这款嘈杂的量子计算机可产生经典模拟无法实现的可靠结果

```html 作者： Youngseok Kim Andrew Eddins Sajant Anand Ken Xuan Wei Ewout van den Berg Sami Rosenblatt Hasan Nayfeh Yantao Wu Michael Zaletel Kristan Temme Abhinav Kandala 摘要 量子计算有望在某些问题上提供比经典计算可观的加速。然而，实现其全部潜力最大的障碍是这些系统固有的噪声。对于这一挑战，一个被广泛接受的解决方案是实现容错量子电路，但这对于当前的处理器来说还遥不可及。我们在此报告了在有噪声的 127 量子比特处理器上的实验，并展示了在超越蛮力经典计算的规模上测量电路体积的准确期望值。我们认为，这证明了在容错之前的时代量子计算的实用性。这些实验结果得益于超导处理器在此规模下的相干性和校准方面的进步，以及对如此大型设备上的噪声进行表征和可控操纵的能力。我们通过将测量的期望值与精确可验证电路的输出进行比较来建立其准确性。在强纠缠的区域，量子计算机提供了正确的计算结果，而领先的经典近似方法，如基于纯态的 1D（矩阵乘积态，MPS）和 2D（等距张量网络态，isoTNS）张量网络方法，在此失效。这些实验为实现近期量子应用奠定了基础。 正文 几乎所有人都认为，像因子分解 或相位估计 这样的先进量子算法将需要量子纠错。然而，当前处理器是否能够足够可靠地运行其他较短深度的量子电路，以在实际问题中提供优势，这一点存在激烈争论。目前，普遍的预期是，即使是具有超越经典计算能力的简单量子电路的实现，也必须等到更先进的容错处理器出现。尽管近年来量子硬件取得了巨大进展，但简单的保真度界限 支持了这一黯淡的预测；据估计，一个 100 量子比特宽、100 门层深的量子电路，如果门错误率为 0.1%，则状态保真度将低于 5 × 10−4。尽管如此，即使在如此低的保真度下，是否也能获得理想状态的特性仍然是一个问题。针对嘈杂设备上近期量子优势的纠错 方法正是解决了这个问题，即可以通过对嘈杂量子电路进行多次运行，并利用经典的后处理来生成准确的期望值。 量子优势可以通过两个步骤来实现：首先，通过演示现有设备在超越蛮力经典模拟的规模上进行准确计算的能力；其次，找到具有相关量子电路的问题，这些电路能从这些设备中获得优势。在这里，我们专注于实现第一步，并不旨在实现已被证明具有加速优势的问题的量子电路。 我们使用一个 127 量子比特的超导量子处理器，运行多达 60 层双量子比特门的量子电路，总共 2,880 个 CNOT 门。这种规模的通用量子电路已经超出了蛮力经典方法的处理能力。因此，我们首先关注允许对测量到的期望值进行精确经典验证的特定测试案例电路。然后，我们将转向经典模拟变得具有挑战性的电路区域和可观测量，并与最先进的经典近似方法的结果进行比较。 我们的基准电路是 2D 横向场伊辛模型的 Trotter 化时间演化，它具有量子比特处理器的拓扑结构（图 1a）。伊辛模型广泛出现在物理学的各个领域，并在最近的模拟中得到了创造性的扩展，以探索量子多体现象，如时间晶体、量子疤痕 和马约拉纳边缘模式。然而，作为量子计算效用性的测试，2D 横向场伊辛模型的时间演化在大型纠缠增长极限下最为相关，而在这个极限下，可扩展的经典近似方法会遇到困难。 ，伊辛模拟的每个 Trotter 步都包括单量子比特 和双量子比特 旋转。插入随机 Pauli 门以扭转（螺旋线）并可控地缩放每个 CNOT 层的噪声。匕首表示通过理想层的共轭。 ，三个深度为 1 的 CNOT 门层足以实现 ibm_kyiv 上所有邻居对之间的相互作用。 ，表征实验有效地学习了构成与第 个扭转 CNOT 层相关的整体 Pauli 通道 Λ 的局部 Pauli 误差率 , （彩色标度）。（图示在补充信息 [cite: IV.A] 中展开）。 ，以比例速率插入的 Pauli 误差可用于抵消（PEC）或放大（ZNE）固有噪声。 