Forfattere: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Resumé Akkumulering af fysiske fejl , , forhindrer udførelsen af storskalaalgoritmer i nuværende kvantecomputere. Kvantefejlkorrektion lover en løsning ved at kode logiske qubits ind i et større antal fysiske qubits, således at de fysiske fejl undertrykkes tilstrækkeligt til at tillade kørsel af en ønsket beregning med acceptabel nøjagtighed. Kvantefejlkorrektion bliver praktisk realiserbar, når den fysiske fejlrate er under en tærskelværdi, der afhænger af valget af kvantekode, syndrommålingskredsløb og afkodningsalgoritme . Vi præsenterer en ende-til-ende kvantefejlkorrektionsprotokol, der implementerer fejltolerant hukommelse baseret på en familie af lav-densitets paritetstjek-koder (LDPC) . Vores tilgang opnår en fejl-tærskel på 0,7 % for den standardkredsløbsbaserede støjmodel, på niveau med overfladekoden , , , som i 20 år var den førende kode med hensyn til fejl-tærskel. Syndrommålingscyklussen for en længde- kode i vores familie kræver ancillære qubits og et dybt kredsløb på 8 med CNOT-gates, qubit-initialiseringer og målinger. Den krævede qubit-konnektivitet er en grad-6 graf bestående af to kant-disjunkte plane subgrafer. Vi viser især, at 12 logiske qubits kan bevares i næsten 1 million syndromcyklusser ved hjælp af i alt 288 fysiske qubits, forudsat den fysiske fejlrate er 0,1 %, mens overfladekoden ville kræve næsten 3.000 fysiske qubits for at opnå den nævnte ydeevne. Vores resultater bringer demonstrationer af fejltolerant kvantehukommelse med lav overhead inden for rækkevidde af kvanteprocessorer på kort sigt. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Hovedpunkter Kvanteberegning har tiltrukket opmærksomhed på grund af sin evne til at tilbyde asymptotisk hurtigere løsninger på en række beregningsproblemer sammenlignet med de bedste kendte klassiske algoritmer . Det menes, at en fungerende skalerbar kvantecomputer kan hjælpe med at løse beregningsproblemer inden for områder som videnskabelig opdagelse, materialeforskning, kemi og lægemiddeldesign, for blot at nævne nogle få , , , . 5 11 12 13 14 Den største forhindring for at bygge en kvantecomputer er skrøbeligheden af kvanteinformation, på grund af forskellige støjkilder, der påvirker den. Da isolering af en kvantecomputer fra ydre effekter og styring af den til at inducere en ønsket beregning er i konflikt med hinanden, synes støj at være uundgåelig. Støjkilderne omfatter ufuldkommenheder i qubits, anvendte materialer, styringsudstyr, tilstandsforberedelse og målingsfejl samt en række eksterne faktorer lige fra lokalt menneskeskabte, såsom strøende elektromagnetiske felter, til dem, der er iboende i universet, såsom kosmisk stråling. Se ref. for en oversigt. Mens nogle støjkilder kan elimineres med bedre kontrol , materialer og afskærmning , , , synes flere andre kilder at være svære, hvis ikke umulige, at fjerne. Den sidste type kan omfatte spontan og stimuleret emission i fangne ioner , , og interaktionen med badet (Purcell-effekt) i superledende kredsløb — som dækker begge førende kvanteteknologier. Således bliver fejlkorrektion et nøglekrav for at bygge en fungerende skalerbar kvantecomputer. