লেখকগণ: নিরেজা সুন্দরেশন থিওডোর জে. ইওডার ইয়ংসেওক কিম Muyuan Li এডওয়ার্ড এইচ. চেন গ্রেস হার্পার টেড থোরবেক অ্যান্ড্রু ডব্লিউ. ক্রস আন্তোনিও ডি. কোরকোলেস মাইকা তাকিতা সারসংক্ষেপ কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন উচ্চ বিশ্বস্ততা কোয়ান্টাম গণনা সম্পাদনের জন্য একটি আশাব্যঞ্জক পথ সরবরাহ করে। যদিও অ্যালগরিদমের সম্পূর্ণ ফল্ট-টলারেন্ট এক্সিকিউশন এখনও উপলব্ধি করা যায়নি, কন্ট্রোল ইলেকট্রনিক্স এবং কোয়ান্টাম হার্ডওয়্যারের সাম্প্রতিক উন্নতি ত্রুটি সংশোধনের জন্য প্রয়োজনীয় ক্রিয়াকলাপগুলির ক্রমবর্ধমান উন্নত প্রদর্শন সক্ষম করে। এখানে, আমরা একটি হেভি-হেক্সাগন ল্যাটিসে সংযুক্ত সুপারকন্ডাক্টিং কিউবিটগুলিতে কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন সম্পাদন করি। আমরা দূরত্ব তিনের একটি লজিক্যাল কিউবিট এনকোড করি এবং ফল্ট-টলারেন্ট সিনড্রোম পরিমাপের একাধিক রাউন্ড সম্পাদন করি যা সার্কিট্রিতে যেকোনো একক ত্রুটির সংশোধন করার অনুমতি দেয়। রিয়েল-টাইম ফিডব্যাকের মাধ্যমে, আমরা প্রতিটি সিনড্রোম নিষ্কাশন চক্রের পরে শর্তসাপেক্ষে সিনড্রোম এবং ফ্ল্যাগ কিউবিটগুলি পুনরায় সেট করি। আমরা লিকেজ পোস্ট-সিলেক্টেড ডেটাতে ~0.040 (~0.088) এবং ~0.037 (~0.087) এর Z(X)-বেসিস প্রতি সিনড্রোম পরিমাপে গড় লজিক্যাল ত্রুটি সহ, ডিকোডার-নির্ভর লজিক্যাল ত্রুটির রিপোর্ট করি। ভূমিকা কোয়ান্টাম গণনার ফলাফলগুলি ব্যবহারিক ক্ষেত্রে হার্ডওয়্যারের ত্রুটির কারণে ত্রুটিপূর্ণ হতে পারে। ফলস্বরূপ ত্রুটিগুলি দূর করতে, কোয়ান্টাম তথ্যকে সুরক্ষিত, লজিক্যাল ডিগ্রি অফ ফ্রীডমে এনকোড করার জন্য কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন (QEC) কোড ব্যবহার করা যেতে পারে, এবং তারপরে ত্রুটিগুলি জমা হওয়ার চেয়ে দ্রুত সংশোধন করে ফল্ট-টলারেন্ট (FT) গণনা সক্ষম করা যেতে পারে। QEC-এর একটি সম্পূর্ণ এক্সিকিউশনের জন্য সম্ভবত প্রয়োজন হবে: লজিক্যাল স্টেট প্রস্তুত করা; লজিক্যাল গেটগুলির একটি সার্বজনীন সেট উপলব্ধি করা, যার জন্য ম্যাজিক স্টেট প্রস্তুত করা প্রয়োজন হতে পারে; সিনড্রোমের বারবার পরিমাপ; এবং ত্রুটি সংশোধনের জন্য সিনড্রোম ডিকোড করা। সফল হলে, ফলস্বরূপ লজিক্যাল ত্রুটির হারগুলি অন্তর্নিহিত ফিজিক্যাল ত্রুটির হারের চেয়ে কম হওয়া উচিত এবং কোডের দূরত্ব বৃদ্ধির সাথে সাথে নগণ্য মানে হ্রাস পাওয়া উচিত। একটি QEC কোড নির্বাচন করার জন্য অন্তর্নিহিত হার্ডওয়্যার এবং এর ত্রুটির বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করা প্রয়োজন। একটি হেভি-হেক্সাগন ল্যাটিস¹'² কিউবিটগুলির জন্য, সাবসিস্টেম QEC কোড³ আকর্ষণীয় কারণ সেগুলি সীমিত সংযোগ সহ কিউবিটগুলির জন্য ভালভাবে উপযুক্ত। অন্যান্য কোডগুলি তাদের তুলনামূলকভাবে উচ্চ FT থ্রেশহোল্ড⁴ বা ট্রান্সভার্সাল লজিক্যাল গেটের বড় সংখ্যার⁵ কারণে প্রতিশ্রুতি দেখিয়েছে। যদিও তাদের স্থান এবং সময়ের ওভারহেড স্কেলেবিলিটির জন্য একটি উল্লেখযোগ্য বাধা তৈরি করতে পারে, কিছু ত্রুটি প্রশমনের আকারে ব্যবহার করে সবচেয়ে ব্যয়বহুল সংস্থানগুলি হ্রাস করার জন্য উৎসাহী পদ্ধতি বিদ্যমান⁶। ডিকোডিং প্রক্রিয়ায়, সফল সংশোধন শুধুমাত্র কোয়ান্টাম হার্ডওয়্যারের কর্মক্ষমতার উপর নির্ভর করে না, বরং সিনড্রোম পরিমাপ থেকে প্রাপ্ত ক্লাসিক্যাল তথ্য অর্জন এবং প্রক্রিয়াকরণের জন্য ব্যবহৃত কন্ট্রোল ইলেকট্রনিক্সের বাস্তবায়নের উপরও নির্ভর করে। আমাদের ক্ষেত্রে, পরিমাপ চক্রগুলির মধ্যে রিয়েল-টাইম ফিডব্যাকের মাধ্যমে সিনড্রোম এবং ফ্ল্যাগ কিউবিট উভয়কে ইনিশিয়ালাইজ করা ত্রুটিগুলি প্রশমিত করতে সাহায্য করতে পারে। ডিকোডিং স্তরে, যদিও FT ফরমালিজমের মধ্যে QEC