) a tři qubity z ( ). Kód se spoléhá na pomocných kontrolních qubitů pro měření syndromu chyby. Rozdělujeme kontrolních qubitů do registrů ( ) a ( ) o velikosti /2, které shromažďují syndromy typu a odpovídajícím způsobem. Celkově kódování závisí na 2 fyzikálních qubitech. Čistá kódovací rychlost je tedy = /(2 ). Například standardní architektura povrchového kódu kóduje = 1 logický qubit do = datových qubitů pro kód vzdálenosti a používá − 1 kontrolních qubitů pro měření syndromů. Čistá kódovací rychlost je ≈ 1/(2 ), což se rychle stává nepraktickým, protože jeden je nucen zvolit velkou kódovou vzdálenost, například kvůli tomu, že fyzikální chyby jsou blízko prahové hodnoty. Naproti tomu BB kódy mají kódovací rychlost ≫ 1/ , viz tabulka pro příklady kódů. Pokud je nám známo, všechny kódy zobrazené v tabulce jsou nové. Kód [[144, 12, 12]] s vzdáleností 12 může být nejslibnější pro demonstrace blízké budoucnosti, protože kombinuje velkou vzdálenost a vysokou čistou kódovací rychlost = 1/24. Pro srovnání, povrchový kód s vzdáleností 11 má čistou kódovací rychlost = 1/241. Níže ukazujeme, že BB kód s vzdáleností 12 překonává povrchový kód s vzdáleností 11 pro experimentálně relevantní rozsah chybových rychlostí. n k d k n d d n q L q R n q L q R n n q X q Z n X Z n r k n k n d 2 d n r d 2 r d 2 1 1 r r Aby se zabránilo hromadění chyb, je nutné být schopen měřit syndrom chyby dostatečně často. To se provádí pomocí obvodu pro měření syndromů, který spojuje datové qubity v podpoře každého kontrolního operátoru s příslušným pomocným qubitem pomocí sekvence bran CNOT. Kontrolní qubity jsou pak měřeny a odhalují hodnotu syndromu chyby. Čas potřebný k implementaci obvodu pro měření syndromů je úměrný jeho hloubce: počet vrstev bran složených z nepřekrývajících se CNOTů. Protože nové chyby pokračují vznikat během provádění obvodu pro měření syndromů, jeho hloubka by měla být minimalizována. Plný cyklus měření syndromů pro BB kód je ilustrován na obr. . Cyklus syndromů vyžaduje pouze sedm vrstev bran CNOT bez ohledu na délku kódu. Kontrolní qubity jsou inicializovány a měřeny na začátku a na konci cyklu syndromů (viz pro podrobnosti). Obvod respektuje symetrii cyklického posunu základního kódu. 2 Metody Plný cyklus měření syndromů využívající sedm vrstev bran CNOT. Poskytujeme lokální pohled na obvod, který zahrnuje pouze jeden datový qubit z každého registru ( ) a ( ). Obvod je symetrický vzhledem k horizontálnímu a vertikálnímu posunu Tannerova grafu. Každý datový qubit je spojen branami CNOT s třemi *X-*kontrolními a třemi *Z-*kontrolními qubity: viz pro více podrobností. q L q R Metody Kompletní protokol korekce chyb provádí ≫ 1 cyklů měření syndromů a poté volá dekodér: klasický algoritmus, který jako vstup přijímá měřené syndromy a výstupem je odhad konečné chyby na datových qubitech. Korekce chyb uspěje, pokud se odhadovaná a skutečná chyba shodují modulo součin kontrolních operátorů. V tomto případě mají dvě chyby stejné působení na libovolný zakódovaný (logický) stav. Aplikace inverze odhadnuté chyby tedy vrátí datové qubity do počátečního logického stavu. Jinak, pokud se odhadovaná a skutečná chyba liší netriviálním logickým operátorem, korekce chyb selže a výsledkem je logická chyba. Naše numer N c
