Autors: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Resum L'acumulació d'errors físics impedeix l'execució d'algorismes a gran escala en els computadors quàntics actuals. La correcció d'errors quàntics promet una solució codificant *k* cúbits lògics en un nombre major *n* de cúbits físics, de manera que els errors físics es suprimeixen prou per permetre l'execució d'un càlcul desitjat amb una fidelitat tolerable. La correcció d'errors quàntics esdevé pràcticament realitzable un cop la taxa d'error física està per sota d'un valor llindar que depèn de l'elecció del codi quàntic, el circuit de mesura de síndromes i l'algorisme de decodificació. Presentem un protocol de correcció d'errors quàntics de principi a fi que implementa memòria tolerant a fallades sobre la base d'una família de codis de paritat de baixa densitat (LDPC). El nostre enfocament assoleix un llindar d'error del 0,7% per al model de soroll estàndard basat en circuits, a l'alçada del codi de superfície que durant 20 anys va ser el codi líder en termes de llindar d'error. El cicle de mesura de síndromes per a un codi de longitud *n* de la nostra família requereix *n* cúbits auxiliars i un circuit de profunditat 8 amb portes CNOT, inicialitzacions de cúbits i mesures. La connectivitat de cúbits requerida és un graf de grau 6 compost per dos subgrafs plans disjunts per arestes. En particular, demostrem que 12 cúbits lògics es poden preservar durant gairebé 1 milió de cicles de síndromes utilitzant 288 cúbits físics en total, assumint una taxa d'error física del 0,1%, mentre que el codi de superfície requeriria gairebé 3.000 cúbits físics per assolir aquest rendiment. Les nostres troballes posen les demostracions de memòria quàntica tolerant a fallades de baix overhead a l'abast dels processadors quàntics a curt termini. Principal La computació quàntica va atreure l'atenció per la seva capacitat d'oferir solucions asimptòticament més ràpides a un conjunt de problemes computacionals en comparació amb els millors algorismes clàssics coneguts. Es creu que un ordinador quàntic escalable funcional pot ajudar a resoldre problemes computacionals en àrees com el descobriment científic, la investigació de materials, la química i el disseny de fàrmacs, per citar-ne alguns. L'obstacle principal per construir un ordinador quàntic és la fragilitat de la informació quàntica, deguda a diverses fonts de soroll que l'afecten. Atès que aïllar un ordinador quàntic dels efectes externs i controlar-lo per induir un càlcul desitjat estan en conflicte, el soroll sembla inevitable. Les fonts de soroll inclouen imperfeccions en els cúbits, els materials utilitzats, l'aparell de control, errors en la preparació de l'estat i la mesura, i una varietat de factors externs que van des de factors artificials locals, com camps electromagnètics dispersos, fins a aquells inherents a l'Univers, com els raigs còsmics. Vegeu la ref. per a un resum. Mentre que algunes fonts de soroll es poden eliminar amb un millor control, materials i blindatge, diverses altres fonts semblen difícils, si no impossibles, d'eliminar. L'últim tipus pot incloure emissió espontània i estimulada en ions atrapats i la interacció amb el bany (efecte Purcell) en circuits superconductors, cobrint les dues tecnologies quàntiques principals. Per tant, la correcció d'errors es converteix en un requisit clau per construir un ordinador quàntic escalable funcional. La possibilitat de tolerància a fallades quàntiques està ben establerta. Codificar redundantment un cúbit lògic en molts cúbits físics permet diagnosticar i corregir errors mesurant repetidament síndromes d'operadors de paritat. Tanmateix, la correcció d'errors només és beneficiosa si la taxa d'error del maquinari està per sota d'un cert valor llindar que depèn d'un protocol de correcció d'errors particular. Les primeres propostes per a la correcció