অ্যাসিঙ্ক্রোনাসভাবে সম্পাদন করার জন্য কিছু প্রোটোকল বিদ্যমান⁷'⁸, ত্রুটির সিনড্রোমগুলি যে হারে প্রাপ্ত হয় তা সিনড্রোম ডেটার ক্রমবর্ধমান ব্যাকলগ এড়াতে তাদের ক্লাসিক্যাল প্রক্রিয়াকরণের সময়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হওয়া উচিত। এছাড়াও, কিছু প্রোটোকল, যেমন একটি লজিক্যাল *T*-গেটের জন্য ম্যাজিক স্টেট ব্যবহার করা⁹, রিয়েল-টাইম ফিড-ফরওয়ার্ড প্রয়োগের প্রয়োজন হয়। সুতরাং, QEC-এর দীর্ঘমেয়াদী দৃষ্টিভঙ্গি একটি একক চূড়ান্ত লক্ষ্যের দিকে তাকাচ্ছে না বরং গভীর আন্তঃসম্পর্কিত কাজগুলির একটি ধারাবাহিকতা হিসাবে দেখা উচিত। এই প্রযুক্তির উন্নয়নে পরীক্ষামূলক পথ প্রথমে এই কাজগুলির পৃথক প্রদর্শন এবং পরে তাদের ক্রমবর্ধমান সংমিশ্রণ নিয়ে গঠিত হবে, সর্বদা তাদের সংশ্লিষ্ট মেট্রিকগুলি ক্রমাগত উন্নত করার সময়। বিভিন্ন ফিজিক্যাল প্ল্যাটফর্মে কোয়ান্টাম সিস্টেমগুলিতে অনেক সাম্প্রতিক অগ্রগতিতে এই অগ্রগতির কিছু প্রতিফলিত হয়েছে, যা FT কোয়ান্টাম কম্পিউটিংয়ের জন্য কাঙ্ক্ষিত কিছু দিক প্রদর্শন বা আনুমানিক করেছে। বিশেষ করে, FT লজিক্যাল স্টেট প্রস্তুতি আয়ন¹⁰, হীরার নিউক্লিয়ার স্পিন¹¹ এবং সুপারকন্ডাক্টিং কিউবিট¹²-এ প্রদর্শিত হয়েছে। ছোট ত্রুটি সনাক্তকরণ কোড¹³'¹⁴-এ সুপারকন্ডাক্টিং কিউবিটগুলিতে সিনড্রোম নিষ্কাশনের পুনরাবৃত্তিমূলক চক্র দেখানো হয়েছে, যার মধ্যে আংশিক ত্রুটি সংশোধন¹⁵ এবং একটি সার্বজনীন (যদিও FT নয়) একক-কিউবিট গেটের সেট¹⁶। আয়ন¹⁷-এ দুটি লজিক্যাল কিউবিটের উপর একটি সার্বজনীন গেট সেটের একটি FT প্রদর্শন সম্প্রতি রিপোর্ট করা হয়েছে। ত্রুটি সংশোধনের ক্ষেত্রে, ডিকোডিং¹⁸ এবং পোস্ট-সিলেকশন¹⁹ সহ সুপারকন্ডাক্টিং কিউবিটগুলিতে দূরত্ব-3 সারফেস কোডের সাম্প্রতিক উপলব্ধি হয়েছে, সেইসাথে কালার কোড²⁰ ব্যবহার করে একটি FT ডায়নামিকালি সুরক্ষিত কোয়ান্টাম মেমরির এবং আয়ন¹⁷'²¹-এ বেকন-শোর কোডে একটি FT স্টেট প্রস্তুতি, অপারেশন এবং পরিমাপ, এর স্ট্যাবিলাইজার সহ, FT বাস্তবায়ন হয়েছে। এখানে আমরা সুপারকন্ডাক্টিং কিউবিট সিস্টেমের রিয়েল-টাইম ফিডব্যাক ক্ষমতাকে একটি সর্বোচ্চ সম্ভাব্য ডিকোডিং প্রোটোকলের সাথে একত্রিত করি যা লজিক্যাল স্টেটগুলির উত্তরোত্তর ক্ষমতা উন্নত করার জন্য hitherto পরীক্ষামূলকভাবে অনাবিষ্কৃত। আমরা এই সরঞ্জামগুলি একটি সুপারকন্ডাক্টিং কোয়ান্টাম প্রসেসরে একটি সাবসিস্টেম কোড²²-এর FT অপারেশন, হেভি-হেক্সাগন কোড¹-এর অংশ হিসাবে প্রদর্শন করি। এই কোডটিকে ফল্ট-টলারেন্ট করার জন্য আমাদের বাস্তবায়নের জন্য অপরিহার্য হল ফ্ল্যাগ কিউবিটগুলি যা, যখন নন-জিরো পাওয়া যায়, তখন সার্কিট ত্রুটিগুলির জন্য ডিকোডারকে সতর্ক করে। প্রতিটি সিনড্রোম পরিমাপ চক্রের পরে ফ্ল্যাগ এবং সিনড্রোম কিউবিটগুলি শর্তসাপেক্ষে রিসেট করে, আমরা শক্তির শিথিলকরণের অন্তর্নিহিত ত্রুটির প্রতিসাম্য থেকে উদ্ভূত ত্রুটিগুলির বিরুদ্ধে আমাদের সিস্টেমকে রক্ষা করি। আমরা আরও সম্প্রতি বর্ণিত ডিকোডিং কৌশলগুলি²³ ব্যবহার করি এবং ডিকোডিং ধারণাগুলি সর্বোচ্চ সম্ভাব্য ধারণাগুলি¹⁵'²⁴'²⁵ অন্তর্ভুক্ত করার জন্য প্রসারিত করি। ফলাফল হেভি-হেক্সাগন কোড এবং মাল্টি-রাউন্ড সার্কিট আমরা যে হেভি-হেক্সাগন কোডটি বিবেচনা করি তা হল একটি *n* = 9 কিউবিট কোড যা *k* = 1 লজিক্যাল কিউবিটকে দূরত্ব *d* = 3¹ এনকোড করে। Z এবং X গেজ (চিত্র ১a দেখুন) এবং স্ট্যাবিলাইজার গ্রুপগুলি দ্বারা উত্পন্ন হয় স্ট্যাবিলাইজার গ্রুপগুলি হল সংশ্লিষ্ট গেজ গ্রুপগুলির কেন্দ্র। এর মানে হল স্ট্যাবিলাইজারগুলি, গেজ অপারেটরগুলির গুণফল হিসাবে, শুধুমাত্র গেজ অপারেটরগুলির পরিমাপ থেকে বোঝা যায়। লজিক্যাল অপারেটরগুলিকে *XL* = *X*1*X*2*X*3 এবং *ZL* = *Z*1*Z*3*Z*7 হিসাবে বেছে নেওয়া যেতে পারে। *Z* (নীল) এবং *X* (লাল) গেজ অপারেটরগুলি (সমীকরণ ১ এবং ২) দূরত্ব-৩ হেভি-হেক্সাগন কোড সহ প্রয়োজনীয় ২৩টি কিউবিটে ম্যাপ করা হয়েছে। কোড কিউবিটগুলি (*Q*1–*Q*9) হলুদ রঙে দেখানো হয়েছে, *Z* স্ট্যাবিলাইজারগুলির জন্য ব্যবহৃত সিনড্রোম কিউবিটগুলি (*Q*17, *Q*19, *Q*20, *Q*22) নীল রঙে, এবং *X* স্ট্যাবিলাইজারগুলিতে ব্যবহৃত ফ্ল্যাগ কিউবিট এবং সিনড্রোমগুলি সাদা রঙে। প্রতিটি উপ-বিভাগের (০ থেকে ৪) মধ্যে CX গেটগুলি যে ক্রমে এবং দিকে প্রয়োগ করা হয় তা সংখ্যাযুক্ত তীর দ্বারা নির্দেশিত হয়। **খ** প্রতিটি সিনড্রোম পরিমাপ রাউন্ডের সার্কিট ডায়াগ্রাম, *X* এবং *Z* উভয় স্ট্যাবিলাইজার সহ। সার্কিট ডায়াগ্রাম গেট অপারেশনগুলির অনুমোদিত সমান্তরালতা প্রদর্শন করে: শিডিউলিং বাধা (উল্লম্ব ড্যাশড ধূসর রেখা) দ্বারা সেট করা সীমার মধ্যে থাকাগুলি। যেহেতু প্রতিটি দ্বি-কিউবিট গেটের সময়কাল ভিন্ন, চূড়ান্ত গেট শিডিউলিং একটি স্ট্যান্ডার্ড যথাসম্ভব-দেরী সার্কিট ট্রান্সপিলেশন পাস দিয়ে নির্ধারিত হয়; তারপরে ডায়নামিকাল ডিকাপলিং ডেটা কিউবিটগুলিতে যুক্ত করা হয় যেখানে সময় অনুমতি দেয়। পরিমাপ এবং রিসেট অপারেশনগুলি অন্যান্য গেট অপারেশনগুলি থেকে বাধা দ্বারা বিচ্ছিন্ন করা হয় যাতে আইডলিং ডেটা কিউবিটগুলিতে অভিন্ন ডায়নামিকাল ডিকাপলিং যুক্ত করা যায়। **গ** *Z* এবং **ঘ** *X* স্ট্যাবিলাইজার পরিমাপের তিনটি রাউন্ডের ডিকোডিং গ্রাফ এবং সার্কিট-স্তরের ত্রুটি *X* এবং *Z* ত্রুটিগুলি সংশোধন করার অনুমতি দেয়, যথাক্রমে। গ্রাফে নীল এবং লাল নোডগুলি পার্থক্য সিনড্রোমের সাথে মিলে যায়, যখন কালো নোডগুলি সীমানা। প্রান্তগুলি পাঠ্যে বর্ণিত সার্কিটে ত্রুটিগুলি ঘটতে পারে এমন বিভিন্ন উপায় এনকোড করে। নোডগুলি স্ট্যাবিলাইজার পরিমাপের (Z বা X) ধরণ দ্বারা লেবেলযুক্ত, একটি সাবস্ক্রিপ্ট স্ট্যাবিলাইজারকে সূচিত করে এবং সুপারস্ক্রিপ্টগুলি রাউন্ডকে বোঝায়। **ঙ** কালো প্রান্তগুলি, কোড কিউবিটগুলিতে পলি Y ত্রুটি থেকে উদ্ভূত (এবং তাই কেবল আকারের-২), **গ** এবং **ঘ**-এর দুটি গ্রাফকে সংযুক্ত করে, তবে ম্যাচিং ডিকোডারে ব্যবহার করা হয় না। **চ** আকারের-৪ হাইপারএজগুলি, যা ম্যাচিং দ্বারা ব্যবহৃত হয় না, তবে সর্বোচ্চ সম্ভাব্য ডিকোডারে ব্যবহৃত হয়। স্পষ্টতার জন্য কেবল রঙ ব্যবহার করা হয়েছে। সময় দ্বারা প্রতিটিকে এক রাউন্ড দ্বারা অনুবাদ করাও একটি বৈধ হাইপারএজ (সময় সীমানায় কিছু বৈচিত্র্য সহ) দেয়। এছাড়াও কোনও আকারের-৩ হাইপারএজ দেখানো হয়নি। ক এখানে আমরা একটি বিশেষ FT সার্কিটের উপর আলোকপাত করি, আমাদের অনেক কৌশল বিভিন্ন কোড এবং সার্কিট সহ আরও সাধারণভাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। দুটি সাব-সার্কিট, চিত্র ১b-এ দেখানো হয়েছে, X- এবং Z-গেজ অপারেটরগুলি পরিমাপ করার জন্য নির্মিত হয়েছে। Z-গেজ পরিমাপ সার্কিট ফ্ল্যাগ কিউবিটগুলি পরিমাপ করে দরকারী তথ্য অর্জন করে। আমরা নয়টি কিউবিটকে Z() অবস্থায় প্রস্তুত করে এবং X-গেজ (Z-গেজ) পরিমাপ করে লজিক্যাল |0⟩ (|1⟩) স্টেট প্রস্তুত করি। আমরা তারপর সিনড্রোম পরিমাপের *r* রাউন্ড সম্পাদন করি, যেখানে একটি রাউন্ডে একটি Z-গেজ পরিমাপ এবং তারপরে একটি X-গেজ পরিমাপ (যথাক্রমে, X-গেজ এবং তারপরে Z-গেজ) অন্তর্ভুক্ত থাকে। অবশেষে, আমরা Z (X) বেসিসে নয়টি কোড কিউবিটই রিডআউট করি। আমরা নয়টি কিউবিটকে যথাক্রমে |+⟩ এবং |−⟩ অবস্থায় প্রস্তুত করে প্রাথমিক লজিক্যাল স্টেট |+⟩ এবং |−⟩ এর জন্যও একই পরীক্ষাগুলি সম্পাদন করি। ডিকোডিং অ্যালগরিদম FT কোয়ান্টাম কম্পিউটিংয়ের সেটিংয়ে, একটি ডিকোডার হল একটি অ্যালগরিদম যা একটি ত্রুটি সংশোধন কোড থেকে