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 Muligheden for kvantefejltolerance er velunderbygget . Kodning af en logisk qubit redundant i mange fysiske qubits gør det muligt at diagnosticere og korrigere fejl ved gentagne målinger af syndromer af paritetstjek-operatorer. Fejlkorrektion er dog kun gavnlig, hvis hardwarens fejlrate er under en bestemt tærskelværdi, der afhænger af en bestemt fejlkorrektionsprotokol. De første forslag til kvantefejlkorrektion, såsom konkatenrede koder , , , fokuserede på at demonstrere den teoretiske mulighed for fejlsundertrykkelse. Efterhånden som forståelsen af kvantefejlkorrektion og kvanteteknologiers kapaciteter modnedes, skiftede fokus til at finde praktiske kvantefejlkorrektionsprotokoller. Dette resulterede i udviklingen af overfladekoden , , , som tilbyder en høj fejl-tærskel tæt på 1%, hurtige afkodningsalgoritmer og kompatibilitet med eksisterende kvanteprocessorer, der er afhængige af todimensionel (2D) gitterstruktur-qubit-konnektivitet. Små eksempler på overfladekoden med en enkelt logisk qubit er allerede blevet demonstreret eksperimentelt af flere grupper , , , , . Skalering af overfladekoden til 100 eller flere logiske qubits ville dog være uoverkommeligt dyrt på grund af dens dårlige kodningseffektivitet. Dette har vakt interesse for mere generelle kvantekoder kendt som low-density parity-check (LDPC) koder . Nylige fremskridt i studiet af LDPC-koder tyder på, at de kan opnå kvantefejltolerance med en meget højere kodningseffektivitet . Her fokuserer vi på studiet af LDPC-koder, da vores mål er at finde kvantefejlkorrektionskoder og protokoller, der er både effektive og mulige at demonstrere i praksis, givet begrænsningerne i kvanteberegningsteknologier. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 En kvantefejlkorrektionskode er af LDPC-typen, hvis hver tjekoperator i koden kun virker på få qubits, og hver qubit deltager i kun få tjek. Flere varianter af LDPC-koder er for nylig blevet foreslået, herunder hyperbolske overfladekoder , , , hypergrafprodukt , balancerede produktkoder , to-blokkoder baseret på endelige grupper , , , og kvante-tanner-koder , . Sidstnævnte er vist , at være asymptotisk ‘gode’ i den forstand at tilbyde en konstant kodningsrate og lineær afstand: en parameter, der kvantificerer antallet af korrigerbare fejl. I modsætning hertil har overfladekoden en asymptotisk nul kodningsrate og kun kvadratrodsafstand. Udskiftning af overfladekoden med en LDPC-kode med høj rate og høj afstand kunne have store praktiske implikationer. For det første kunne fejltolerans-overheadet (forholdet mellem antallet af fysiske og logiske qubits) reduceres bemærkelsesværdigt. For det andet viser høj-afstandskoder et meget skarpt fald i den logiske fejlrate: når den fysiske fejl sandsynlighed krydser tærskelværdien, kan mængden af fejlsundertrykkelse opnået af koden øges med størrelsesordener, selv med en lille reduktion af den fysiske fejlrate. Denne funktion gør LDPC-koder med høj afstand attraktive for demonstrationer på kort sigt, der sandsynligvis vil operere i nær-tærskelregimet. Det blev dog tidligere antaget, at overgå overfladekoden for realistiske støjmodeller, herunder hukommelses-, gate- og tilstandsforberedelses- og målingsfejl, kan kræve meget store LDPC-koder med mere end 10.000 fysiske qubits . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Her præsenterer vi flere konkrete eksempler på LDPC-koder med høj rate og få hundrede fysiske qubits, udstyret med et lav-dybt syndrommålingskredsløb, en effektiv afkodningsalgoritme og en fejltolerant protokol til adressering af individuelle logiske qubits. Disse koder viser en fejl-tærskel tæt på 0,7%, viser fremragende ydeevne i nær-tærskelregimet og tilbyder en 10-dobbel reduktion af kodnings-overheadet sammenlignet med overfladekoden. Hardwarekrav til realisering af vores fejlkorrektionsprotokoller er relativt milde, da hver fysisk qubit er koblet med to-qubit gates med kun seks andre qubits. Selvom qubit-konnektivitetsgrafen ikke er lokalt indlejret i et 2D-gitter, kan den dekomponeres i to plane subgrafer. Som vi argumenterer nedenfor, er en sådan qubit-konnektivitet velegnet til arkitekturer baseret på superledende qubits. Vores koder er en generalisering af cykelkoder foreslået af MacKay et al. og studeret i dybere detaljer i ref. , , . Vi kaldte vores koder bivariate cykel (BB), fordi de er baseret på bivariate polynomier, som detaljeret beskrevet i . Disse er stabilisatorkoder af Calderbank–Shor–Steane (CSS) typen , , som kan beskrives ved en samling af seks-qubit tjek (stabilisator) operatorer bestående af Pauli og . På et højt niveau ligner en BB-kode den todimensionelle torisk kode . Især kan de fysiske qubits i en BB-kode placeres på et todimensionelt gitter med periodiske grænsebetingelser, således at alle tjekoperatorer opnås fra et enkelt par af og tjek ved at anvende vandrette og lodrette forskydninger af gitteret. I modsætning til plade- og vertexstabilisatorerne, der beskriver den toriske kode, er tjekoperatorer for BB-koder ikke geometrisk lokale. Desuden virker hvert tjek på seks qubits i stedet for fire qubits. Vi vil beskrive koden ved en Tanner-graf , således at hver vertex i repræsenterer enten en datakubit eller en tjekoperator. En tjek-vertex og en datavértex er forbundet af en kant, hvis -te tjekoperator virker ikke-trivielt på den -te datakubit (ved at anvende Pauli eller ). Se Fig. for eksempler på Tanner-grafer for overflade- og BB-koder. Tanner-grafen for enhver BB-kode har vertex-grad seks og graf-tykkelse lig med to, hvilket betyder, at den kan dekomponeres i to kant-disjunkte plane subgrafer ( ). Tykkelse-2 qubit-konnektivitet er velegnet til superledende qubits koblet via mikrobølgeresonatorer. For eksempel kan to plane lag af kobler og deres kontrol-linjer fastgøres til toppen og bunden af chippen, der huser qubits, og de to sider kan samles. 41 35 36 42 Metoder 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 Metoder , Tannergraf af en overfladekode, til sammenligning. , Tannergraf af en BB-kode med parametre [] indlejret i en torus. Enhver kant af Tannergrafen forbinder en datavértex og en tjek-vértex. Datakubits associeret med registre ( ) og ( ) vises som blå og orange cirkler. Hver vértex har seks tilstødende kanter, inklusive fire kortrækkende kanter (pegende nord, syd, øst og vest) og to langtrækkende kanter. Vi viser kun et par langtrækkende kanter for at undgå rod. Stiplede og ubrudte kanter indikerer to plane subgrafer, der spænder over Tannergrafen, se . , Skitse af en Tannergrafudvidelse til måling af og ifølge ref. , som tilslutter sig en overfladekode. Ancillaen svarende til målingen kan forbindes til en overfladekode, hvilket muliggør load-store operationer for alle logiske qubits ved hjælp af kvanteteleportering og nogle logiske unitarier. Denne udvidede Tannergraf har også en implementering i en tykkelse-2 arkitektur gennem og kanter ( ). a b q L q R Metoder c 50 A B Metoder En BB-kode med parametre [[ , , ]] koder logiske qubits ind i datakubits, der tilbyder en kodens afstand , hvilket betyder, at enhver logisk fejl spænder over mindst datakubits. Vi opdeler datakubits i registre ( ) og ( ) af størrelse /2 hver. Ethvert tjek virker på tre qubits fra ( ) og tre qubits fra ( ). Koden afhænger af ancillære tjek-qubits