d'errors quàntics, com els codis concatenats, es van centrar en demostrar la possibilitat teòrica de supressió d'errors. A mesura que la comprensió de la correcció d'errors quàntics i les capacitats de les tecnologies quàntiques van madurar, l'enfocament es va desplaçar cap a la cerca de protocols pràctics de correcció d'errors quàntics. Això va resultar en el desenvolupament del codi de superfície que ofereix un llindar d'error alt a prop de l'1%, algorismes de decodificació ràpids i compatibilitat amb els processadors quàntics existents que depenen de la connectivitat de cúbits en una xarxa quadrada bidimensional (2D). Ja s'han demostrat experimentalment petits exemples del codi de superfície amb un sol cúbit lògic per diversos grups. No obstant això, escalar el codi de superfície a 100 o més cúbits lògics seria prohibitiu a causa de la seva baixa eficiència de codificació. Això va despertar interès en codis quàntics més generals coneguts com a codis de paritat de baixa densitat (LDPC). Els progressos recents en l'estudi dels codis LDPC suggereixen que poden assolir la tolerància a fallades quàntiques amb una eficiència de codificació molt més alta. Aquí, ens centrem en l'estudi dels codis LDPC, ja que el nostre objectiu és trobar codis i protocols de correcció d'errors quàntics que siguin eficients i possibles de demostrar en la pràctica, donades les limitacions de les tecnologies de computació quàntica. Un codi de correcció d'errors quàntics és de tipus LDPC si cada operador de verificació del codi actua només sobre uns pocs cúbits i cada cúbit participa en només unes poques verificacions. S'han proposat diverses variants dels codis LDPC recentment, incloent codis de superfície hiperbòlics, producte de grafs hiperbòlics, codis de producte equilibrat, codis de dos blocs basats en grups finits i codis de Tanner quàntics. Aquests últims s'ha demostrat que són asimptòticament "bons" en el sentit d'oferir una taxa de codificació constant i una distància lineal: un paràmetre que quantifica el nombre d'errors corregibles. En canvi, el codi de superfície té una taxa de codificació asimptòticament zero i només una distància de la qual s'obté l'arrel quadrada. Substituir el codi de superfície per un codi LDPC d'alta taxa i alta distància podria tenir implicacions pràctiques importants. En primer lloc, l'overhead de tolerància a fallades (la relació entre el nombre de cúbits físics i lògics) podria reduir-se notablement. En segon lloc, els codis d'alta distància mostren una disminució molt pronunciada en la taxa d'error lògic: a mesura que la probabilitat d'error física creua el valor llindar, la quantitat de supressió d'errors assolida pel codi pot augmentar en ordres de magnitud fins i tot amb una petita reducció de la taxa d'error física. Aquesta característica fa que els codis LDPC d'alta distància siguin atractius per a demostracions a curt termini que probablement operaran en el règim proper al llindar. Tanmateix, anteriorment es creia que superar el codi de superfície per a models de soroll realistes que inclouen errors de memòria, porta i preparació d'estat i mesura podria requerir codis LDPC molt grans amb més de 10.000 cúbits físics. Aquí presentem diversos exemples concrets de codis LDPC d'alta taxa amb uns pocs centenars de cúbits físics equipats amb un circuit de mesura de síndromes de baixa profunditat, un algorisme de decodificació eficient i un protocol tolerant a fallades per abordar cúbits lògics individuals. Aquests codis mostren un llindar d'error proper al 0,7%, presenten un rendiment excel·lent en el règim proper al llindar i ofereixen una reducció de 10 vegades de l'overhead de codificació en comparació amb el codi de superfície. Els requisits de maquinari per implementar els nostres protocols de correcció d'errors són relativament suaus, ja que cada cúbit físic està acoblat per portes