著者:  （１）アグスティン・モレノ （２）フランチェスコ・ルシェリ リンク一覧 抽象的な 導入 予選 Bシグネチャー GITシーケンス: 低次元 GITシーケンス: 任意の次元 付録A. 安定性、クライン・モーザー定理、改良点と参考文献 付録A. 安定性、クライン＝モーザー定理、および改良 ここでは、GIT シーケンスが周期軌道の (線形) 安定性を位相的にどのようにエンコードするかを説明し、それをクラインの理論の基本概念およびクライン-モーザー安定性定理と比較します。また、定理 A を取得する方法についても説明します。 エケランドの著書[Eke90]の説明に従う（[Ab01]も参照）。線形シンプレクティック常微分方程式を考える。   R(T)が（強く）安定である場合にのみ、常微分方程式x˙ = JA(t)xは（強く）安定であることを示すことができる[Eke90]。さらに、安定性はR(T)が対角化可能（つまり、すべての固有値が半単純）であり、そのスペクトルが単位円内にあることと同等である[Eke90]。 ここで、シンプレクティック行列 R の固有値の楕円ペア {λ, λ} を考えてみましょう。すると、R に近い他のシンプレクティック行列も、単位円内に ±1 とは異なる単純固有値を持つことになります (そうでない場合、すべての固有値は 4 つに分岐するため、固有値は 2 つに分岐する必要がありますが、これは固有空間が 1 次元の場合は不可能です)。したがって、この状況では、R は強く安定しています。より多重度の高い固有値のケースは、クラインの理論によって処理されます。2 つの楕円固有値が一緒になるたびに、円から抜け出して複素 4 つに遷移することが不可能な場合の基準が与えられます。これは次のように機能します。   x, yが対応する固有ベクトルである場合。さらに、一般化固有空間を考えると、   λ が |λ| = 1 であるシンプレクティック行列 R の固有値である場合、Gλ のシグネチャ (p, q) は λ のクレイン型またはクレイン シグネチャと呼ばれます。q = 0、つまり Gλ が正定値である場合、λ はクレイン正であると言われます。p = 0、つまり Gλ が負定値である場合、λ はクレイン負であると言われます。λ がクレイン負またはクレイン正である場合、それはクレイン定値であると言われます。それ以外の場合は、それはクレイン不定値であると言われます。 定義 A.2. (クレイン正値/負値)  λ がクライン型 (p, q) であれば、λ はクライン型 (q, p) である [Eke90]。λ が |λ| = 1 を満たし、半単純でない場合、クライン不定値であることは簡単に示せる [Eke90]。さらに、±1 は固有値であれば常にクライン不定値である。なぜなら、それらは実固有ベクトル x を持ち、したがって G 等方性、すなわち G(x, x) = 0 であるからである。以下は、もともと [Kre1; Kre2; Kre3; Kre4] でクラインによって証明され、独立に [M78] でモーザーによって再発見されたが、クライン理論による強安定性の特徴付けを与えるものである。 定理 3 (クライン・モーザー)。R が強く安定するのは、それが安定であり、そのすべての固有値がクライン定数値である場合に限ります。 証明については[   ]を参照してください。これは、上で説明したように、すべての固有値が単純で、±1とは異なり、単位円内にある場合を一般化していることに注意してください。GITシーケンスがクライン理論と結びつく方法は次のとおりです。 Eke90 命題A.1 ([FM]) ウォネンブルガー行列の場合、クライン署名は楕円固有値のB署名と一致する。 命題A.1を説明する簡単な例として、ウォネンブルガー行列を考える。  例A.3. クライン＝モーザー定理と命題A.1の系として、次の結果が得られます。     定理 4. R をウォネンブルガー行列とします。R が強安定であるためには、R が安定であり、そのすべての固有値が B 定数値である必要があります。 高次元では、ウォネンブルガー行列の与えられた高多重度楕円型または双曲型固有値が複素四重項に摂動できるかどうかは、その B 符号が定常であるかどうかによって決まります。たとえば、図 9 および注釈 5.2 を参照してください。これは、すべての次元におけるクラインとモーザーの定理の位相的証明を与え、実際、ウォネンブルガー行列の場合には双曲型の場合にそれを一般化し、「はじめに」の定理 A を証明します。 参考文献 [Ab01] アボンダンドロ、アルベルト。ハミルトン系のモース理論。チャップマン＆ホール/CRC数学研究ノート、425。チャップマン＆ホール/CRC、ボカラトン、フロリダ州、2001年。xii+189 pp。ISBN：1-58488- 202-6  [Ay22] アイディン、ジェンギズ。バビロニアの月観測からフロケ乗数とコンリー・ゼンダー指数まで。プレプリントarXiv：2206.07803、2022年。  [AFKM] Aydin, Cengiz; Frauenfelder, Urs; Koh, Dayung; Moreno, Agustin。宇宙ミッション設計におけるシンプレクティック法。2023 AAS/AIAA 天体力学スペシャリスト会議の議事録、2023 年。  [Br69] Broucke, R. 楕円型制限三体問題における周期軌道の安定性AIAA J. 7,1003 (1969)。  [Eke90] エケランド、アイヴァル。ハミルトン力学における凸性法。数学と関連分野における成果（3）, 19. Springer-Verlag, ベルリン, 1990. x+247 pp. ISBN: 3-540-50613-6  [FM] Frauenfelder, Urs; Moreno, Agustin. シンプレクティック群の GIT 商、周期軌道の安定性と分岐について、Journal of Symplectic Geometry。近日公開予定。  [FMb] Frauenfelder, Urs; Moreno, Agustin. 二重対称周期軌道について。天体力学と動力学天文学、135 (2023)、第2号、論文番号20。  [HD98] Howard, James E.; Dullin, Holger R. 自然シンプレクティック写像の線形安定性。Phys. Lett. A 246 (1998), no. 3-4, 273–283。  [HM87] Howard, JE; MacKay, RS ハミルトン系の平衡に対する線形安定境界の計算。Phys. Lett. A 122 (1987), no. 6-7, 331–334。  Kre1] Krein, M.: AM Liapunov の周期係数を持つ線型微分方程式に関する特定の研究の一般化。Doklady Akad。Nauk USSR 73 (1950) 445-448。  Kre2] Krein, M.: モノドロミー行列の理論における代数命題の応用について。Uspekhi Math. Nauk 6 (1951) 171-177。  [Kre3] Krein, M.: 指数型行列関数全体の理論について。ウクライナ数学ジャーナル3 (1951) 164-173。  [Kre4] Krein, M.: 特性数とリアプノフ安定領域に関する最大値と最小値の問題について Prikl. Math. Mekh. 15 (1951) 323-348.  [M78] モーザー、ユルゲン。シンプレクティック幾何学における不動点定理。Acta Math. 141 (1978)、第1-2号、17–34ページ。  (A. Moreno) ハイデルベルク大学、数学研究所、ハイデルベルク、ドイツ メールアドレス: agustin.moreno2191@gmail.com  (F. Ruscelli) ハイデルベルク大学、数学研究所、ハイデルベルク、ドイツ メールアドレス: fruscelli@mathi.uni-heidelberg.de この論文は、CC BY-NC-SA 4.0 DEED ライセンスの下で 。 arxiv で公開されています

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