a X ZZ b c l l λl i d 特别是，我们考虑哈密顿量的动力学演化， 其中 > 0 是最近邻自旋的耦合， < ， 是全局横向场。自初始状态的自旋动力学可以通过一阶 Trotter 分解时间演化算子来模拟， J i j h 其中演化时间 被离散化为 / 个 Trotter 步，并且 和 分别是 和 旋转门。我们不关心 Trotter 化引起的模型误差，因此将 Trotter 化电路视为任何经典比较的理想情况。出于实验简单性，我们关注 = −2 = −π/2 的情况，这样 旋转只需要一个 CNOT， T T δt ZZ X θJ Jδt ZZ 其中等式成立，但忽略全局相位。在生成的电路（图 1a）中，每个 Trotter 步包括一层单量子比特旋转 R ( h)，然后是并行双量子比特旋转 R ( ) 的通勤层。 X θ ZZ θJ 在实验实现中，我们主要使用了 ibm_kyiv（IBM Eagle）处理器，该处理器由 127 个固定频率的 transmon 量子比特 组成，具有重六边形连接性，中位 T1 和 T2 时间分别为 288 μs 和 127 μs。这些相干时间对于如此规模的超导处理器来说是前所未有的，并且允许我们访问本研究中涉及的电路深度。邻居之间的双量子比特 CNOT 门通过校准交叉共振相互作用 来实现。由于每个量子比特最多有三个邻居，因此所有 相互作用都可以在三层并行 CNOT 门中完成（图 1b）。每层中的 CNOT 门都经过校准以实现最佳的同步操作（有关更多详细信息，请参见方法）。 ZZ 现在我们看到，与此平台上的近期工作 相比，这些硬件性能的改进使得即使是更复杂的问题也能通过误差抑制成功执行。概率性误差消除 (PEC) 已被证明在提供可观测量无偏估计方面非常有效。在 PEC 中，通过对与学习模型相关的嘈杂电路分布进行采样来学习代表性噪声模型并对其进行有效反转。然而，对于我们设备上当前的误差率，对于本研究中考虑的电路体积，采样开销仍然受到限制，如下文进一步讨论。 因此，我们转向零噪声外推 (ZNE)，这是一种在潜在低得多的采样成本下，嘈杂期望值的有偏估计方法。ZNE 是一个多项式 或指数 外推方法，用于将嘈杂期望值作为噪声参数的函数进行外推。这需要通过一个已知的增益因子 来控制放大硬件的固有噪声，以推断出理想的 = 0 的结果。ZNE 被广泛采用，部分原因是基于脉冲拉伸 或子电路重复 的噪声放大方案绕开了精确噪声学习的需要，同时依赖于对设备噪声的简化假设。然而，更精确的噪声放大可以显著降低外推估计值的偏差，正如我们在此所展示的。 G G ref. 中提出的稀疏 Pauli-Lindblad 噪声模型特别适合 ZNE 中的噪声整形。该模型形式为 ，其中 是一个 Lindblad 算子，包含由速率 加权的 Pauli 跳跃算子 。ref. 表明，限制跳跃算子作用于局部量子比特对可以产生一个稀疏噪声模型，该模型可以高效地学习到许多量子比特，并且能够准确地捕获与双量子比特 Clifford 门层相关的噪声（包括串扰），当与随机 Pauli 扭转相结合时。嘈杂的门层被建模为一组理想门，前面有一个噪声通道 Λ。因此，在嘈杂层之前应用 Λ 会产生一个增益为 = + 1 的整体噪声通道 Λ 。鉴于 Pauli-Lindblad 噪声模型的指数形式，通过简单地将 Pauli 速率 乘以 来获得映射 。可以对生成的 Pauli 映射进行采样以获得适当的电路实例；对于 ≥ 0，该映射是一个可以直接采样的 Pauli 通道，而对于 < 0，则需要准概率采样，其采样开销为 ，其中 是某个特定模型。在 PEC 中，我们选择 = -1 以获得整体零增益噪声水平。而在 ZNE 中，我们则将噪声放大 到不同的增益水平，并使用外推法估计零噪声极限。对于实际应用，我们需要考虑学习到的噪声模型随时间的稳定性（补充信息 [cite: III.A]），例如，由于量子比特与被称为两能级系统 的波动微观缺陷的相互作用。 α G α G Clifford 电路是误差抑制估计值的一个有用基准，因为它们可以被经典高效地模拟。