Autoren:  (1) Agustín Moreno;  (2) Francesco Ruscelli.  Linktabelle   Abstrakt   Einführung   Vorbemerkungen   Die B-Signatur   GIT-Sequenz: niedrige Dimensionen   GIT-Sequenz: beliebige Dimension   Anhang A. Stabilität, Krein-Moser-Theorem, Verfeinerungen und Referenzen  Anhang A. Stabilität, Krein-Moser-Theorem und Verfeinerungen  Nun erklären wir, wie die GIT-Folge die (lineare) Stabilität periodischer Bahnen topologisch kodiert, und vergleichen sie mit den Grundbegriffen der Krein-Theorie und dem Stabilitätssatz von Krein–Moser. Wir erklären auch, wie man Satz A erhält.  Wir folgen der Darstellung in Ekelands Buch [Eke90] (siehe auch [Ab01]). Betrachten Sie eine lineare symplektische Differentialgleichung   Man kann zeigen, dass die Differentialgleichung x˙ = JA(t)x genau dann (stark) stabil ist, wenn R(T) (stark) stabil ist [Eke90]. Darüber hinaus ist Stabilität äquivalent dazu, dass R(T) diagonalisierbar ist (d.h. alle Eigenwerte sind halb-einfach) und sein Spektrum im Einheitskreis liegt [Eke90].  Betrachten wir nun ein elliptisches Paar {λ, λ} von Eigenwerten einer symplektischen Matrix R. Dann wird jede andere symplektische Matrix in der Nähe von R auch einfache Eigenwerte im Einheitskreis haben, die von ±1 verschieden sind (sonst müsste sich ein Eigenwert in zwei aufspalten, da jeder Eigenwert in Quadrupeln vorkommt, was bei eindimensionalen Eigenräumen nicht möglich ist). Daher ist R in dieser Situation stark stabil. Der Fall von Eigenwerten mit höherer Multiplizität wird über die Krein-Theorie behandelt. Immer wenn zwei elliptische Eigenwerte zusammenkommen, ergibt dies ein Kriterium dafür, wann sie unmöglich den Kreis verlassen und in ein komplexes Quadrupel übergehen können. Dies funktioniert wie folgt.   wenn x, y die entsprechenden Eigenvektoren sind. Wenn wir außerdem die verallgemeinerten Eigenräume betrachten     Wenn λ ein Eigenwert der symplektischen Matrix R mit |λ| = 1 ist, dann wird die Signatur (p, q) von Gλ als Krein-Typ oder Krein-Signatur von λ bezeichnet. Wenn q = 0, d. h. Gλ ist positiv definit, dann heißt λ Krein-positiv. Wenn p = 0, d. h. Gλ ist negativ definit, dann heißt λ Krein-negativ. Wenn λ entweder Krein-negativ oder Krein-positiv ist, dann nennen wir es Krein-definit. Andernfalls nennen wir es Krein-indefinit. Definition A.2. (Krein-Positivität/Negativität)  Wenn λ vom Krein-Typ (p, q) ist, dann ist λ vom Krein-Typ (q, p) [Eke90]. Wenn λ |λ| = 1 erfüllt und nicht halb-einfach ist, dann ist es leicht zu zeigen, dass es Krein-indefinit ist [Eke90]. Darüber hinaus sind ±1 immer Krein-indefinit, wenn sie Eigenwerte sind, da sie reelle Eigenvektoren x haben, die daher G-isotrop sind, d. h. G(x, x) = 0. Das Folgende, ursprünglich von Krein in [Kre1; Kre2; Kre3; Kre4] bewiesen und unabhängig davon von Moser in [M78] wiederentdeckt, gibt eine Charakterisierung der starken Stabilität in Begriffen der Krein-Theorie:     Satz 3 (Krein–Moser). R ist genau dann stark stabil, wenn es stabil ist und alle seine Eigenwerte Krein-definit sind.  Siehe [   ] für einen Beweis. Beachten Sie, dass dies den Fall verallgemeinert, in dem alle Eigenwerte einfach sind, sich von ±1 unterscheiden und im Einheitskreis liegen, wie oben diskutiert. Die GIT-Sequenz ist nun wie folgt mit der Krein-Theorie verknüpft. Eke90     Proposition A.1 ([FM]). Für eine Wonenburger-Matrix stimmt die Krein-Signatur mit der B-Signatur für elliptische Eigenwerte überein.    Als einfaches Beispiel zur Veranschaulichung von Proposition A.1 betrachten wir die Wonenburger-Matrizen  Beispiel A.3.  Als Folgerung aus dem Krein-Moser-Theorem und der Proposition A.1 erhalten wir Folgendes.       Theorem 4. Sei R eine Wonenburger-Matrix. Dann ist R genau dann stark stabil, wenn es stabil ist und alle seine Eigenwerte B-definit sind.  