til måling af fejl-syndromet. Vi opdeler tjek-qubits i registre ( ) og ( ) af størrelse /2, der opsamler syndromer af og typer, henholdsvis. Samlet set afhænger kodningen af 2 fysiske qubits. Den netto kodningsrate er derfor = /(2 ). For eksempel koder standard overfladekodearkitekturen = 1 logisk qubit ind i = 2 datakubits for en kode med afstand og bruger − 1 tjek-qubits til syndrommålinger. Den netto kodningsrate er ≈ 1/(2 2), hvilket hurtigt bliver upraktisk, da man tvinges til at vælge en stor kodens afstand, for eksempel på grund af, at de fysiske fejl ligger tæt på tærskelværdien. I modsætning hertil har BB-koder en kodningsrate ≫ 1/ 2, se Tabel for kodeeksempler. Så vidt vi ved, er alle koder vist i Tabel nye. Afstands-12 koden [] kan være den mest lovende for demonstrationer på kort sigt, da den kombinerer stor afstand og høj netto kodningsrate = 1/24. Til sammenligning har afstand-11 overfladekoden en netto kodningsrate = 1/241. Nedenfor viser vi, at afstand-12 BB-koden overgår afstand-11 overfladekoden for det eksperimentelt relevante område af fejl-rater. n k d k n d d n q L q R n q L q R n n q X q Z n X Z n r k n k n d d n r d r d 1 1 r r For at forhindre akkumulering af fejl skal man kunne måle fejl-syndromet hyppigt nok. Dette opnås ved et syndrommålingskredsløb, der kobler datakubits i støtten af hver tjekoperator med den respektive ancillære qubit via en sekvens af CNOT-gates. Tjek-qubits måles derefter og afslører værdien af fejl-syndromet. Den tid, det tager at implementere syndrommålingskredsløbet, er proportional med dets dybde: antallet af gate-lag, der består af ikke-overlappende CNOTs. Da nye fejl fortsætter med at opstå, mens syndrommålingskredsløbet udføres, bør dets dybde minimeres. Hele cyklussen af syndrommåling for en BB-kode er illustreret i Fig. . Syndromcyklussen kræver kun syv lag af CNOTs uafhængigt af kodens længde. Tjek-qubits initialiseres og måles henholdsvis i starten og slutningen af syndromcyklussen (se for detaljer). Kredsløbet respekterer den cykliske forskydnings-symmetri af den underliggende kode. 2 Metoder Komplet cyklus af syndrommålinger, der afhænger af syv lag af CNOTs. Vi giver et lokalt billede af kredsløbet, der kun inkluderer én datakubit fra hvert register ( ) og ( ). Kredsløbet er symmetrisk under vandrette og lodrette forskydninger af Tannergrafen. Hver datakubit er koblet via CNOTs med tre *X-*tjek og tre *Z-*tjek qubits: se for flere detaljer. q L q R Metoder Den fulde fejlkorrektionsprotokol udfører c ≫ 1 syndrommålingscyklusser og kalder derefter en afkoder: en klassisk algoritme, der tager de målte syndromer som input og giver et gæt af den endelige fejl på datakubits. Fejlkorrektion lykkes, hvis det gættede og det faktiske fejl sammenfalder modulo et produkt af tjekoperatorer. I dette tilfælde har de to fejl samme virkning på enhver kodet (logisk) tilstand. Anvendelse af den inverse af den gættede fejl bringer derfor datakubits tilbage til den oprindelige logiske tilstand. Ellers, hvis den gættede og den faktiske fejl afviger med en ikke-triviel logisk operator, fejler fejlkorrektionen, hvilket resulterer i en logisk fejl. Vores numeriske eksperimenter er baseret på belief propagation med en ordnet statistik-afkoder (BP-OSD) foreslået af Panteleev og Kalachev . Det oprindelige arbejde beskrev BP-OSD i sammenhæng med en legetøjsstøjmodel med kun hukommelsesfejl. Her viser vi, hvordan man udvider BP-OSD til den kredsløbsbaserede støjmodel, se for detal N 36 36 Supplerende Information