de dos cúbits amb només sis altres cúbits. Tot i que el graf de connectivitat de cúbits no és incrustable localment en una xarxa 2D, es pot descompondre en dos subgrafs plans. Com argumentem a continuació, aquesta connectivitat de cúbits és adequada per a arquitectures basades en cúbits superconductors. Els nostres codis són una generalització dels codis de bicicleta proposats per MacKay et al. i estudiats amb més profunditat en les ref.. Anomenem els nostres codis bicicleta bivariant (BB) perquè es basen en polinomis bivariants, com es detalla en els . Aquests són codis estabilitzadors del tipus Calderbank–Shor–Steane (CSS) que es poden descriure mitjançant una col·lecció d'operadors de verificació (estabilitzador) de sis cúbits compostos per Pauli *X* i *Z*. A un nivell alt, un codi BB és similar al codi toròïdal bidimensional. En particular, els cúbits físics d'un codi BB es poden disposar en una xarxa bidimensional amb condicions de contorn periòdiques de manera que tots els operadors de verificació s'obtenen d'un sol parell de verificacions *X* i *Z* aplicant desplaçaments horitzontals i verticals de la xarxa. Tanmateix, a diferència dels estabilitzadors de plaques i vèrtex que descriuen el codi toròïdal, els operadors de verificació dels codis BB no són localment geomètrics. A més, cada verificació actua sobre sis cúbits en lloc de quatre. Descriurem el codi mitjançant un graf de Tanner *G* de manera que cada vèrtex de *G* representa un cúbit de dades o un operador de verificació. Un vèrtex de verificació *i* i un vèrtex de dades *j* estan connectats per una aresta si l'operador de verificació *i*-ès actua de manera no trivial sobre el cúbit de dades *j*-ès (aplicant Pauli *X* o *Z*). Vegeu la Fig. 1a,b per a exemples de grafs de Tanner de codis de superfície i BB, respectivament. El graf de Tanner de qualsevol codi BB té un grau de vèrtex sis i un gruix de graf igual a dos, la qual cosa significa que es pot descompondre en dos subgrafs plans disjunts per arestes ( ). La connectivitat de cúbits de gruix dos és molt adequada per a qubits superconductors acoblats per ressonadors de microones. Per exemple, es poden acoblar dues capes planes de acobladors i les seves línies de control a la part superior i inferior del xip que allotja els qubits, i les dues parts es poden aparellar. Mètodes Mètodes , Graf de Tanner d'un codi de superfície, per a comparació. , Graf de Tanner d'un codi BB amb paràmetres [] incrustat en un torus. Qualsevol aresta del graf de Tanner connecta un vèrtex de dades i un de verificació. Els qubits de dades associats als registres *q*(*L*) i *q*(*R*) es mostren amb cercles blaus i taronges. Cada vèrtex té sis arestes incidents, incloent quatre arestes de curt abast (que apunten al nord, sud, est i oest) i dues arestes de llarg abast. Només mostrem unes poques arestes de llarg abast per evitar la confusió. Les arestes discontínues i contínues indiquen dos subgrafs plans que abasten el graf de Tanner, vegeu els . , Esquemàtic d'una extensió del graf de Tanner per mesurar i segons la ref., connectant-se a un codi de superfície. L'auxiliar corresponent a la mesura de es pot connectar a un codi de superfície, permetent operacions de càrrega-emmagatzematge per a tots els cúbits lògics mitjançant teletransport quàntic i algunes unitats lògiques. Aquest graf de Tanner estès també té una implementació en una arquitectura de gruix 2 a través de les arestes *A* i *B* ( ). a b Mètodes c Mètodes Un codi BB amb paràmetres [[*n*, *k*, *d*]] codifica *k* cúbits lògics en *n* cúbits de dades que ofereixen una distància de codi *d*, la qual cosa significa que qualsevol error lògic abasta almenys *d* cúbits de dades. Dividim *n* cúbits de dades en registres *q*(*L*) i *q*(*R*) de mida *n*/2 cadascun. Qualsevol verificació actua sobre tres qubits de *q*(*L*) i tres de *q*(*R*). El codi es basa en *n* cúbits auxiliars de verificació per mesurar la síndrome d'error. Dividim *n* qubits de verificació en registres *q*(*X*) i *q*(*Z*) de mida *n*/2 que recullen síndromes de tipus *X* i *Z*, respectivament. En total, la codificació es basa en 2*n* cúbits físics. La taxa de codificació neta és, per tant, *r* = *k*/(2*n*). Per exemple, l'arquitectura estàndard del codi de superfície codifica *k* = 1 cúbit lògic en *n* = *d* cúbits de dades per a un codi de distància-*d* i utilitza *n* − 1 cúbits de verificació per a mesures de síndromes. La taxa de codificació neta és *r* ≈ 1/(2*d* ), la qual cosa esdevé ràpidament impràctica a mesura que un es veu obligat a triar una distància de codi gran, degut, per exemple, a que els errors físics estan a prop del valor llindar. En canvi, els codis BB tenen una taxa de codificació *r* ≫ 1/*d* , vegeu la Taula 1 per a exemples de codis. Fins on sabem, tots els codis mostrats a la Taula 1 són nous. El codi de distància-12 [] pot ser el més prometedor per a demostracions a curt termini, ja que combina una gran distància i una alta taxa de codificació neta *r* = 1/24. Per comparació, el codi de superfície de distància-11 té una taxa de codificació neta *r* = 1/241. A continuació, demostrem que el codi BB de distància-12 supera el codi de superfície de distància-11 per al rang de taxes d'error rellevant experimentalment. 2 2 2 Per prevenir l'acumulació d'errors, cal ser capaç de mesurar la síndrome d'error amb prou freqüència. Això s'aconsegueix mitjançant un circuit de mesura de síndromes que acobla els cúbits de dades en el suport de cada operador de verificació amb el qubit auxiliar respectiu mitjançant una seqüència de portes CNOT. Els qubits de verificació es mesuren llavors revelant el valor de la síndrome d'error. El temps que triga a implementar el circuit de mesura de síndromes és proporcional a la seva profunditat: el nombre de capes de portes compostes per CNOT no superposades. Com que nous errors continuen produint-se mentre s'executa el circuit de mesura de síndromes, la seva profunditat s'ha de minimitzar. El cicle complet de mesura de síndromes per a un codi BB s'il·lustra a la Fig. 2. El cicle de síndromes requereix només set capes de CNOT independentment de la longitud del codi. Els qubits de verificació s'inicialitzen i es mesuren al principi i al final del cicle de síndromes respectivament (vegeu els per a més detalls). El circuit respecta la simetria de desplaçament cíclic del codi subjacent. Mètodes Cicle complet de mesures de síndromes basat en set capes de CNOT. Proporcionem una vista local del circuit que només inclou un cúbit de dades de cada registre *q*(*L*) i *q*(*R*). El circuit és simètric sota desplaçaments horitzontals i verticals del graf de Tanner. Cada cúbit de dades està acoblat per CNOTs amb tres qubits de verificació *X* i tres *Z*; vegeu els per a més detalls. Mètodes El protocol complet de correcció d'errors realitza *N* ≫ 1 cicles de mesura de síndromes i després crida a un decodificador: un algorisme clàssic que pren com a entrada les síndromes mesurades i produeix una conjectura de l'error final en els cúbits de dades. La correcció d'errors té èxit si la conjectura i l'error real coincideixen mòdul un producte d'operadors de verificació. En aquest cas, els dos errors tenen la mateixa acció sobre qualsevol estat lògic codificat. Per tant, aplicar l'invers de l'error conjecturat retorna els qubits de dades a l'estat lògic inicial. Altrament, si la conjectura i l'error real difereixen per un operador lògic no trivial, la correcció d'errors falla resultant en un error lògic. Els nostres experiments numèrics es basen en la propagació per creences amb un decodificador d'estadístiques ordenades (BP-OSD) proposat per Panteleev i Kalachev. El treball original va descriure el BP-OSD en el context d'un model de soroll de joguina només amb errors