In höheren Dimensionen wird die Frage, ob ein gegebener hochmultiplizitäts elliptischer oder hyperbolischer Eigenwert einer Wonenburger-Matrix zu einem komplexen Quadrupel gestört werden kann, dadurch bestimmt, ob seine B-Signatur eindeutig ist oder nicht; siehe z. B. Abbildung 9 und Bemerkung 5.2. Dies liefert einen topologischen Beweis des Krein-Moser-Theorems in allen Dimensionen und verallgemeinert ihn tatsächlich für den hyperbolischen Fall, im Fall von Wonenburger-Matrizen, wodurch Theorem A in der Einleitung bewiesen wird.  Verweise  [Ab01] Abbondandolo, Alberto. Morsetheorie für Hamiltonsche Systeme. Chapman & Hall/CRC Research Notes in Mathematics, 425. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2001. xii+189 S. ISBN: 1-58488- 202-6  [Ay22] Aydin, Cengiz. Von babylonischen Mondbeobachtungen zu Floquet-Multiplikatoren und Conley-Zehnder-Indizes. Preprint arXiv:2206.07803, 2022.  [AFKM] Aydin, Cengiz; Frauenfelder, Urs; Koh, Dayung; Moreno, Agustin. Symplektische Methoden im Weltraummissionsdesign. Proceedings der AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Conference 2023, 2023.  [Br69] Broucke, R. Stabilität periodischer Bahnen im elliptischen, eingeschränkten Dreikörperproblem. AIAA J. 7,1003 (1969).  [Eke90] Ekeland, Ivar. Konvexitätsmethoden in der Hamiltonmechanik. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 19. Springer-Verlag, Berlin, 1990. x+247 S. ISBN: 3-540-50613-6  [FM] Frauenfelder, Urs; Moreno, Agustin. Über GIT-Quotienten der symplektischen Gruppe, Stabilität und Bifurkationen periodischer Orbits, Journal of Symplectic Geometry. Erscheint bald.  [FMb] Frauenfelder, Urs; Moreno, Agustin. Über doppelt symmetrische periodische Umlaufbahnen. Celestial Mechanics & Dynamical Astronomy, 135 (2023), Nr. 2, Beitrag Nr. 20.  [HD98] Howard, James E.; Dullin, Holger R. Lineare Stabilität natürlicher symplektischer Karten. Phys. Lett. A 246 (1998), Nr. 3-4, 273–283.  [HM87] Howard, JE; MacKay, RS Berechnung linearer Stabilitätsgrenzen für Gleichgewichte hamiltonscher Systeme. Phys. Lett. A 122 (1987), Nr. 6-7, 331–334.  Kre1] Krein, M.: Verallgemeinerung bestimmter Untersuchungen von AM Liapunov über lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten. Doklady Akad. Nauk USSR 73 (1950) 445-448.  Krein, M.: Über die Anwendung eines algebraischen Satzes in der Theorie der Monodromiematrizen. Uspekhi Math. Nauk 6 (1951) 171-177.  [Kre3] Krein, M.: Zur Theorie ganzer Matrixfunktionen vom Exponentialtyp. Ukrainian Math. Journal 3 (1951) 164-173.  [Kre4] Krein, M.: Über einige Maximum- und Minimumprobleme für charakteristische Zahlen und Liapunov-Stabilitätszonen. Prikl. Math. Mekh. 15 (1951) 323-348.  [M78] Moser, Jürgen. Ein Fixpunktsatz in der symplektischen Geometrie. Acta Math. 141 (1978), Nr. 1-2, 17–34.  (A. Moreno) Universität Heidelberg, Mathematisches Institut, Heidelberg, Deutschland E-Mail-Adresse: agustin.moreno2191@gmail.com  (F. Ruscelli) Universität Heidelberg, Mathematisches Institut, Heidelberg, Deutschland E-Mail-Adresse: fruscelli@mathi.uni-heidelberg.de  Dieses Dokument ist   . auf arxiv unter der Lizenz CC BY-NC-SA 4.0 DEED verfügbar

Part of HackerNoon's growing list of open-source research papers, promoting free access to academic material.

Read My Stories

Unearthing the internet's best research and examples of graph theory in real world applications.

Graph Theory's blog

Dieses Audio ist in der Originalsprache der Geschichte produziert!

Zu lang; Lesen

Boost your HackerNoon story @ $159.99! 🚀

Anhang A. Stabilität, Krein-Moser-Theorem, Verfeinerungen und Referenzen

About Author

KOMMENTARE

Hängeetiketten

DIESER ARTIKEL WURDE VORGESTELLT IN

Related Stories

HackerNoon Decoded 2024: Celebrating Our Startups Community!

HackerNoon Decoded 2024: Celebrating Our Writing Community!

HackerNoon Decoded: The Top 10 Countries Where HackerNoon Is the Most Active

HackerNoon Decoded 2024: Celebrating Our Startups Community!

HackerNoon Decoded 2024: Celebrating Our Writing Community!

HackerNoon Decoded: The Top 10 Countries Where HackerNoon Is the Most Active

Light-Mode

Classic

Newspaper

Dark-Mode

Neon Noir

Minty

HN StartUps