Apéndice A. Estabilidad, teorema de Krein-Moser y refinamientos y referencias

Tabla de enlaces

• Abstracto
• Introducción
• Preliminares
• La firma B
• Secuencia GIT: dimensiones bajas
• Secuencia GIT: dimensión arbitraria
• Apéndice A. Estabilidad, teorema de Krein-Moser y refinamientos y referencias

Apéndice A. Estabilidad, teorema de Krein-Moser y refinamientos

Ahora explicamos cómo la secuencia GIT codifica topológicamente la estabilidad (lineal) de órbitas periódicas y la comparamos con las nociones básicas de la teoría de Kerin y el teorema de estabilidad de Krein-Moser. También explicaremos cómo obtener el Teorema A.

Seguimos la exposición del libro de Ekeland [Eke90] (ver también [Ab01]). Considere una EDO simpléctica lineal

Se puede demostrar que la EDO x˙ = JA(t)x es (fuertemente) estable si y sólo si R(T) es (fuertemente) estable [Eke90]. Además, la estabilidad es equivalente a que R(T) sea diagonalizable (es decir, todos los valores propios son semisimples), con su espectro en el círculo unitario [Eke90].

Ahora, considere un par elíptico {λ, λ} de valores propios de una matriz simpléctica R. Entonces cualquier otra matriz simpléctica cercana a R también tendrá valores propios simples en el círculo unitario diferentes de ±1 (de lo contrario, un valor propio tendría que bifurcarse en dos , ya que cada valor propio se cuadruplica, lo que no es posible si los espacios propios son unidimensionales). Por tanto, en esta situación, R es fuertemente estable. El caso de valores propios con mayor multiplicidad se aborda mediante la teoría de Kerin. Siempre que se juntan dos valores propios elípticos, esto proporciona un criterio para saber cuándo no es posible que escapen del círculo y pasen a un cuádruple complejo. Esto funciona de la siguiente manera.

si x, y son los vectores propios correspondientes. Además, si consideramos los espacios propios generalizados

Definición A.2. (Krein-positividad/negatividad) Si λ es un valor propio de la matriz simpléctica R con |λ| = 1, entonces la firma (p, q) de Gλ se llama firma de tipo Krein o Kerin de λ. Si q = 0, es decir, Gλ es definido positivo, se dice que λ es positivo para Krein. Si p = 0, es decir, Gλ es definido negativo, se dice que λ es Krein-negativo. Si λ es Krein negativo o Krein positivo, decimos que es Krein definido. De lo contrario, decimos que es Krein-indefinido.

Si λ es de tipo Krein (p, q), entonces λ es de tipo Krein (q, p) [Eke90]. Si λ satisface |λ| = 1 y no es semisimple, entonces es fácil demostrar que es Krein-indefinido [Eke90]. Además, ±1 son siempre indefinidos de Krein si son valores propios, ya que tienen vectores propios reales x, que por lo tanto son G-isotrópicos, es decir, G(x, x) = 0. Lo siguiente, originalmente probado por Kerin en [Kre1; Kre2; Kre3; Kre4] y redescubierto independientemente por Moser en [M78], da una caracterización de fuerte estabilidad en términos de la teoría de Kerin:

Teorema 3 (Krein-Moser). R es fuertemente estable si y sólo si es estable y todos sus valores propios son definidos por Krein.

Véase [ Eke90 ] para una prueba. Tenga en cuenta que esto generaliza el caso en el que todos los valores propios son simples, diferentes de ±1 y están en el círculo unitario, como se analizó anteriormente. Ahora bien, la forma en que la secuencia GIT se relaciona con la teoría de Kerin es la siguiente.

Proposición A.1 ([FM]). Para una matriz de Wonenburger, la firma de Kerin coincide con la firma B, para valores propios elípticos.

Ejemplo A.3. Como ejemplo sencillo, para ilustrar la Proposición A.1, considere las matrices de Wonenburger

Como corolario del teorema de Krein-Moser y de la Proposición A.1, obtenemos lo siguiente.

Teorema 4. Sea R una matriz de Wonenburger. Entonces R es fuertemente estable si y sólo si es estable y todos sus valores propios son B-definidos.

En dimensiones superiores, si un determinado valor propio elíptico o hiperbólico de alta multiplicidad de una matriz de Wonenburger puede o no ser perturbado para convertirse en un cuádruple complejo está determinado por si su firma B es definida o no; ver, por ejemplo, la Figura 9 y la Observación 5.2. Esto proporciona una prueba topológica del teorema de Krein-Moser en todas las dimensiones y, de hecho, lo generaliza para el caso hiperbólico, en el caso de las matrices de Wonenburger, demostrando el Teorema A en la Introducción.

Referencias

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[AFKM] Aydin, Cengiz; Frauenfelder, Urs; Koh, Dayung; Moreno, Agustín. Métodos simplécticos en el diseño de misiones espaciales. Actas de la Conferencia de especialistas en astrodinámica AAS / AIAA de 2023, 2023.

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[FMb] Frauenfelder, Urs; Moreno, Agustín. En órbitas periódicas doblemente simétricas. Mecánica celeste y astronomía dinámica, 135 (2023), no. 2, Documento No. 20.

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Kre1] Krein, M.: Generalización de ciertas investigaciones de AM Liapunov sobre ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes periódicos. Doklady Akad. Nauk URSS 73 (1950) 445-448.

Kre2] Krein, M.: Sobre la aplicación de una proposición algebraica en la teoría de matrices monodromías. Matemáticas Uspekhi. Nauk 6 (1951) 171-177.

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(A. Moreno) Universität Heidelberg, Mathematisches Institut, Heidelberg, Alemania Dirección de correo electrónico: [email protected]

(F. Ruscelli) Universität Heidelberg, Mathematisches Institut, Heidelberg, Alemania Dirección de correo electrónico: [email protected]