值得注意的是，当 h 选择为 π/2 的倍数时，整个伊辛 Trotter 电路就变成了 Clifford 电路。因此，作为第一个例子，我们将横向场设为零（R (0) = ），并演化初始状态 |0⟩⊗127（图 1a）。CNOT 门名义上不改变此状态，因此权重为 1 的可观测值 的期望值都为 1；由于每层的 Pauli 扭转，裸 CNOT 确实会影响状态。对于每个 Trotter 实验，我们首先表征了三个 Pauli 扭转 CNOT 层（图 1c）的噪声模型 Λ ，然后使用这些模型来实现具有噪声增益水平 ∈ {1, 1.2, 1.6} 的 Trotter 电路。图 2a 展示了在四步 Trotter（12 层 CNOT）后估计 ⟨ 106⟩ 的过程。对于每个 ，我们生成了 2,000 个电路实例，在每个层 之前，我们插入了从 中以概率 绘制的单量子比特和双量子比特 Pauli 误差的乘积，并对每个实例执行了 64 次，总共 384,000 次执行。随着电路实例的累积，⟨ 106⟩ （对应于不同的增益 ）的估计值收敛到不同的值。然后，这些不同的估计值通过 的外推函数进行拟合，以估计理想值 ⟨ 106⟩0。图 2a 中的结果突显了与线性外推相比，指数外推 减少了偏差。尽管如此，指数外推可能会出现不稳定性，例如，当期望值与零不可分辨地接近时，在这种情况下，我们会迭代地降低外推模型的复杂性（参见补充信息 [cite: II.B]）。图 2a 中概述的程序应用于每个量子比特 的测量结果，以估计所有 = 127 个 Pauli 期望值 ⟨ ⟩0。图 2b 中未修正和修正后的可观测值的变化表明了整个处理器中误差率的非均匀性。我们报告了图 2c 中全局磁化沿 ， ， 随着深度增加的情况。尽管未修正的结果显示出从 1 开始的逐渐衰减，并且对于更深的电路偏差增加，但 ZNE 极大地改善了即使在 20 步 Trotter（或 60 个 CNOT 深度）下的结果与理想值的一致性。值得注意的是，这里使用的样本数量远小于在朴素 PEC 实现中所需的采样开销估计（参见补充信息 [cite: IV.B]）。原则上，通过更先进的 PEC 实现，如使用光锥追踪，或者通过改进硬件误差率，可以大大减少这种差异。随着未来硬件和软件的发展降低采样成本，当 PEC 能够负担得起时，为了避免 ZNE 可能存在的有偏性，PEC 可能会成为首选。 θ X I Zq l G Z G l Z G G G Z q N Zq 修正后的期望值来自 Clifford 条件 h = 0 下的 Trotter 电路。 ，在四步 Trotter 后，⟨ 106⟩ 的未修正 ( = 1)、噪声放大 ( > 1) 和噪声修正 (ZNE) 估计值的收敛情况。在所有面板中，误差条表示通过百分位自举法获得的 68% 置信区间。当 ⟨ 106⟩ ≠0 的收敛估计值之间的差异得到很好区分时，指数外推（exp，深蓝色）往往优于线性外推（linear，浅蓝色）。 ，磁化强度（大标记）计算为所有量子比特的⟨ ⟩ 估计值的平均值（小标记）。 ，随着电路深度的增加，未修正的 估计值从理想值 1 单调衰减。ZNE 极大地改进了估计值，即使在 20 步 Trotter 之后（有关 ZNE 细节，请参阅补充信息 [cite: II]）。 θ a Z G G Z G b Zq c Mz 接下来，我们测试我们的方法在非 Clifford 电路和 Clifford h = π/2 点上的有效性，以及与图 2 中讨论的等效电路相比具有非平凡纠缠动力学的电路。非 Clifford 电路尤其重要，因为指数外推的有效性不再有保证（参见补充信息 [cite: V] 和参考文献）。我们将电路深度限制在五步 Trotter（15 层 CNOT），并仔细选择可精确验证的可观测值。图 3 展示了当 h 在 0 和 π/2 之间扫描时，三个具有递增权重的可观测值的结果。图 3a 展示了 ，与之前一样，是权重为 1 的 ⟨ ⟩ 可观测值的平均值，而图 3b、c 展示了权重为 10 和权重为 17 的可观测值。