Autores:  (1) Agustín Moreno;  (2) Francesco Ruscelli.  Tabla de enlaces   Abstracto   Introducción   Preliminares   La firma B   Secuencia GIT: dimensiones bajas   Secuencia GIT: dimensión arbitraria   Apéndice A. Estabilidad, teorema de Krein-Moser y refinamientos y referencias  Apéndice A. Estabilidad, teorema de Krein-Moser y refinamientos  Ahora explicamos cómo la secuencia GIT codifica topológicamente la estabilidad (lineal) de órbitas periódicas y la comparamos con las nociones básicas de la teoría de Kerin y el teorema de estabilidad de Krein-Moser. También explicaremos cómo obtener el Teorema A.  Seguimos la exposición del libro de Ekeland [Eke90] (ver también [Ab01]). Considere una EDO simpléctica lineal   Se puede demostrar que la EDO x˙ = JA(t)x es (fuertemente) estable si y sólo si R(T) es (fuertemente) estable [Eke90]. Además, la estabilidad es equivalente a que R(T) sea diagonalizable (es decir, todos los valores propios son semisimples), con su espectro en el círculo unitario [Eke90].  Ahora, considere un par elíptico {λ, λ} de valores propios de una matriz simpléctica R. Entonces cualquier otra matriz simpléctica cercana a R también tendrá valores propios simples en el círculo unitario diferentes de ±1 (de lo contrario, un valor propio tendría que bifurcarse en dos , ya que cada valor propio se cuadruplica, lo que no es posible si los espacios propios son unidimensionales). Por tanto, en esta situación, R es fuertemente estable. El caso de valores propios con mayor multiplicidad se aborda mediante la teoría de Kerin. Siempre que se juntan dos valores propios elípticos, esto proporciona un criterio para saber cuándo no es posible que escapen del círculo y pasen a un cuádruple complejo. Esto funciona de la siguiente manera.   si x, y son los vectores propios correspondientes. Además, si consideramos los espacios propios generalizados     Si λ es un valor propio de la matriz simpléctica R con |λ| = 1, entonces la firma (p, q) de Gλ se llama firma de tipo Krein o Kerin de λ. Si q = 0, es decir, Gλ es definido positivo, se dice que λ es positivo para Krein. Si p = 0, es decir, Gλ es definido negativo, se dice que λ es Krein-negativo. Si λ es Krein negativo o Krein positivo, decimos que es Krein definido. De lo contrario, decimos que es Krein-indefinido. Definición A.2. (Krein-positividad/negatividad)  Si λ es de tipo Krein (p, q), entonces λ es de tipo Krein (q, p) [Eke90]. Si λ satisface |λ| = 1 y no es semisimple, entonces es fácil demostrar que es Krein-indefinido [Eke90]. Además, ±1 son siempre indefinidos de Krein si son valores propios, ya que tienen vectores propios reales x, que por lo tanto son G-isotrópicos, es decir, G(x, x) = 0. Lo siguiente, originalmente probado por Kerin en [Kre1; Kre2; Kre3; Kre4] y redescubierto independientemente por Moser en [M78], da una caracterización de fuerte estabilidad en términos de la teoría de Kerin:     Teorema 3 (Krein-Moser). R es fuertemente estable si y sólo si es estable y todos sus valores propios son definidos por Krein.  Véase [   ] para una prueba. Tenga en cuenta que esto generaliza el caso en el que todos los valores propios son simples, diferentes de ±1 y están en el círculo unitario, como se analizó anteriormente. Ahora bien, la forma en que la secuencia GIT se relaciona con la teoría de Kerin es la siguiente. Eke90     Proposición A.1 ([FM]). Para una matriz de Wonenburger, la firma de Kerin coincide con la firma B, para valores propios elípticos.    Como ejemplo sencillo, para ilustrar la Proposición A.1, considere las matrices de Wonenburger  Ejemplo A.3.  