Sie könnten sich in Bezug auf die Wahrscheinlichkeit irren

Wahrscheinlichkeit hat mich schon immer fasziniert. Es bildet das verborgene Rückgrat des maschinellen Lernens und der künstlichen Intelligenz. Ich hatte die Gelegenheit, es in der Schule und am College zu studieren. Aber erst als ich Kurse über Bayes'sche Statistik belegte, wurde mir klar, wie falsch mein Verständnis davon war.

Vielleicht sind Sie schon einmal auf die Frage gestoßen: „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim Werfen einer Münze Kopf zu bekommen?“? Wenn Ihre Antwort 1/2 ist, denken Sie noch einmal darüber nach. Hier wird es interessant.

Mathematik wird im Allgemeinen als „konsistent“ betrachtet. Wir gehen davon aus, dass ein Problem immer die gleiche Lösung hat, egal wie wir es lösen. Es stimmt, außer wenn es um die Wahrscheinlichkeit geht. Der Grund dafür ist, dass der Begriff Wahrscheinlichkeit an sich zwar ein klar definiertes Konzept ist, wir aber in realen Szenarien über ihn und seine verschiedenen Interpretationen sprechen.

Für die Wahrscheinlichkeit gibt es drei verschiedene Interpretationen oder Rahmenwerke. Die Annäherung an dasselbe Problem mit diesen Definitionen könnte zu unterschiedlichen (und gültigen) Antworten führen.

Um dies zu veranschaulichen, betrachten wir das folgende Problem. Wir werden es mit allen drei Wahrscheinlichkeitsrechnungen lösen. Allen Frameworks ist gemeinsam, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit aller Ergebnisse eines Experiments immer 1 beträgt.

„Mein Freund Sovit hat mir eine Münze gegeben. Er hat mir nicht gesagt, ob die Münze fair ist oder nicht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei dieser Münze „Kopf“ zu bekommen?“

Klassischer Rahmen

Es ist das einfachste Framework in Bezug auf Wahrscheinlichkeit. Es ist auch am einfachsten zu verstehen.

Der klassische Rahmen besagt, dass „gleich wahrscheinliche Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben“.

Bei dem obigen Problem wissen wir nicht, ob die Münze fair ist. Wir können nicht sagen, ob es genauso wahrscheinlich ist, Kopf zu bekommen wie Zahl. Daher können wir dieses Problem nicht mit dem klassischen Framework lösen.

Aber um die Verwendung dieses Frameworks zu veranschaulichen, gehen wir davon aus, dass die Münze fair ist. Das bedeutet, dass es genauso wahrscheinlich ist, Kopf zu bekommen wie Zahl. Da dies die einzigen beiden möglichen Ergebnisse sind und die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 beträgt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu bekommen, 1/2 .

Das klassische Framework sieht vielleicht rudimentär aus, ist aber auch das am häufigsten missbrauchte Framework. Argumente wie „Entweder gibt es Leben auf dem Mars oder nicht, und daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Leben auf dem Mars existiert, 1/2 “ sind falsch. Denn der klassische Rahmen funktioniert nur, wenn die Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. In diesem Fall sind Existenz und Nichtexistenz von Leben auf dem Mars nicht gleichermaßen wahrscheinlich.

Frequentistisches Framework

Es ist eines der am häufigsten verwendeten Frameworks für Wahrscheinlichkeit. Wenn Sie ein Wahrscheinlichkeitsproblem gelöst haben, haben Sie wahrscheinlich dafür das frequentistische Framework verwendet.

Der frequentistische Rahmen besagt, dass wir zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ein Experiment durchführen und das Ergebnis beobachten müssen. Wiederholen Sie das Experiment unendlich oft. Und die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist P(E) = Count(favorable outcomes) / Count(total outcomes) .

In der Praxis können wir ein Experiment nicht unendlich oft durchführen. Wir machen es also endlich oft. Für unser Problem führen wir das Experiment 10 durch. Nehmen wir an, dass wir 6 Köpfe und 4 Zahlen haben. Die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu bekommen, beträgt also 0.6 .