সিনড্রোম পরিমাপ ইনপুট হিসাবে নেয় এবং কিউবিট বা পরিমাপ ডেটাতে একটি সংশোধন আউটপুট দেয়। এই বিভাগে আমরা দুটি ডিকোডিং অ্যালগরিদম বর্ণনা করব: পারফেক্ট ম্যাচিং ডিকোডিং এবং ম্যাক্সিমাম লাইকলিহুড ডিকোডিং। ডিকোডিং হাইপারগ্রাফ¹⁵ FT সার্কিট দ্বারা সংগৃহীত তথ্যের একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ এবং একটি ডিকোডিং অ্যালগরিদমকে উপলব্ধ করে। এটি ভার্টেক্স বা ত্রুটি-সংবেদনশীল ইভেন্টগুলির একটি সেট *V*, এবং হাইপারএজগুলির একটি সেট *E* নিয়ে গঠিত, যা সার্কিটে ত্রুটি দ্বারা সৃষ্ট ইভেন্টগুলির মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক এনকোড করে। চিত্র ১c-f আমাদের পরীক্ষার জন্য ডিকোডিং হাইপারগ্রাফের অংশগুলি চিত্রিত করে। পলি ত্রুটি সহ স্ট্যাবিলাইজার সার্কিটগুলির জন্য একটি ডিকোডিং হাইপারগ্রাফ তৈরি করা স্ট্যান্ডার্ড গটেসম্যান-নিল সিমুলেশন²⁵ বা অনুরূপ পলি ট্রেসিং কৌশল²⁶ ব্যবহার করে করা যেতে পারে। প্রথমত, ত্রুটি-মুক্ত সার্কিটে ডিটারমিনিস্টিক পরিমাপের জন্য একটি ত্রুটি-সংবেদনশীল ইভেন্ট তৈরি করা হয়। একটি ডিটারমিনিস্টিক পরিমাপ *M* হল যেকোনো পরিমাপ যার ফলাফল *m* ∈ {0, 1} একটি পূর্ববর্তী পরিমাপের সেট *F* থেকে মডিউলো দুই পরিমাপের ফলাফল যোগ করে পূর্বাভাস দেওয়া যেতে পারে। অর্থাৎ, একটি ত্রুটি-মুক্ত সার্কিটের জন্য, *m* = ∑ *f* (mod 2), যেখানে *F* সেটটি সার্কিটের সিমুলেশন দ্বারা খুঁজে পাওয়া যেতে পারে। ত্রুটি-সংবেদনশীল ইভেন্টের মান *m* − *F* (mod 2) সেট করুন, যা ত্রুটির অনুপস্থিতিতে শূন্য (একে তুচ্ছও বলা হয়)। সুতরাং, একটি নন-জিরো (একে নন-ট্রিভিয়ালও বলা হয়) ত্রুটি-সংবেদনশীল ইভেন্ট পর্যবেক্ষণ করা বোঝায় যে সার্কিটটি অন্তত একটি ত্রুটির শিকার হয়েছে। আমাদের সার্কিটগুলিতে, ত্রুটি-সংবেদনশীল ইভেন্টগুলি হয় ফ্ল্যাগ কিউবিট পরিমাপ বা একই স্ট্যাবিলাইজার পরিমাপের পরবর্তী পরিমাপের পার্থক্য (যাকে পার্থক্য সিনড্রোমও বলা হয়)। *M* *f*∈*F* *M* *M* *M* এরপরে, সার্কিট ত্রুটিগুলি বিবেচনা করে হাইপারএজগুলি যুক্ত করা হয়। আমাদের মডেলে বিভিন্ন সার্কিট উপাদানের জন্য একটি ত্রুটি সম্ভাবনা *p* অন্তর্ভুক্ত রয়েছে C এখানে আমরা ইউনিটরি গেটগুলির সময় কিউবিটগুলিতে আইডেন্টিটি অপারেশন id-কে, যখন অন্যরা পরিমাপ এবং রিসেট করছে তখন কিউবিটগুলিতে আইডেন্টিটি অপারেশন id থেকে আলাদা করি। আমরা পরিমাপ করার পরে কিউবিটগুলি রিসেট করি, যখন আমরা এখনও পরীক্ষায় ব্যবহৃত হয়নি এমন কিউবিটগুলি ইনিশিয়ালাইজ করি। পরিশেষে, cx হল কন্ট্রোলড-নট গেট, h হল হ্যাডামার্ড গেট, এবং x, y, z হল পলি গেট। (আরও বিস্তারিত তথ্যের জন্য Methods “IBM_Peekskill and experimental details” দেখুন)। *p* -এর সাংখ্যিক মান Methods “IBM_Peekskill and experimental details”-এ তালিকাভুক্ত করা হয়েছে। m C আমাদের ত্রুটি মডেল হল সার্কিট ডিপোলারাইজিং নয়েজ। ইনিশিয়ালাইজেশন এবং রিসেট ত্রুটির জন্য, আদর্শ স্টেট প্রস্তুতির পরে যথাক্রমে *p* এবং *p* সম্ভাবনার সাথে একটি পলি X প্রয়োগ করা হয়। পরিমাপ ত্রুটির জন্য, আদর্শ পরিমাপের আগে *p* সম্ভাবনার সাথে একটি পলি X প্রয়োগ করা হয়। একটি একক-কিউবিট ইউনিটরি গেট (দ্বি-কিউবিট গেট) *C* আদর্শ গেটের পরে তিনটি (পনেরো) নন-আইডেন্টিটি একক-কিউবিট (দ্বি-কিউবিট) পলি ত্রুটিগুলির সাথে *p* সম্ভাবনা সহ ভোগে। তিনটি (পনেরো) পলি ত্রুটিগুলির যেকোনোটির ঘটার সমান সম্ভাবনা রয়েছে। init reset M C যখন সার্কিটে একটি একক ত্রুটি ঘটে, তখন এটি ত্রুটি-সংবেদনশীল ইভেন্টগুলির কিছু উপসেটকে নন-ট্রিভিয়াল করে তোলে। এই ত্রুটি-সংবেদনশীল ইভেন্টগুলির সেট একটি হাইপারএজ হয়ে যায়। সমস্ত হাইপারএজগুলির সেট হল *E*। দুটি ভিন্ন ত্রুটি একই হাইপারএজ তৈরি করতে পারে, তাই প্রতিটি হাইপারএজকে ত্রুটিগুলির একটি সেট হিসাবে দেখা যেতে পারে, যার প্রত্যেকটি পৃথকভাবে হাইপারএজের ইভেন্টগুলিকে নন-ট্রিভিয়াল করে তোলে। প্রতিটি হাইপারএজের সাথে একটি সম্ভাবনা যুক্ত থাকে, যা প্রথম ক্রমে, সেটের ত্রুটিগুলির সম্ভাবনার যোগফল। একটি ত্রুটি একটি ত্রুটির কারণ হতে পারে যা, সার্কিটের শেষে প্রচার করা হলে, কোডের এক বা একাধিক লজিক্যাল অপারেটরের সাথে অ্যান্টি-কমিউট করে, যার জন্য একটি লজিক্যাল সংশোধনের প্রয়োজন হয়। আমরা সাধারণতার জন্য ধরে নিই যে কোডের *k* লজিক্যাল কিউবিট এবং 2 লজিক্যাল অপারেটরগুলির একটি বেসিস রয়েছে, কিন্তু হেভি-হেক্সাগন কোডের জন্য *k* = 1 নোট করুন যা পরীক্ষায় ব্যবহৃত হয়। আমরা ত্রুটিগুলির সাথে অ্যান্টি-কমিউট করে এমন কোন লজিক্যাল অপারেটরগুলির সাথে ট্র্যাক রাখতে পারি তা একটি ভেক্টর থেকে ব্যবহার করে। সুতরাং, প্রতিটি হাইপারএজ *h* এই ভেক্টরগুলির মধ্যে একটি দ্বারাও লেবেলযুক্ত, যাকে একটি লজিক্যাল লেবেল বলা হয়। মনে রাখবেন যে যদি কোডের দূরত্ব কমপক্ষে তিন হয়, তবে প্রতিটি হাইপারএজের একটি অনন্য লজিক্যাল লেবেল থাকে। *k* অবশেষে, আমরা লক্ষ্য করি যে একটি ডিকোডিং অ্যালগরিদম বিভিন্ন উপায়ে ডিকোডিং হাইপারগ্রাফকে সরল করতে পারে। একটি উপায় যা আমরা এখানে সবসময় ব্যবহার করি তা হল ডিফ্ল্যাগিং প্রক্রিয়া। কিউবিট ১৬, ১৮, ২১, ২৩ থেকে ফ্ল্যাগ পরিমাপগুলি কোনও সংশোধন প্রয়োগ না করে উপেক্ষা করা হয়। যদি ফ্ল্যাগ ১১ নন-ট্রিভিয়াল হয় এবং ১২ ট্রিভিয়াল হয়, তবে ২-এ Z প্রয়োগ করুন। যদি ১২ নন-ট্রিভিয়াল হয় এবং ১১ ট্রিভিয়াল হয়, তবে ৬ নম্বর কিউবিটে Z প্রয়োগ করুন। যদি ফ্ল্যাগ ১৩ নন-ট্রিভিয়াল হয় এবং ১৪ ট্রিভিয়াল হয়, তবে ৪ নম্বর কিউবিটে Z প্রয়োগ করুন। যদি ১৪ নন-ট্রিভিয়াল হয় এবং ১৩ ট্রিভিয়াল হয়, তবে ৮ নম্বর কিউবিটে Z প্রয়োগ করুন। ফল্ট-টলারেন্সের জন্য এটি কেন যথেষ্ট তার বিস্তারিত তথ্যের জন্য রেফারেন্স¹⁵ দেখুন। এর মানে হল যে ফ্ল্যাগ কিউবিট পরিমাপ থেকে ত্রুটি-সংবেদনশীল ইভেন্টগুলি সরাসরি অন্তর্ভুক্ত করার পরিবর্তে, আমরা ভার্চুয়াল পলি Z সংশোধন প্রয়োগ করতে এবং সেই অনুযায়ী পরবর্তী ত্রুটি-সংবেদনশীল ইভেন্টগুলি সামঞ্জস্য করতে ফ্ল্যাগ তথ্য ব্যবহার করে ডেটা প্রি-প্রসেস করি। ডিফ্ল্যাগড হাইপারগ্রাফের জন্য হাইপারএজগুলি Z সংশোধনের সাথে স্ট্যাবিলাইজার সিমুলেশন অন্তর্ভুক্ত করে পাওয়া যেতে পারে। *r* রাউন্ডের সংখ্যা নির্দেশ করুক। ডিফ্ল্যাগিংয়ের পরে, Z (যথাক্রমে X বেসিস) পরীক্ষাগুলির জন্য *V* সেটের আকার হল |*V*| = 6*r* + 2 (যথাক্রমে 6*r* + 4), প্রতি রাউন্ডে ছয়টি স্ট্যাবিলাইজার পরিমাপ এবং স্টেট প্রস্তুতির পরে দুটি (যথাক্রমে চারটি) প্রাথমিক ত্রুটি-সংবেদনশীল স্ট্যাবিলাইজার থাকার কারণে। E-এর আকার একইভাবে |*E*| = 60*r* − 13 (যথাক্রমে 60*r* − 1) *r* > 0-এর জন্য। X এবং Z ত্রুটিগুলি পৃথকভাবে বিবেচনা করে, সারফেস কোডের জন্য একটি সর্বনিম্ন ওজনের ত্রুটি সংশোধনের সমস্যা একটি গ্রাফে সর্বনিম্ন ওজনের পারফেক্ট ম্যাচিং খুঁজে বের করার জন্য হ্রাস করা যেতে পারে⁴। ম্যাচিং ডিকোডারগুলি তাদের ব্যবহারিকতা²⁷ এবং ব্যাপক প্রযোজ্যতা²⁸'²⁹ এর কারণে অধ্যয়ন করা হচ্ছে। এই বিভাগে, আমরা আমাদের দূরত্ব-৩ হেভি-হেক্সাগন কোডের জন্য ম্যাচিং ডিকোডার বর্ণনা করি। ডিকোডিং গ্রাফ, X-ত্রুটিগুলির জন্য একটি (চিত্র ১c) এবং Z-ত্রুটিগুলির জন্য একটি (চিত্র ১d), সর্বনিম্ন ওজনের পারফেক্ট ম্যাচিংয়ের জন্য আসলে পূর্ববর্তী বিভাগে ডিকোডিং হাইপারগ্রাফের সাবগ্রাফ। এখানে X-ত্রুটিগুলি সংশোধনের জন্য গ্রাফে ফোকাস করা যাক, কারণ Z-ত্রুটি গ্রাফটি