Mutationen nichtkommutativer Crepant-Auflösungen: Anwendungen auf vollständige Calabi-Yau-Schnittpunkte

Linktabelle

• Zusammenfassung und Einleitung
• Austausch und Mutation von modifizierenden Modulen
• Quasisymmetrische Darstellung und GIT-Quotient
• Wichtigste Ergebnisse
• Anwendungen für komplette Kreuzungen von Calabi und Yau
• Anhang A. Matrixfaktorisierungen
• Anhang B. Liste der Notation
• Verweise

5. Anwendungen für komplette Kreuzungen von Calabi und Yau

Daher ergibt (5.A) und (5.B) eine Äquivalenz

Satz 5.1. Die Einschränkung von (5.F

zu einem magischen Fenster und dem Funktor (5.G)

sind Äquivalenzen.

Da der Bottom-Funktor nach Theorem A.5 eine Äquivalenz ist, gilt dies auch für (5.G).

für abgeleitete Faktorisierungskategorien ist eine Äquivalenz nach Theorem A.5.

Das Folgende zeigt, dass die Äquivalenzen der Magic Windows, die die Gruppenaktion (5.D) erzeugen, Mutationsfunktoren zwischen nichtkommutativen Matrixfaktorisierungen entsprechen.

Beweis . Wir zeigen nur, dass das linke Quadrat kommutativ ist, da die Kommutativität des rechten aus einem ähnlichen Argument folgt. Betrachten Sie das folgende Diagramm

kommutiert, wobei die vertikalen Äquivalenzen die Kompositionen von (5.C) und (5.H) sind.

Lemma 5.5. Es gibt einen Isomorphismus

wobei der erste Isomorphismus aus Lemma A.6 folgt. Damit ist der Beweis abgeschlossen.

Das Folgende ist eine Verallgemeinerung von [KO, Theorem 8.5], die wir mit einem ähnlichen Argument wie in loc. cit. beweisen.

Lemma 5.6. Das folgende Diagramm kommutiert.

Es genügt also zu zeigen, dass es einen natürlichen Isomorphismus gibt

Nach Lemma 5.6 gibt es einen Isomorphismus

Beweis von Korollar 5.3. Der Einfachheit halber schreiben wir

Daher folgt die Behauptung aus Theorem 5.2.

[1] Obwohl [HSh] nur Komplexe diskutiert, gibt es ähnliche Funktoren und semiorthogonale Zerlegungen für Matrixfaktorisierungen nach [BFK2], so dass in unserem Zusammenhang eine ähnliche Argumentation wie in [HSh] funktioniert.