Der frequentistische Rahmen weist auch Einschränkungen auf. Betrachten Sie das Problem, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass es morgen regnen wird. Per Definition brauchen wir unendlich viele Paralleluniversen. Dann müssten wir das Morgen in jedem dieser Universen beobachten und diejenigen zählen, in denen es regnet.

Aber es ist nicht möglich. Außerdem: Warum sollten wir die Regenwahrscheinlichkeit für morgen berechnen, wenn wir morgen beobachten können?

Bayesianisches Framework

Es ist eines der am häufigsten verwendeten Frameworks für Wahrscheinlichkeit. Es ist auch am einfachsten zu verstehen, aber es ist schwierig, damit zu arbeiten.

Das Bayesianische Rahmenwerk besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses das ist, was Sie denken. Es geht mehr um Ihre persönliche Perspektive. Sie schauen sich Cricket an und Sachin Tendulkar ist 94 alt. Sie behaupten, dass die Wahrscheinlichkeit, dass er ein Jahrhundert erreicht, bei 90% liegt. Das ist Ihre Bayes'sche Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.

Bisher haben wir es in den oben genannten beiden Frameworks versäumt, uns auf andere Schlüsselinformationen des Problems zu konzentrieren: „Mein Freund Sovit hat mir die Münze gegeben.“ Sovit ist mein Freund und ich kenne ihn. Er hat mir in der Vergangenheit andere Münzen geschenkt. Nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit, dass diese Münzen den Kopf verdrehen, bei 0.4 liegt.

Man nennt es „vorherige“ Informationen. Die beiden oben genannten Frameworks bieten keine Möglichkeit, es zu verwenden. Hier glänzt das Bayes'sche Framework. Es ermöglicht uns, sowohl die Vorinformationen als auch die Daten zu verwenden, im Gegensatz zum frequentistischen Framework, das nur auf Daten basiert.

Wir müssen davon ausgehen, wie sehr wir unserer Vergangenheit vertrauen und wie sehr wir unseren Daten vertrauen. Nehmen wir an, wir vertrauen beiden 50% (Gewichtungen genannt). Die Kopfwahrscheinlichkeit wäre dann ein gewichteter Durchschnitt aus Prior und Daten: 0.5 * 0.4 + 0.5 * 0.6 = 0.5 .

Das Bayesianische Framework kann realistischere Antworten liefern, indem es vorherige Informationen nutzt. Wir müssen jedoch Annahmen über die Gewichte treffen. Hier liegt der entscheidende Kritikpunkt. Da wir Annahmen treffen, ist es möglich, dass die Ergebnisse aufgrund unserer Vorurteile verzerrt werden.

Daher ist die Aussage, dass die Wahrscheinlichkeit, bei einer fairen Münze „Kopf“ zu bekommen, 1/2 beträgt, nicht wahr. Das stimmt nur, wenn wir über den klassischen Rahmen sprechen. Auch die Aussage, dass die Wahrscheinlichkeit, bei einer Münze, die 6 Mal Kopf und 4 Mal Zahl ergab, Kopf zu bekommen, bei einem Experiment mit 10 Würfen 0.6 beträgt, ist falsch.

Das stimmt nur, wenn wir über den frequentistischen Rahmen sprechen. Du hast die Idee. Daher ist es wichtig, die Rahmenwerke im Auge zu behalten, die wir bei der Angabe der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses verwenden.

Hier dreht sich alles um die Wahrscheinlichkeit und die unterschiedlichen Rahmenbedingungen. Lassen Sie mich in den Kommentaren wissen, ob Sie das genauso umgehauen hat wie ich. Wenn Ihnen der Artikel gefallen hat, klatschen Sie mir.

Ressourcen

1. Kurse, die ich über Bayes'sche Statistik absolviert habe: Bayes'sche Statistik: Vom Konzept zur Datenanalyse und Bayes'sche Statistik: Techniken und Modelle .