de memòria. Aquí demostrem com estendre el BP-OSD al model de soroll basat en circuits, vegeu la per a més detalls. El nostre enfocament segueix de prop les ref.. c Informació Suplementària Un versió sorollosa del circuit de mesura de síndromes pot incloure diversos tipus d'operacions defectuoses com errors de memòria en cúbits de dades o verificació inactius, portes CNOT defectuoses, inicialitzacions i mesures de cúbits. Considerem el model de soroll basat en circuits en el qual cada operació falla independentment amb probabilitat *p*. La probabilitat d'un error lògic *p* depèn de la taxa d'error *p*, dels detalls dels circuits de mesura de síndromes i de l'algorisme de decodificació. Sigui *P* (*N* ) la probabilitat d'error lògic després de realitzar *N* cicles de síndromes. Definim la taxa d'error lògic com . Informalment, *p* es pot veure com la probabilitat d'error lògic per cicle de síndromes. Seguint la pràctica comuna, triem *N* = *d* per a un codi de distància-*d*. La figura 3 mostra la taxa d'error lògic assolida pels codis de la Taula 1. La taxa d'error lògic es va calcular numèricament per a *p* ≥ 10 i s'extrapola a taxes d'error inferiors utilitzant una fórmula de ajust ( ). El pseudo-llindar *p* es defineix com una solució de l'equació de punt d'equilibri *p* (*p*) = *k* *p*. Aquí *k* *p* és una estimació de la probabilitat que almenys un de *k* qubits no codificats pateixi un error. Els codis BB ofereixen un pseudo-llindar proper al 0,7%, vegeu la Taula 1, que és gairebé el mateix que el llindar d'error del codi de superfície i supera el llindar de tots els codis LDPC d'alta taxa coneguts pels autors. L L c c L c −3 Mètodes 0 L , Taxa d'error lògic versus física per a petits exemples de codis LDPC BB. Una estimació numèrica de *p* (diamants) es va obtenir simulant *d* cicles de síndromes per a un codi de distància-*d*. La majoria dels punts de dades tenen barres d'error aproximadament iguals a *p* /10 degut a errors de mostreig. , Comparació entre el codi LDPC BB [] i codis de superfície amb 12 cúbits lògics i distància *d* ∈ {9, 11, 13, 15}. El codi de superfície de distància-*d* amb 12 cúbits lògics té una longitud *n* = 12*d* perquè cada cúbit lògic s'encodifica en una porció *d* × *d* separada de la xarxa del codi de superfície. a L L b 2 Per exemple, suposem que la taxa d'error física és *p* = 10 , que és un objectiu realista per a demostracions a curt termini. La codificació de 12 cúbits lògics utilitzant el codi de distància-12 de la Taula 1 oferiria una taxa d'error lògic de 2 × 10 , que és suficient per preservar 12 cúbits lògics durant gairebé 1 milió de cicles de síndromes. El nombre total de cúbits físics requerits per a aquesta codificació és 288. El codi de distància-18 de la Taula 1 requeriria 576 cúbits físics, mentre que la supressió de la taxa d'error de 10 a 2 × 10 permetria gairebé cent mil milions de cicles de síndromes. Per comparació, la codificació de 12 cúbits lògics en porcions separades del codi de superfície requeriria més de 3.000 cúbits físics per suprimir la taxa d'error de 10 a 10 (Fig. 3). En aquest exemple, el codi BB de distància-12 ofereix un estalvi de 10 vegades en el nombre de cúbits físics en comparació amb el codi de superfície. −3 −7 −3 −12 −3 −7 Una proposta per a la correcció d'errors quàntics només és útil si els cúbits lògics són accessibles. Afortunadament, els codis LDPC BB posseeixen les característiques requerides per actuar com a memòria lògica. Com es mostra a la Fig. 1c, les extensions del graf de Tanner que aprofiten tècniques de Cohen et al. permeten operacions de mesura tolerants a fallades que involucren un codi de superfície auxiliar. Aquestes mesures faciliten operacions de càrrega-emmagatzematge tolerants a fallades, transportant cúbits dins i fora del codi BB. Vegeu la per a més detalls. Informació Suplementària El nostre treball