后两个算子是 h = π/2 时 Clifford 电路的稳定子，分别由 |0⟩⊗127 进行五步 Trotter 演化得到的初始稳定子 13 和 58 得到，确保在特别关注的强纠缠区域中具有非零期望值。尽管实验中执行了整个 127 量子比特电路，但光锥和深度缩减 (LCDR) 电路能够对该深度下的磁化强度和权重为 10 的算子进行蛮力经典模拟（参见补充信息 [cite: VII]）。在整个 h 扫描范围内，误差修正后的可观测值与精确演化结果吻合良好（参见图 3a,b）。然而，对于权重为 17 的算子，光锥扩展到 68 个量子比特，这是一个超出蛮力经典模拟范围的尺度，因此我们转向张量网络方法。 θ θ Mz Z θ Z Z θ 对于图 1a 中的电路，在固定五步 Trotter 深度下， h 扫描的期望值估计。考虑的电路是非 Clifford 的，除了在 h = 0, π/2 时。分别为各自电路的光锥和深度缩减使得所有 h 的精确经典模拟成为可能。对于所有三个绘制的量（面板标题），修正后的实验结果（蓝色）紧密跟踪精确行为（灰色）。在所有面板中，误差条表示通过百分位自举法获得的 68% 置信区间。 和 中的权重为 10 和权重为 17 的可观测值是 h = π/2 时电路的稳定子，其特征值为 +1 和 -1； 中的所有值都已取反以简化视觉显示。 中的较低插图描绘了修正前后 h = 0.2 时设备上 ⟨ ⟩ 的变化，并与精确结果进行比较。所有面板中的较高插图描绘了因果光锥，在蓝色中显示了测量的最终量子比特（顶部），以及可能影响最终量子比特状态的名义初始量子比特集（底部）。 还取决于图中示例之外的 126 个其他光锥。虽然在所有面板中，精确结果来自仅模拟因果量子比特，但我们包含了所有 127 个量子比特的张量网络模拟（MPS、isoTNS）以帮助评估这些技术的有效性范围，如正文中讨论的。isoTNS 在 中对权重为 17 的算子的结果是当前方法无法获得的（参见补充信息 [cite: VI]）。所有实验都针对 = 1, 1.2, 1.6 进行，并按照补充信息 [cite: II.B] 进行外推。对于每个 ，我们生成了 和 的 1,800–2,000 个随机电路实例，以及 的 2,500–3,000 个实例。 θ θ θ b c θ c a θ Zq Mz c G G a b c 张量网络已被广泛用于近似和压缩量子态向量，这些向量出现在低能级本征态的研究以及局部哈密顿量的 时间演化研究中，最近还成功用于模拟低深度嘈杂量子电路。可以通过增加约束量子态纠缠量的键维度 来提高模拟精度，其计算成本与 成多项式增长。由于纠缠（键维度）的通用状态随着时间演化线性（指数性）增长直到达到体积律饱和，因此深度量子电路对于张量网络来说是固有的困难。我们考虑了准一维矩阵乘积态 (MPS) 和二维等距张量网络态 (isoTNS)，它们的时程演化复杂度分别具有 和 2 的缩放。关于这两种方法及其优点的详细信息请参见方法和补充信息 [cite: VI]。特别是对于图 3c 中所示的权重为 17 的算子，我们发现，在 = 2,048 的 LCDR 电路进行 MPS 模拟足以获得精确演化（参见补充信息 [cite: VIII]）。权重为 17 的可观测值的因果光锥更大，导致实验信号比权重为 10 的可观测值更弱；尽管如此，修正后仍然与精确迹吻合良好。这种比较表明，实验精度范围可能超出经典精确模拟的尺度。 χ χ χ χ χ 我们期望这些实验最终会扩展到经典方法无法精确求解的电路体积和可观测量。因此，我们也研究了 MPS 和 isoTNS 在图 3 中执行的完整 127 量子比特电路上的性能，相应的键维度分别为 = 1,024 和 = 12，这主要受内存限制。图 3 表明，张量网络方法在 h 增加时遇到困难，在可验证的 Clifford 点 h = π/2 附近损失了精度和连续性。这种崩溃可以通过状态的纠缠性质来理解。在 h = π/2 处由电路产生的稳定子态具有完全平坦的双部分纠缠谱，该谱是从一维量子比特排序的施密特分解得到的。