সাদৃশ্যপূর্ণ। এই ক্ষেত্রে, ডিকোডিং হাইপারগ্রাফ থেকে আমরা (পরবর্তী Z-স্ট্যাবিলাইজার পরিমাপের পার্থক্য) V নোডগুলি এবং তাদের মধ্যে প্রান্তগুলি (অর্থাৎ, আকারের-২ হাইপারএজ) রাখি। অতিরিক্তভাবে, একটি বাউন্ডারি ভার্টেক্স b তৈরি করা হয়, এবং {v} আকারের-১ হাইপারএজগুলি v ∈ V সহ, {v, b} প্রান্তগুলি অন্তর্ভুক্ত করে উপস্থাপন করা হয়। X-ত্রুটি গ্রাফের সমস্ত প্রান্তগুলি তাদের সংশ্লিষ্ট হাইপারএজগুলি থেকে সম্ভাবনা এবং লজিক্যাল লেবেলগুলি উত্তরাধিকার সূত্রে পায় (২-রাউন্ড পরীক্ষার জন্য X এবং Z-ত্রুটি প্রান্ত ডেটার জন্য সারণী ১ দেখুন)। Z Z একটি পারফেক্ট ম্যাচিং অ্যালগরিদম ওজনযুক্ত প্রান্ত সহ একটি গ্রাফ এবং হাইলাইট করা নোডের একটি জোড়-আকারের সেট নেয়, এবং গ্রাফে প্রান্তগুলির একটি সেট প্রদান করে যা সমস্ত হাইলাইট করা নোডগুলিকে জোড়ায় সংযুক্ত করে এবং এই ধরনের সমস্ত প্রান্ত সেটের মধ্যে ন্যূনতম মোট ওজন ধারণ করে। আমাদের ক্ষেত্রে, হাইলাইট করা নোডগুলি হল নন-ট্রিভিয়াল ত্রুটি-সংবেদনশীল ইভেন্টগুলি (যদি বিজোড় সংখ্যা থাকে, তবে বাউন্ডারি নোডটিও হাইলাইট করা হয়), এবং প্রান্তের ওজনগুলি হয় সমস্তকে এক (ইউনিফর্ম পদ্ধতি) হিসাবে বেছে নেওয়া হয় বা log(p ) হিসাবে সেট করা হয়, যেখানে p প্রান্তের সম্ভাবনা (বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি)। পরের পছন্দটির অর্থ হল একটি প্রান্ত সেটের মোট ওজন সেই প্রান্তগুলির উপর সম্ভাবনার লগারিদম, এবং সর্বনিম্ন ওজনের পারফেক্ট ম্যাচিং গ্রাফের প্রান্তগুলির উপর এই সম্ভাবনাকে সর্বাধিক করার চেষ্টা করে। e e একটি সর্বনিম্ন ওজনের পারফেক্ট ম্যাচিং দেওয়া হলে, লজিক্যাল স্টেটে একটি সংশোধন নির্ধারণ করতে ম্যাচিংয়ের প্রান্তগুলির লজিক্যাল লেবেলগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে। বিকল্পভাবে, ম্যাচিং ডিকোডারের জন্য X-ত্রুটি (Z-ত্রুটি) গ্রাফ এমন যে প্রতিটি প্রান্ত একটি কোড কিউবিটের (বা পরিমাপ ত্রুটির) সাথে যুক্ত করা যেতে পারে, যেখানে ম্যাচিংয়ে একটি প্রান্ত অন্তর্ভুক্ত করা মানে সংশ্লিষ্ট কিউবিটে একটি X (Z) সংশোধন প্রয়োগ করা উচিত। ম্যাক্সিমাম লাইকলিহুড ডিকোডিং (MLD) হল কোয়ান্টাম ত্রুটি-সংশোধন কোড ডিকোড করার জন্য একটি সর্বোত্তম, যদিও অ-স্কেলেবল, পদ্ধতি। এর মূল ধারণায়, MLD ঘটনাগত ত্রুটি মডেলগুলিতে প্রয়োগ করা হয়েছিল যেখানে সিনড্রোমগুলি পরিমাপ করার ঠিক আগে ত্রুটিগুলি ঘটে²⁴'³⁰। এটি অবশ্যই আরও বাস্তবসম্মত কেসকে উপেক্ষা করে যেখানে ত্রুটিগুলি সিনড্রোম পরিমাপ সার্কিট্রির মাধ্যমে প্রচার করতে পারে। আরও সম্প্রতি, MLD সার্কিট ত্রুটিগুলি³¹'²³ অন্তর্ভুক্ত করার জন্য প্রসারিত করা হয়েছে। এখানে, আমরা বর্ণনা করি কিভাবে MLD ডিকোডিং হাইপারগ্রাফ ব্যবহার করে সার্কিট ত্রুটিগুলি সংশোধন করে। MLD ত্রুটি-সংবেদনশীল ঘটনাগুলির একটি পর্যবেক্ষণ দেওয়া হলে সবচেয়ে সম্ভাব্য লজিক্যাল সংশোধন নির্ধারণ করে। এটি Pr[β, γ] এর সম্ভাব্যতা বন্টন গণনা করে করা হয়, যেখানে β ত্রুটি-সংবেদনশীল ইভেন্টগুলি এবং γ একটি লজিক্যাল সংশোধন প্রতিনিধিত্ব করে। আমরা ডিকোডিং হাইপারগ্রাফ, চিত্র ১c-f থেকে প্রতিটি হাইপারএজ অন্তর্ভুক্ত করে Pr[β, γ] গণনা করতে পারি, শূন্য-ত্রুটি বন্টন থেকে শুরু করে, অর্থাৎ Pr[0 , 0 ] = 1। যদি হাইপারএজ h-এর সম্ভাবনা ph থাকে, অন্য কোনও হাইপারএজ থেকে স্বাধীনভাবে, আমরা আপডেটটি সম্পাদন করে h অন্তর্ভুক্ত করি |V| 2k যেখানে β হাইপারএজের একটি বাইনারি ভেক্টর উপস্থাপনা মাত্র। E-তে প্রতিটি হাইপারএজের জন্য এই আপডেটটি একবার প্রয়োগ করা উচিত। h Pr[β, γ] গণনা করার পরে, আমরা সর্বোত্তম লজিক্যাল সংশোধন নির্ধারণ করতে এটি ব্যবহার করতে পারি। যদি β* পরীক্ষার