destaca reptes clau de maquinari per permetre els nous codis amb cúbits superconductors: (1) el desenvolupament de segones capes de baixes pèrdues en l'arquitectura de gruix 2; (2) el desenvolupament de cúbits que es puguin acoblar a set connexions (sis busos i una línia de control); i (3) el desenvolupament d'acobladors de llarg abast. Tots aquests són difícils de resoldre però no impossibles. Per al primer repte, podem imaginar un petit canvi en l'empaquetament que es va desenvolupar per al processador IBM Quantum Eagle. El més senzill seria col·locar els busos addicionals al costat oposat del xip de cúbits. Això requeriria el desenvolupament de vies a través del substrat d'alt *Q* que formarien part dels busos d'acoblament i, com a tal, requeriria simulacions de microones intensives per assegurar-se que aquestes vies a través del substrat poguessin suportar la propagació de microones sense introduir una gran diafonia no desitjada. El segon repte és una extensió del nombre d'acobladors des de la disposició de la xarxa pesada hexagonal, que és quatre (tres acobladors i un control) a set. La implicació d'això és que la porta de ressonància creuada, que ha estat la porta central utilitzada en grans sistemes quàntics durant els últims anys, no seria el camí a seguir. Els cúbits en portes de ressonància creuada no són sintonitzables i, per tant, per a un dispositiu gran amb moltes connexions, la probabilitat de col·lisions d'energia (no només els nivells de cúbits sinó també els nivells superiors del transmon) tendeix a un molt ràpidament. Tanmateix, amb l'acoblador sintonitzable en IBM Quantum Egret i ara en desenvolupament per a IBM Quantum Heron, aquest problema ja no existeix, ja que les freqüències dels cúbits es poden dissenyar per ser més separades. Aquesta nova porta també és similar a les portes utilitzades per Google Quantum AI, que han demostrat que una disposició de xarxa quadrada és possible. Estendre el mapa d'acoblament a set connexions requerirà una modelització de microones notable; tanmateix, els transmons típics tenen uns 60 fF de capacitat i cada porta té uns 5 fF per obtenir les forces d'acoblament adequades als busos, per la qual cosa és fonamentalment possible desenvolupar aquest mapa d'acoblament sense alterar els llargs temps de coherència i la estabilitat dels qubits de transmon. El repte final és el més difícil. Per als busos que són prou curts perquè es pugui utilitzar el mode fonamental, s'aplica el model estàndard de circuit quàntic electrodinàmic. Tanmateix, per demostrar el codi de 144 qubits, alguns dels busos seran prou llargs com per requerir enginyeria de freqüències. Una manera d'aconseguir-ho és amb ressonadors de filtratge, i es va demostrar un experiment de prova de principi a la ref.. En resum, oferim una nova perspectiva sobre com es podria realitzar una memòria quàntica tolerant a fallades utilitzant processadors quàntics a curt termini amb un petit overhead de cúbits. Tot i que aquests codis LDPC no són geomètricament locals, la connectivitat de qubits requerida per a les mesures de síndromes es descriu per un graf de gruix 2 que es pot implementar utilitzant dues capes planes de acobladors de qubits. Aquesta és una solució arquitectònica vàlida per a plataformes basades en qubits superconductors. Les simulacions numèriques realitzades per al model de soroll basat en circuits indiquen que els codis LDPC proposats es comparen favorablement amb el codi de superfície en el rang pràcticament rellevant de taxes d'error *p* ≥ 0,1% oferint el mateix nivell de supressió d'errors amb una reducció de 10 vegades en l'overhead de qubits. Mentrestant, encara no està clar si els nostres exemples de codis es poden escalar mantenint l'alta taxa de codificació en el límit de llargada de codi gran. Mètodes Construcció del codi Comencem amb una definició formal dels codis BB. Siguin *I