因此，截断具有小施密特权重的状态（所有张量网络算法的基础）是没有根据的。然而，由于精确的张量网络表示通常需要与电路深度成指数增长的键维度，因此对于可行的数值模拟来说，截断是必要的。 χ χ θ θ θ 最后，在图 4 中，我们将实验扩展到我们目前考虑的经典方法无法获得精确解的区域。第一个例子（图 4a）与图 3c 类似，但增加了一个最后的单量子比特 Pauli 旋转层，中断了之前能够精确验证任何 h 的电路深度缩减（参见补充信息 [cite: VII]）。在可验证的 Clifford 点 h = π/2，修正后的结果再次与理想值一致，而 68 量子比特 LCDR 电路的 = 3,072 MPS 模拟在感兴趣的强纠缠区域明显失败。尽管 = 2,048 对于图 3c 中权重为 17 的算子的精确模拟足够，但对于此修改后的电路和 h = π/2 的算子，MPS 键维度需要达到 32,768 才能精确模拟。 θ θ χ χ θ 绘图标记、置信区间和因果光锥的定义与图 3 相同。 ，在五步 Trotter 后，对于几个 h 值，权重为 17 的可观测值（面板标题）的估计值。电路与图 3c 中的电路类似，但在最后增加了单量子比特旋转。这实际上是通过使用与第五步 Trotter 相同的双量子比特门数量来模拟第六步 Trotter 后的自旋时间演化。与图 3c 一样，可观测值是在 h = π/2 处的稳定子，特征值为 -1，因此我们对 y 轴取反以简化视觉显示。通过仅包含因果光锥内的量子比特和门来优化 MPS 模拟可以实现更高的键维度（ = 3,072），但模拟在感兴趣的强纠缠区域仍然未能接近 -1（取反后的 y 轴为 +1）。 ，在 20 步 Trotter 后，对于几个 h 值，单站点磁化强度 ⟨ 62⟩ 的估计值。MPS 模拟经过光锥优化，并使用键维度 = 1,024 进行，而 isoTNS 模拟（ = 12）则包含了光锥外的门。实验在 = 1, 1.3, 1.6（对于 ）和 = 1, 1.2, 1.6（对于 ）下进行，并按照补充信息 [cite: II.B] 进行外推。对于每个 ，我们生成了 的 2,000–3,200 个随机电路实例，以及 的 1,700–2,400 个实例。 a θ θ χ b θ Z χ χ G a G b G a b 作为最后一个例子，我们将电路深度扩展到 20 步 Trotter（60 层 CNOT），并在图 4b 中估算权重为 1 的可观测值 ⟨ 62⟩ 的 h 依赖性，此时因果光锥已扩展到整个设备。考虑到设备性能的非均匀性，这在图 2b 中单站点可观测值的散布中也可见，我们选择了一个在可验证的 h = 0 点处获得预期结果 ⟨ 62⟩ ≈ 1 的可观测值。尽管深度增加，但在弱纠缠区域（小 h）下，LCDR 电路的 MPS 模拟与实验结果吻合良好。尽管随着 h 的增加，与实验轨迹的偏差开始出现，但我们注意到，随着 的增加，MPS 模拟的趋势与实验数据缓慢移动（参见补充信息 [cite: X]），并且精确表示稳定子态及其演化到深度 20（在 h = π/2 时）所需的键维度为 7.2 × 1016，比我们考虑的要大 13 个数量级（参见补充信息 [cite: VIII]）。作为参考，由于存储 MPS 所需的内存随 2 缩放，因此仅键维度 = 1 × 108 就需要 400 PB，这还不考虑运行时。此外，全态张量网络模拟已经无法捕捉图 3a 中精确可验证的五步电路的动力学。我们还注意到，鉴于未修正信号较大，当前设备可能还有机会研究更深层的时间演化。 Z θ θ Z θ θ χ θ χ χ 就执行时间而言，图 4 中的张量网络模拟是在 64 核、2.45 GHz 处理器和 128 GB 内存上运行的，其中在固定 h 下访问单个数据点的运行时间为图 4a 的 8 小时，图 4b 的 30 小时。相应的量子墙上时钟运行时间约为图 4a 的 4 小时，图 4b 的 9.5 小时，但这远非基本极限，目前主要受限于经典处理延迟，这些延迟可以通过概念上简单的优化在很大程度上消除。