একটি রানে পর্যবেক্ষণ করা হয়, লজিক্যাল অপারেটরগুলির পরিমাপগুলি কীভাবে সংশোধন করা উচিত তা নির্দেশ করে। MLD-এর নির্দিষ্ট বাস্তবায়নের জন্য আরও তথ্যের জন্য, Methods “Maximum likelihood implementations” দেখুন। পরীক্ষামূলক উপলব্ধি এই প্রদর্শনের জন্য আমরা IBM Quantum Falcon প্রসেসর ibm_peekskill v2.0.0, একটি ২৭-কিউবিট ব্যবহার করি³², যার কাপলিং ম্যাপ একটি দূরত্ব-৩ হেভি-হেক্সাগন কোডকে সক্ষম করে, চিত্র ১ দেখুন। প্রতিটি রাউন্ডের জন্য কিউবিট পরিমাপ এবং পরবর্তী রিয়েল-টাইম কন্ডিশনাল রিসেটের মোট সময় ৭৬৮ns সময় নেয় এবং সমস্ত কিউবিটের জন্য একই থাকে। সমস্ত সিনড্রোম পরিমাপ এবং রিসেট উন্নত কর্মক্ষমতার জন্য একযোগে ঘটে। একটি সাধারণ Xπ-Xπ ডায়নামিকাল ডিকাপলিং সিকোয়েন্স তাদের নিজ নিজ আইডলিং পিরিয়ডের সময় সমস্ত কোড কিউবিটে যোগ করা হয়। কিউবিট লিকেজ একটি গুরুত্বপূর্ণ কারণ কেন ডিকোডার ডিজাইনের দ্বারা অনুমান করা পলি ডিপোলারাইজিং ত্রুটি মডেলটি ভুল হতে পারে। কিছু ক্ষেত্রে, পরিমাপ করার সময় একটি কিউবিট গণনা সাবস্পেস থেকে লিক করেছে কিনা তা আমরা সনাক্ত করতে পারি (পোস্ট-সিলেকশন পদ্ধতি এবং সীমাবদ্ধতা সম্পর্কে আরও তথ্যের জন্য Methods “Post-selection method” দেখুন)। এটি ব্যবহার করে, আমরা রেফারেন্স¹⁸-এর মতো লিকেজ সনাক্ত না হওয়া পরীক্ষার রানগুলিতে পোস্ট-সিলেক্ট করতে পারি। চিত্র ২a-তে, আমরা লজিক্যাল স্টেট |0⟩ (), প্রস্তুত করি এবং *r* সিনড্রোম পরিমাপ রাউন্ড প্রয়োগ করি, যেখানে একটি রাউন্ডে X এবং Z উভয় স্ট্যাবিলাইজার অন্তর্ভুক্ত থাকে (প্রতি রাউন্ডে প্রায় ৫.৩μs এর মোট সময়, চিত্র ১b)। কাঁচা ডেটার (প্রতি রানে ৫০০,০০০ শট) উপর বিশ্লেষণাত্মক পারফেক্ট ম্যাচিং ডিকোডিং ব্যবহার করে, আমরা চিত্র ২a, লাল (নীল) ত্রিভুজগুলিতে লজিক্যাল ত্রুটিগুলি বের করি। বিশ্লেষণাত্মক পারফেক্ট ম্যাচিং ডিকোডিংয়ে ব্যবহৃত অপ্টিমাইজড প্যারামিটারগুলির বিবরণ Methods “IBM_Peekskill and experimental details”-এ পাওয়া যাবে। ১০ রাউন্ড পর্যন্ত সম্পূর্ণ ক্ষয় বক্ররেখা (সমীকরণ ১৪) ফিট করে, আমরা চিত্র ২b-তে 0.059(2) (0.058(3)) এবং 0.113(5) (0.107(4)) এর Z() এবং X() এর জন্য পোস্ট-সিলেকশন ছাড়াই প্রতি রাউন্ডে লজিক্যাল ত্রুটি বের করি। সিনড্রোম পরিমাপ রাউন্ড *r* এর সংখ্যার বিপরীতে লজিক্যাল ত্রুটি, যেখানে একটি রাউন্ডে Z এবং X স্ট্যাবিলাইজার পরিমাপ উভয়ই অন্তর্ভুক্ত থাকে। নীল ডান-মুখী ত্রিভুজ (লাল ত্রিভুজ) Z() স্টেটের জন্য কাঁচা পরীক্ষামূলক ডেটাতে বিশ্লেষণাত্মক ম্যাচিং ডিকোডিং ব্যবহার করে প্রাপ্ত লজিক্যাল ত্রুটিগুলি নির্দেশ করে। হালকা নীল বর্গ (হালকা লাল বৃত্ত) একই ডিকোডিং পদ্ধতি ব্যবহার করে X() স্টেটের জন্য সেগুলি নির্দেশ করে তবে লিকেজ-পোস্ট-সিলেক্টেড পরীক্ষামূলক ডেটা ব্যবহার করে। ত্রুটির বারগুলি প্রতিটি রানের স্যাম্পলিং ত্রুটি নির্দেশ করে (কাঁচা ডেটার জন্য ৫০০,০০০ শট, পোস্ট-সিলেক্টেড ডেটার জন্য পরিবর্তনশীল সংখ্যক শট)। ড্যাশড লাইন ফিটগুলি **খ**-তে প্লট করা ত্রুটি প্রতি রাউন্ডের জন্য। **খ** লিকেজ-পোস্ট-সিলেক্টেড ডেটাতে একই ডিকোডিং পদ্ধতি প্রয়োগ করে, চারটি লজিক্যাল স্টেটের সবগুলির জন্য সামগ্রিক ত্রুটির উল্লেখযোগ্য হ্রাস দেখায়। পোস্ট-সিলেকশন পদ্ধতির উপর বিস্তারিত তথ্যের জন্য Methods “Post-selection method” দেখুন। , , , এবং জন্য প্রতি রাউন্ডে প্রত্যাখ্যাত হারের ফিট হল যথাক্রমে ৪.৯১%, ৪.৬৪%, ৪.৩৭%, এবং ৪.