Como corolario del teorema de Krein-Moser y de la Proposición A.1, obtenemos lo siguiente.       Teorema 4. Sea R una matriz de Wonenburger. Entonces R es fuertemente estable si y sólo si es estable y todos sus valores propios son B-definidos.  En dimensiones superiores, si un determinado valor propio elíptico o hiperbólico de alta multiplicidad de una matriz de Wonenburger puede o no ser perturbado para convertirse en un cuádruple complejo está determinado por si su firma B es definida o no; ver, por ejemplo, la Figura 9 y la Observación 5.2. Esto proporciona una prueba topológica del teorema de Krein-Moser en todas las dimensiones y, de hecho, lo generaliza para el caso hiperbólico, en el caso de las matrices de Wonenburger, demostrando el Teorema A en la Introducción.  Referencias  [Ab01] Abbondandolo, Alberto. Teoría de Morse para sistemas hamiltonianos. Chapman & Hall/CRC Research Notes in Mathematics, 425. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2001. xii+189 págs. ISBN: 1-58488-202-6  [Ay22] Aydin, Cengiz. Desde observaciones lunares babilónicas hasta multiplicadores de Floquet e índices de Conley-Zehnder. Preimpresión arXiv:2206.07803, 2022.  [AFKM] Aydin, Cengiz; Frauenfelder, Urs; Koh, Dayung; Moreno, Agustín. Métodos simplécticos en el diseño de misiones espaciales. Actas de la Conferencia de especialistas en astrodinámica AAS / AIAA de 2023, 2023.  [Br69] Broucke, R. Estabilidad de órbitas periódicas en el problema elíptico restringido de tres cuerpos. AIAA J. 7.1003 (1969).  [Eke90] Ekeland, Ivar. Métodos de convexidad en mecánica hamiltoniana. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en matemáticas y áreas afines (3)], 19. Springer-Verlag, Berlín, 1990. x+247 págs. ISBN: 3-540-50613-6  [FM] Frauenfelder, Urs; Moreno, Agustín. Sobre cocientes GIT del grupo simpléctico, estabilidad y bifurcaciones de órbitas periódicas, Journal of Symplectic Geometry. A aparecer.  [FMb] Frauenfelder, Urs; Moreno, Agustín. En órbitas periódicas doblemente simétricas. Mecánica celeste y astronomía dinámica, 135 (2023), no. 2, Documento No. 20.  [HD98] Howard, James E.; Dullin, Holger R. Estabilidad lineal de mapas simplécticos naturales. Física. Letón. A 246 (1998), núm. 3-4, 273–283.  [HM87] Howard, JE; MacKay, RS Cálculo de límites de estabilidad lineal para equilibrios de sistemas hamiltonianos. Física. Letón. A 122 (1987), núm. 6-7, 331–334.  Kre1] Krein, M.: Generalización de ciertas investigaciones de AM Liapunov sobre ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes periódicos. Doklady Akad. Nauk URSS 73 (1950) 445-448.  Kre2] Krein, M.: Sobre la aplicación de una proposición algebraica en la teoría de matrices monodromías. Matemáticas Uspekhi. Nauk 6 (1951) 171-177.  [Kre3] Krein, M.: Sobre la teoría de funciones matriciales enteras de tipo exponencial. Matemáticas ucranianas. Diario 3 (1951) 164-173.  [Kre4] Krein, M.: Sobre algunos problemas de máximos y mínimos para números característicos y zonas de estabilidad de Liapunov. Prikl. Matemáticas. Mej. 15 (1951) 323-348.  [M78] Moser, Jürgen. Un teorema del punto fijo en geometría simpléctica. Acta Matemáticas. 141 (1978), núm. 1-2, 17-34.  (A. Moreno) Universität Heidelberg, Mathematisches Institut, Heidelberg, Alemania Dirección de correo electrónico: agustin.moreno2191@gmail.com  (F. Ruscelli) Universität Heidelberg, Mathematisches Institut, Heidelberg, Alemania Dirección de correo electrónico: fruscelli@mathi.uni-heidelberg.de  Este documento está   bajo licencia CC BY-NC-SA 4.0 DEED. disponible en arxiv

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