事实上，使用 614,400 个样本（每个增益因子和读出误差修正的 2,400 个电路实例，每个实例 64 次测量）的误差修正期望值的估计设备运行时间，以保守的 2 kHz 采样速率计算，仅为 5 分 7 秒，通过优化量子比特复位速度还可以进一步缩短。另一方面，经典模拟也可以通过纯态张量网络以外的方法进行改进，例如最近应用于非 Clifford 模拟的 Heisenberg 算子演化方法。另一种方法是数值模拟实验中使用的 ZNE。例如，最近有人提出，有限 截断误差引入的张量积压缩模仿了实验门错误。因此，开发一种用于外推时间演化的张量网络态期望值（根据键维度 ）的理论是自然的，就像在基态搜索 中所做的那样。或者，可以通过引入人工耗散到工程动力学中来更直接地模拟 ZNE，从而使产生的混合态演化具有降低的张量积键维度，例如，在耗散辅助算子演化 中，并相对于耗散强度进行结果外推。尽管这些方法 可以成功地捕捉一维自旋链低权重可观测值的长期动力学，但它们在高维二维高权重可观测值在中间时间的应用尚不清楚——特别是当这些方法明确设计用于截断复杂算子时。 θ χ χ 有噪声的量子处理器即使在容错量子计算出现之前，就能在超过 100 个量子比特和非平凡电路深度的规模上产生可靠的期望值，这一观察结果表明，在努力从噪声限制的量子电路中获得实际计算优势方面确实有其价值。近年来，大量研究工作致力于开发和演示候选启发式量子算法，这些算法使用噪声限制的量子电路来估计期望值。我们现在已经达到了一个可靠的规模，可以验证这些提议并探索新的方法，以确定哪些方法可以提供超越经典近似方法的效用。同时，这些结果将激励并促进经典近似方法的进步，因为这两种方法都将成为彼此有价值的基准。然而，即使改进了经典方法，门保真度 和超导量子系统的速度即将实现的数量级改进也将推动可访问电路体积的显著增强，并为有噪声量子计算机的实用性描绘一幅日益光明的图景。 方法 设备校准 基于交叉共振的 CNOT 门的速率取决于量子比特-量子比特的失谐，并且通常，设备上的门速率是独立选择的，以最小化单个门的错误。这导致了设备上 CNOT 时间的大幅差异。考虑到每个并行 CNOT 层的速率由层中最慢的门限制，我们开发了一种新的大型处理器校准方案，该方案优化了层而不是单个门。首先，将控制和目标量子比特分配给每个门层，以减少串扰和来自 transmon 频率碰撞的泄漏。然后，仔细优化层中最慢的门的持续时间。最后，将层中的所有门固定为该持续时间，并通过误差放大序列 进行同步校准。与独立校准的门相比，层持续时间没有改变，但门速度较慢，驱动幅度较低，从而减少了由多光子跃迁引起的任何泄漏。 噪声模型 在本研究中，我们通过学习到的噪声模型来放大门噪声。对于此模型，遵循参考文献，通用 Pauli 通道近似为 ，其中具有稀疏 Pauli-Lindblad 生成器 这里，跳跃算子选择为 Pauli 算子 ，其系数为 ，模型由非负系数 参数化。该模型可以重写为 其中 和 表示算子的复合，而 代表算子作用。换句话说，我们可以将 Λ( ) 表示为简单 Pauli 映射的复合。对于物理噪声通道，其中所有 ≥ 0，复合由简单的 Pauli 通道组成。通过仅允许支持对应于单个量子比特或一对连接量子比特的 Pauli 项 的系数 非零，我们获得了稀疏噪声模型，该模型可以被有效学习，并且尽管其简单性，但能够捕获串扰误差。可以很容易地看出，通过将所有 乘以 来获得 。对于 ≥ 0，生成的噪声模型是 Pauli 通道的复合。可以通过独立地以概率 1 - 对每个简单通道采样 并将结果相乘来获得该通道的样本。对于 < 0，生成的系数 1 - 通常为负，导致非物理噪声映射。在这种情况下，仍然可以进行采样，尽管是以准概率的方式。这样做会导致采样开销为 ，其中 。 ρ wi wi 蛮力模拟 最简单、最准确且最受限制的方法是模拟由 2 个复系数组成的密集向量中的 个量子比特的状态集合。无论局部性如何，所有幺正门都可以直接应用于向量。通过共轭态、算子和态的向量-矩阵-向量乘积来找到期望值。我们对最多 30 个 M M