৮৯%। ত্রুটি বারগুলি ফিট করা হারের উপর এক স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি নির্দেশ করে। **গ**, **ঘ** পোস্ট-সিলেক্টেড ডেটা ব্যবহার করে, আমরা চারটি ডিকোডারের সাথে প্রাপ্ত লজিক্যাল ত্রুটি তুলনা করি: ম্যাচিং ইউনিফর্ম (গোলাপী বৃত্ত), ম্যাচিং বিশ্লেষণাত্মক (সবুজ বৃত্ত), ম্যাচিং বিশ্লেষণাত্মক সফট তথ্য সহ (ধূসর বৃত্ত), এবং সর্বোচ্চ সম্ভাব্য (নীল বৃত্ত)। (Z() এবং X() এর জন্য চিত্র ৬ দেখুন)। **ঙ**, **ঘ**-এ উপস্থাপিত ড্যাশড ফিট করা হার। ত্রুটির বারগুলি স্যাম্পলিং ত্রুটি নির্দেশ করে। **ঙ**, **ঘ** লিকেজ-পোস্ট-সিলেক্টেড ডেটাতে চারটি লজিক্যাল স্টেটের জন্য চারটি ডিকোডারের জন্য ফিট করা ত্রুটি প্রতি রাউন্ডের তুলনা। ত্রুটি বারগুলি ফিট করা হারের উপর এক স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি নির্দেশ করে। ক লিকেজ-পোস্ট-সিলেক্টেড ডেটাতে একই ডিকোডিং পদ্ধতি প্রয়োগ করে চিত্র ২a-তে লজিক্যাল ত্রুটিগুলি হ্রাস পায় এবং চিত্র ২b-তে দেখানো হিসাবে 0.041(1) (0.044(4)) এবং 0.088(3) (0.085(3)) এর জন্য 0.041(1) (0.044(4)) এবং 0.088(3) (0.085(3)) এর জন্য ফিট করা ত্রুটির হার পাওয়া যায়। পোস্ট-সিলেকশন থেকে প্রতি রাউন্ডে প্রত্যাখ্যান হার , , , এবং যথাক্রমে ৪.৯১%, ৪.৬৪%, ৪.৩৭%, এবং ৪.৮৯%। বিস্তারিত তথ্যের জন্য Methods “Post-selection method” দেখুন। চিত্র ২c-f-এ, আমরা বিভাগ "ডিকোডিং অ্যালগরিদম"-এ পূর্বে বর্ণিত তিনটি ডিকোডার ব্যবহার করে পোস্ট-সিলেক্টেড ডেটা সেটগুলি থেকে প্রতিটি রাউন্ডের জন্য লজিক্যাল ত্রুটি এবং বের করা লজিক্যাল ত্রুটি প্রতি রাউন্ডের তুলনা করি। আমরা একটি বিশ্লেষণাত্মক ডিকোডারের একটি সংস্করণও অন্তর্ভুক্ত করি যা সফট-তথ্য³³ ব্যবহার করে, যা Methods “Soft-information decoding”-এ বর্ণিত হয়েছে। আমরা পর্যবেক্ষণ করি (চিত্র ২e, f দেখুন) ম্যাচিং ইউনিফর্ম (গোলাপী), ম্যাচিং বিশ্লেষণাত্মক (সবুজ), সফট তথ্য সহ ম্যাচিং বিশ্লেষণাত্মক, সর্বোচ্চ সম্ভাব্য (ধূসর) পর্যন্ত ডিকোডিংয়ে একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ উন্নতি, যদিও এটি X-বেসিস লজিক্যাল স্টেটগুলির জন্য অনেক কম উল্লেখযোগ্য। Methods “Logical error at r = 2 rounds”-এ সমস্ত চারটি লজিক্যাল স্টেটের জন্য r = 2 রাউন্ডে তিনটি ডিকোডারের মধ্যে একটি পরিমাণগত তুলনা প্রদান করা হয়েছে। X-বেসিস স্টেটগুলি Z-বেসিসের চেয়ে খারাপ পারফর্ম করার অন্তত তিনটি কারণ রয়েছে। প্রথমটি হল সার্কিটে স্বাভাবিক প্রতিসাম্য। Z স্ট্যাবিলাইজারগুলি পরিমাপ করার জন্য প্রয়োজনীয় বৃহত্তর গভীরতা ডেটা কিউবিটগুলিতে Z ত্রুটিগুলি সনাক্ত না করে জমা হওয়ার জন্য বেশি সময় দেয়। এটি সিমুলেশন দ্বারা সমর্থিত, যেমন¹-এ, যা একটি ভিন্ন ডিকোডার ব্যবহার করে, এবং এখানে Methods “Simulation details”-এ, যা এই d = 3 কোডের জন্য X-বেসিসের খারাপ পারফরম্যান্স দেখে। দ্বিতীয়ত, ডিকোডিংয়ে করা পছন্দগুলি, বিশেষ করে ডিফ্ল্যাগিং ধাপ, পরিমাপ এবং রিসেট ত্রুটিগুলিকে ডেটা কিউবিটগুলিতে Z ত্রুটিগুলিতে রূপান্তর করে প্রতিসাম্যকে বাড়িয়ে তুলতে পারে। এটি একটি উচ্চ কার্যকর Z-ত্রুটির হারের দিকে পরিচালিত করে যা সর্বোচ্চ সম্ভাব্য ডিকোডিং দ্বারাও উন্নত করা যায় না। বিপরীতে, যদি আমরা কেবল প্রথম রাউন্ডের পরিমাপগুলি ডিফ্ল্যাগ করি, তবে r = 2 রাউন্ড, |−⟩ পরীক্ষার উপর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য ডিকোডারের লজিক্যাল ত্রুটি প্রায় ২.৮% কমে ১৮.০২(৭)% হয়। এই ধরনের ফ্ল্যাগড ডিকোডিং বৃহত্তর রাউন্ড গণনার জন্য সময়সাপেক্ষ হয়ে ওঠে কারণ ডিকোডিং হাইপারগ্রাফে ফ্ল্যাগ নোড যুক্ত করলে এর আকার ব্যাপকভাবে বৃদ্ধি পায়। অবশেষে, ডিকোডারগুলি আমাদের পরীক্ষামূলক নয়েজের মডেলের মতোই ভাল। স্পেক্টেটর ZZ ত্রুটির মতো নন-ডিপোলারাইজিং নয়েজ উৎস, যা আমাদের জানা মতে বিদ্যমান, আমাদের কোনও ডিকোডার দ্বারা মডেল করা হয় না এবং X-বেসিস
