```html مصنفین: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder خلاصہ بڑے پیمانے پر الگورتھم پر عملدرآمد موجودہ کوانٹم کمپیوٹرز میں جسمانی غلطیوں کے جمع ہونے کی وجہ سے روکا گیا ہے۔ [su_cite:1,2,3] کوانٹم غلطی کی اصلاح کا وعدہ کرتی ہے کہ k منطقی کیوبٹس کو n جسمانی کیوبٹس کی بڑی تعداد میں انکوڈ کرکے ایک حل فراہم کیا جائے، تاکہ جسمانی غلطیوں کو دبا دیا جائے تاکہ قابل قبول درستگی کے ساتھ مطلوبہ حساب کو چلایا جا سکے۔ کوانٹم غلطی کی اصلاح اس وقت عملی طور پر قابل حصول بن جاتی ہے جب جسمانی غلطی کی شرح ایک حد سے نیچے آجائے جو کوانٹم کوڈ، سنڈروم ماپنے والے سرکٹ اور ڈیکوڈنگ الگورتھم کے انتخاب پر منحصر ہے۔ [su_cite:4,5] ہم ایک اینڈ ٹو اینڈ کوانٹم غلطی کی اصلاح کا پروٹوکول پیش کرتے ہیں جو کم کثافت والے پارٹی چیک کوڈز (LDPC) کے خاندان کی بنیاد پر فالٹ ٹولرنٹ میموری کو لاگو کرتا ہے۔ [su_cite:6] ہمارا طریقہ معیاری سرکٹ پر مبنی شور ماڈل کے لیے 0.7% کی غلطی کی حد حاصل کرتا ہے، جو سطح کوڈ کے برابر ہے [su_cite:7,8,9,10] جو 20 سال سے غلطی کی حد کے لحاظ سے سب سے اہم کوڈ رہا ہے۔ ہمارے خاندان میں لمبائی n کوڈ کے لیے سنڈروم پیمائش سائیکل میں n اضافی کیوبٹس اور CNOT گیٹس، کیوبٹ ابتدائی سازی اور پیمائش کے ساتھ 8 گہرائی کا سرکٹ درکار ہوتا ہے۔ درکار کیوبٹ کنیکٹیویٹی دو ایج ڈسجوائنٹ پلانر سب گراف پر مشتمل ڈگری-6 گراف ہے۔ خاص طور پر، ہم دکھاتے ہیں کہ 288 جسمانی کیوبٹس کا استعمال کرتے ہوئے 12 منطقی کیوبٹس کو تقریباً 1 ملین سنڈروم سائیکلوں کے لیے محفوظ کیا جا سکتا ہے، بشرطیکہ 0.1% کی جسمانی غلطی کی شرح ہو، جبکہ سطح کوڈ کو اس کارکردگی کو حاصل کرنے کے لیے تقریباً 3,000 جسمانی کیوبٹس کی ضرورت ہوگی۔ ہماری تلاشیں قریبی مدتی کوانٹم پروسیسرز کی پہنچ میں فالٹ ٹولرنٹ کوانٹم میموری کی کم اوور ہیڈ کی نمائشیں لاتی ہیں۔ بنیادی کوانٹم کمپیوٹنگ نے اپنی صلاحیت کی وجہ سے توجہ حاصل کی ہے کہ وہ بہترین معلوم کلاسیکی الگورتھم کے مقابلے میں ایک سیٹ کے کمپیوٹیشنل مسائل کے حل کو نمایاں طور پر تیز کر سکے۔ [su_cite:5] یہ یقین کیا جاتا ہے کہ ایک کام کرنے والا قابل توسیع کوانٹم کمپیوٹر سائنسی دریافت، مواد تحقیق، کیمسٹری اور ادویات کے ڈیزائن جیسے شعبوں میں کمپیوٹیشنل مسائل کو حل کرنے میں مدد کر سکتا ہے۔ [su_cite:11,12,13,14] ایک کوانٹم کمپیوٹر بنانے میں سب سے بڑی رکاوٹ کوانٹم معلومات کی نازکیت ہے، جو مختلف ذرائع سے متاثر ہوتی ہے۔ چونکہ بیرونی اثرات سے کوانٹم کمپیوٹر کو الگ کرنا اور اسے مطلوبہ حساب کے لیے کنٹرول کرنا آپس میں متصادم ہے، اس لیے شور ناگزیر معلوم ہوتا ہے۔ شور کے ذرائع میں کیوبٹس میں نقائص، استعمال شدہ مواد، کنٹرولنگ اپریٹس، اسٹیٹ پریپریشن اور پیمائش کی غلطیاں اور مختلف قسم کے بیرونی عوامل شامل ہیں جن میں مقامی انسان ساختہ، جیسے بے راہ رو برقی مقناطیسی فیلڈز، سے لے کر کائنات کے فطری عوامل، جیسے کاسمک شعاعیں، شامل ہیں۔ خلاصہ کے لیے ref. [su_cite:15] دیکھیں۔ اگرچہ شور کے کچھ ذرائع بہتر کنٹرول [su_cite:16]، مواد [su_cite:17] اور شیلڈنگ [su_cite:18,19,20] سے ختم کیے جا سکتے ہیں، کئی دوسرے ذرائع کو ختم کرنا مشکل معلوم ہوتا ہے۔ آخری قسم میں پھنسے ہوئے آئنوں میں خود بخود اور حوصلہ افزائی کا اخراج شامل ہو سکتا ہے [su_cite:1,2]، اور باتھ کے ساتھ تعامل (Purcell effect) [su_cite:3] سپرہ کنڈکٹنگ سرکٹس میں—دو اہم کوانٹم ٹیکنالوجیز کو شامل کیا گیا ہے۔ اس طرح، ایک کام کرنے والے قابل توسیع کوانٹم کمپیوٹر کی تعمیر کے لیے غلطی کی اصلاح ایک کلیدی ضرورت بن جاتی ہے۔ کوانٹم فالٹ ٹولرنس کا امکان اچھی طرح سے قائم ہے [su_cite:4]۔ ایک منطقی کیوبٹ کو بہت سے جسمانی کیوبٹس میں بیکار طور پر انکوڈ کرنے سے غلطیوں کی تشخیص اور درستگی ممکن ہوتی ہے جو پیرٹی-چیک آپریٹرز کے سنڈروم کی بار بار پیمائش کرکے کی جاتی ہے۔ تاہم، غلطی کی اصلاح صرف اس صورت میں فائدہ مند ہوتی ہے جب ہارڈویئر کی غلطی کی شرح ایک مخصوص حد قدر سے نیچے ہو جو کسی خاص غلطی کی اصلاح کے پروٹوکول پر منحصر ہو۔ کوانٹم غلطی کی اصلاح کے لیے پہلی تجاویز، جیسے کہ مربوط کوڈز [su_cite:21,22,23]، نے غلطی کو دبانے کے نظری امکان کو ظاہر کرنے پر توجہ مرکوز کی۔ چونکہ کوانٹم غلطی کی اصلاح اور کوانٹم ٹیکنالوجیز کی صلاحیتوں کی سمجھ پختہ ہوئی، توجہ عملی کوانٹم غلطی کی اصلاح کے پروٹوکولز کو تلاش کرنے کی طرف منتقل ہو گئی۔ اس کے نتیجے میں سطح کوڈ [su_cite:7,8,9,10] تیار ہوا جس میں 1% کے قریب ایک اعلیٰ غلطی کی حد، تیز ڈیکوڈنگ الگورتھم، اور دو جہتی (2D) مربع جالی کیوبٹ کنیکٹیویٹی پر انحصار کرنے والے موجودہ کوانٹم پروسیسرز کے ساتھ مطابقت ہے۔ سطح کوڈ کے چھوٹے مثالیں جن میں ایک ہی منطقی کیوبٹ ہے، پہلے ہی کئی گروہوں کے ذریعہ تجرباتی طور پر مظاہرہ کی جا چکی ہیں۔ [su_cite:24,25,26,27,28] تاہم، 100 یا اس سے زیادہ منطقی کیوبٹس تک سطح کوڈ کو بڑھانا اس کی خراب انکڈنگ کارکردگی کی وجہ سے نا قابل برداشت مہنگا ہوگا۔ اس نے کم کثافت والے پارٹی چیک (LDPC) کوڈز کے نام سے زیادہ عام کوانٹم کوڈز میں دلچسپی کو جنم دیا۔ [su_cite:6] LDPC کوڈز کے مطالعہ میں حالیہ پیشرفت سے پتہ چلتا ہے کہ وہ بہت زیادہ انکڈنگ کارکردگی کے ساتھ کوانٹم فالٹ ٹولرنس حاصل کر سکتے ہیں۔ [su_cite:29] یہاں، ہم LDPC کوڈز کے مطالعہ پر توجہ مرکوز کرتے ہیں، کیونکہ ہمارا مقصد کوانٹم غلطی کی اصلاح کے کوڈز اور پروٹوکولز تلاش کرنا ہے جو کوانٹم کمپیوٹنگ ٹیکنالوجیز کی حدود کو مدنظر رکھتے ہوئے موثر اور عملی مظاہرہ کے قابل دونوں ہوں۔ ایک کوانٹم غلطی کو درست کرنے والا کوڈ LDPC قسم کا ہوتا ہے اگر کوڈ کا ہر چیک آپریٹر صرف چند کیوبٹس پر عمل کرتا ہے اور ہر کیوبٹ صرف چند چیکس میں حصہ لیتا ہے۔ حال ہی میں LDPC کوڈز کے کئی تغیرات تجویز کیے گئے ہیں جن میں ہائپربولک سطح کے کوڈز [su_cite:30,31,32]، ہائپر گراف پروڈکٹ [su_cite:33]، متوازن پروڈکٹ کوڈز [su_cite:34]، فائنائٹ گروپس پر مبنی دو-بلاک کوڈز [su_cite:35,36,37,38]، اور کوانٹم ٹینر کوڈز [su_cite:39,40] شامل ہیں۔ بعد والے کو بالترتیب 'اچھے' کے طور پر دکھایا گیا ہے [su_cite:39,40] جس کا مطلب ہے کہ ایک مستقل انکڈنگ ریٹ اور لکیری فاصلہ فراہم کیا جائے: ایک پیرامیٹر جو درست کی جا سکنے والی غلطیوں کی تعداد کو واضح کرتا ہے۔ اس کے برعکس، سطح کوڈ کا ایک استعارہ صفر انکڈنگ ریٹ اور صرف مربع جڑ فاصلہ ہوتا ہے۔ سطح کوڈ کو اعلیٰ شرح، اعلیٰ فاصلہ LDPC کوڈ سے بدلنے سے اہم عملی اثرات مرتب ہو سکتے ہیں۔ سب سے پہلے، فالٹ ٹولرنس اوور ہیڈ (جسمانی اور منطقی کیوبٹس کے درمیان کا تناسب) نمایاں طور پر کم کیا جا سکتا ہے۔ دوسرا، اعلیٰ فاصلے والے کوڈز منطقی غلطی کی شرح میں بہت تیز کمی دکھاتے ہیں: جیسے ہی جسمانی غلطی کا امکان حد قدر سے گزرتا ہے، غلطی کو دبانے کی مقدار جو کوڈ کے ذریعہ حاصل کی جاتی ہے وہ جسمانی غلطی کی شرح میں معمولی کمی کے ساتھ بھی آرڈرز آف میگنیٹیوڈ سے بڑھ سکتی ہے۔ یہ خصوصیت اعلیٰ فاصلے والے LDPC کوڈز کو قریبی مدتی مظاہروں کے لیے پرکشش بناتی ہے جو قریبی حد کے دائرے میں چلنے کی امید ہے۔ تاہم، یہ پہلے یقین کیا جاتا تھا کہ سطح کوڈ کو نقلی شور ماڈلز بشمول میموری، گیٹ اور اسٹیٹ پریپریشن اور پیمائش کی غلطیوں کے لیے بہتر بنانے کے لیے 10,000 سے زیادہ جسمانی کیوبٹس والے بہت بڑے LDPC کوڈز کی ضرورت ہو سکتی ہے۔ [su_cite:31] یہاں ہم اعلیٰ شرح LDPC کوڈز کی کئی ٹھوس مثالیں پیش کرتے ہیں جن میں چند سو جسمانی کیوبٹس کم گہرائی والے سنڈروم ماپنے والے سرکٹ، ایک موثر ڈیکوڈنگ الگورتھم، اور انفرادی منطقی کیوبٹس کو ایڈریس کرنے کے لیے فالٹ ٹولرنٹ پروٹوکول شامل ہیں۔ یہ کوڈز 0.7% کے قریب غلطی کی حد دکھاتے ہیں، قریبی حد کے دائرے میں بہترین کارکردگی کا مظاہرہ کرتے ہیں، اور سطح کوڈ کے مقابلے میں انکڈنگ اوور ہیڈ میں 10 گنا کمی فراہم کرتے ہیں۔ ہمارے غلطی کی اصلاح کے پروٹوکولز کو نافذ کرنے کے لیے ہارڈویئر کی ضروریات نسبتاً نرم ہیں، کیونکہ ہر جسمانی کیوبٹ صرف چھ دوسرے کیوبٹس کے ساتھ دو کیوبٹ گیٹس کے ذریعے جڑا ہوا ہے۔ اگرچہ کیوبٹ کنیکٹیویٹی گراف 2D گرڈ میں مقامی طور پر ایمبیڈ ایبل نہیں ہے، اسے دو پلانر ڈگری-3 سب گراف میں توڑا جا سکتا ہے۔ جیسا کہ ہم ذیل میں بحث کرتے ہیں، ایسی کیوبٹ کنیکٹیویٹی سپرہ کنڈکٹنگ کیوبٹس پر مبنی فن تعمیرات کے لیے موزوں ہے۔ ہمارے کوڈز میکے وغیرہ [su_cite:41] کے ذریعہ تجویز کردہ بائی سائیکل کوڈز کی عام شکل ہیں اور refs میں گہرائی سے مطالعہ کیا گیا ہے۔ [su_cite:35,36,42]۔ ہم نے اپنے کوڈز کو بائی ویری ایٹ بائی سائیکل (BB) کا نام دیا ہے کیونکہ وہ بائی ویری ایٹ پولینومیئلز پر مبنی ہیں، جیسا کہ طریقوں میں تفصیلی ہے۔ [su_cite: Methods]۔ یہ Calderbank–Shor–Steane (CSS) قسم کے سٹیبلائزر کوڈز ہیں [su_cite:43,44] جنہیں Pauli X اور Z پر مشتمل چھ کیوبٹ چیک (سٹیبلائزر) آپریٹرز کے مجموعہ سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ بلند سطح پر، ایک BB کوڈ دو جہتی ٹورک کوڈ [su_cite:7] کے مشابہ ہے۔ خاص طور پر، ایک BB کوڈ کے جسمانی کیوبٹس کو متواتر باؤنڈری کنڈیشنز کے ساتھ دو جہتی گرڈ پر رکھا جا سکتا ہے تاکہ تمام چیک آپریٹرز کو گرڈ کی افقی اور عمودی شفٹوں کو لاگو کرکے X اور Z چیکس کے ایک ہی جوڑے سے حاصل کیا جا سکے۔ تاہم، پلیکیٹ اور ورٹکس سٹیبلائزرز جو ٹورک کوڈ کو بیان کرتے ہیں اس کے برعکس، BB کوڈز کے چیک آپریٹرز جیومیٹرکلی مقامی نہیں ہیں۔ مزید برآں، ہر چیک چار کیوبٹس کے بجائے چھ کیوبٹس پر عمل کرتا ہے۔ ہم کوڈ کو ٹینر گراف G کے ذریعہ بیان کریں گے تاکہ G کا ہر راس یا تو ڈیٹا کیوبٹ یا چیک آپریٹر کی نمائندگی کرے۔ ایک چیک راس i اور ایک ڈیٹا راس j ایک ایج سے جڑے ہوتے ہیں اگر i-th چیک آپریٹر j-th ڈیٹا کیوبٹ پر غیر معمولی طور پر عمل کرتا ہے (Pauli X یا Z کو لاگو کرکے)۔ بالترتیب سطح اور BB کوڈز کے مثال ٹینر گراف کے لیے fig. 1a,b دیکھیں۔ کسی بھی BB کوڈ کے ٹینر گراف میں ورٹکس ڈگری چھ اور گراف موٹائی [su_cite:29] دو ہوتی ہے، جس کا مطلب ہے کہ اسے دو ایج ڈسجوائنٹ پلانر سب گراف میں توڑا جا سکتا ہے۔ (طریقے [su_cite: Methods])۔ موٹائی-2 کیوبٹ کنیکٹیویٹی سپرہ کنڈکٹنگ کیوبٹس کے لیے موزوں ہے جو مائیکرو ویو ریزونیٹرز کے ذریعہ جڑے ہوئے ہیں۔ مثال کے طور پر، کپلرز کی دو پلانر پرتیں اور ان کی کنٹرول لائنیں کیوبٹس کی میزبانی کرنے والے چپ کے اوپر اور نیچے کی طرف لگائی جا سکتی ہیں، اور دو اطراف کو جوڑا جا سکتا ہے۔ , سطح کوڈ کا ٹینر گراف، موازنے کے لیے۔ , [[144, 12, 12]] پیرامیٹرز والے BB کوڈ کا ٹینر گراف جو ٹورس میں ایمبیڈ کیا گیا ہے۔ ٹینر گراف کا کوئی بھی کنارہ ڈیٹا اور چیک راس سے جڑتا ہے۔ q(L) اور q(R) رجسٹر سے وابستہ ڈیٹا کیوبٹس کو بالترتیب نیلے اور نارنجی دائروں سے دکھایا گیا ہے۔ ہر راس میں چھ واقعہ کنارے ہوتے ہیں جن میں چار مختصر رینج والے کنارے (شمال، جنوب، مشرق اور مغرب کی طرف اشارہ کرتے ہوئے) اور دو طویل رینج والے کنارے شامل ہیں۔ ہم بھیڑ سے بچنے کے لیے صرف چند طویل رینج والے کنارے دکھاتے ہیں۔ ڈیشڈ اور ٹھوس کنارے ٹینر گراف کو پھیلانے والے دو پلانر سب گراف کی نشاندہی کرتے ہیں، طریقوں [su_cite: Methods] دیکھیں۔ , ref کے مطابق X اور Z کی پیمائش کے لیے ٹینر گراف کی توسیع کا خاکا۔ [su_cite:50]، سطح کوڈ سے منسلک ہے۔ X پیمائش سے وابستہ اضافی کوانٹم ٹیلی پورٹیشن اور کچھ منطقی یونٹریز کے ذریعے تمام منطقی کیوبٹس کے لیے لوڈ-اسٹور آپریشنز کو فعال کیا جا سکتا ہے۔ اس توسیع شدہ ٹینر گراف کا موٹائی-2 فن تعمیر میں بھی A اور B کنارے کے ذریعے [su_cite: Methods] ایک نفاذ ہے۔ a b c [[n, k, d]] پیرامیٹرز والے BB کوڈ میں k منطقی کیوبٹس کو n ڈیٹا کیوبٹس میں انکوڈ کیا جاتا ہے جو کوڈ فاصلہ d فراہم کرتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ کوئی بھی منطقی غلطی کم از کم d ڈیٹا کیوبٹس کو پھیلاتی ہے۔ ہم n ڈیٹا کیوبٹس کو بالترتیب n/2 کے سائز کے q(L) اور q(R) رجسٹر میں تقسیم کرتے ہیں۔ کوئی بھی چیک تین کیوبٹس q(L) سے اور تین کیوبٹس q(R) سے عمل کرتا ہے۔ کوڈ غلطی سنڈروم کی پیمائش کے لیے n اضافی چیک کیوبٹس پر انحصار کرتا ہے۔ ہم n چیک کیوبٹس کو بالترتیب n/2 کے سائز کے q(X) اور q(Z) رجسٹر میں تقسیم کرتے ہیں جو بالترتیب X اور Z قسم کے سنڈرومز کو جمع کرتے ہیں۔ کل ملا کر، انکڈنگ 2n جسمانی کیوبٹس پر انحصار کرتی ہے۔ خالص انکڈنگ ریٹ اس طرح r = k/(2n) ہے۔ مثال کے طور پر، معیاری سطح کوڈ فن تعمیر فاصلہ d کے کوڈ کے لیے k=1 منطقی کیوبٹ کو n=d^2 ڈیٹا کیوبٹس میں انکوڈ کرتا ہے اور سنڈروم پیمائش کے لیے n-1 چیک کیوبٹس استعمال کرتا ہے۔ خالص انکڈنگ ریٹ r ≈ 1/(2d^2) ہے، جو تیزی سے غیر عملی ہو جاتا ہے کیونکہ ایک بڑے کوڈ فاصلے کا انتخاب کرنے پر مجبور کیا جاتا ہے، مثال کے طور پر، جسمانی غلطیوں کے حد قدر کے قریب ہونے کی وجہ سے۔ اس کے برعکس، BB کوڈز میں انکڈنگ ریٹ r ≫ 1/d^2 ہوتا ہے، کوڈ مثالوں کے لیے جدول 1 دیکھیں۔ ہماری بہترین معلومات کے مطابق، جدول 1 میں دکھائے گئے تمام کوڈز نئے ہیں۔ فاصلہ-12 کوڈ [[144, 12, 12]] قریبی مدتی مظاہروں کے لیے سب سے زیادہ امید افزا ہو سکتا ہے، کیونکہ یہ بڑے فاصلے اور اعلیٰ خالص انکڈنگ ریٹ r=1/24 کو یکجا کرتا ہے۔ موازنے کے لیے، فاصلہ-11 سطح کوڈ کا خالص انکڈنگ ریٹ r=1/241 ہے۔ ذیل میں، ہم دکھاتے ہیں کہ فاصلہ-12 BB کوڈ تجرباتی طور پر متعلقہ غلطی کی شرحوں کی حد میں فاصلہ-11 سطح کوڈ سے بہتر کارکردگی کا مظاہرہ کرتا ہے۔ غلطیوں کے جمع ہونے کو روکنے کے لیے سنڈروم کی غلطی کی پیمائش کافی حد تک بار بار کرنے کے قابل ہونا چاہیے۔ یہ ایک سنڈروم پیمائش سرکٹ کے ذریعے حاصل کیا جاتا ہے جو ہر چیک آپریٹر کے سپورٹ میں ڈیٹا کیوبٹس کو بالترتیب اضافی کیوبٹ سے CNOT گیٹس کے سلسلے کے ذریعے جوڑتا ہے۔ پھر چیک کیوبٹس کی پیمائش کی جاتی ہے جو غلطی سنڈروم کی قدر کو ظاہر کرتی ہے۔ سنڈروم پیمائش سرکٹ کو لاگو کرنے میں لگنے والا وقت اس کی گہرائی کے متناسب ہوتا ہے: گیٹ کی تہوں کی تعداد جو غیر اوورلیپنگ CNOTs سے بنی ہوتی ہے۔ چونکہ سنڈروم پیمائش سرکٹ کے عمل درآمد کے دوران نئی غلطیاں ہوتی رہتی ہیں، اس کی گہرائی کو کم سے کم کیا جانا چاہیے۔ BB کوڈ کے لیے سنڈروم پیمائش کا مکمل سائیکل fig. 2 پر دکھایا گیا ہے۔ سنڈروم سائیکل کے لیے کوڈ کی لمبائی سے قطع نظر صرف سات CNOTs کی تہوں کی ضرورت ہوتی ہے۔ چیک کیوبٹس کو سنڈروم سائیکل کے شروع اور آخر میں بالترتیب شروع کیا اور پیمائش کیا جاتا ہے (تفصیلات کے لیے طریقے [su_cite: Methods] دیکھیں۔ سرکٹ بنیادی کوڈ کی سائیکلک شفٹ سمٹری کا احترام کرتا ہے۔ CNOTs کی سات تہوں پر انحصار کرنے والے سنڈروم پیمائش کا مکمل سائیکل۔ ہم سرکٹ کا ایک مقامی نظارہ فراہم کرتے ہیں جس میں q(L) اور q(R) میں سے ہر ایک رجسٹر سے صرف ایک ڈیٹا کیوبٹ شامل ہے۔ سرکٹ ٹینر گراف کی افقی اور عمودی شفٹوں کے تحت ہم آہنگ ہے۔ ہر ڈیٹا کیوبٹ تین X-چیک اور تین Z-چیک کیوبٹس کے ساتھ CNOTs کے ذریعے جڑا ہوا ہے: مزید تفصیلات کے لیے طریقے [su_cite: Methods] دیکھیں۔ مکمل غلطی کی اصلاح کا پروٹوکول Nc ≫ 1 سنڈروم پیمائش سائیکل کرتا ہے اور پھر ایک ڈیکوڈر کو کال کرتا ہے: ایک کلاسیکی الگورتھم جو ان پٹ کے طور پر پیمائش شدہ سنڈرومز لیتا ہے اور ڈیٹا کیوبٹس پر حتمی غلطی کا اندازہ لگاتا ہے۔ غلطی کی اصلاح اس صورت میں کامیاب ہوتی ہے جب اندازہ شدہ اور اصل غلطی چیک آپریٹرز کی مصنوعات کے ماڈیولو میں مماثل ہو۔ اس صورت میں، دو غلطیوں کا کسی بھی انکوڈ شدہ (منطقی) حالت پر ایک ہی اثر ہوتا ہے۔ اس طرح، اندازہ شدہ غلطی کا الٹا لاگو کرنے سے ڈیٹا کیوبٹس ابتدائی منطقی حالت میں واپس آ جاتے ہیں۔ بصورت دیگر، اگر اندازہ شدہ اور اصل غلطی ایک غیر معمولی منطقی آپریٹر سے مختلف ہو، تو غلطی کی اصلاح ناکام ہو جاتی ہے جس کے نتیجے میں منطقی غلطی ہوتی ہے۔ ہمارے عددی تجربات Panteleev اور Kalachev [su_cite:36] کے ذریعہ تجویز کردہ ترتیب شماریات ڈیکوڈر (BP-OSD) کے ساتھ یقین کی بنیاد پر مبنی ہیں۔ اصل کام [su_cite:36] نے میموری غلطیوں کے ساتھ ایک کھلونا شور ماڈل کے تناظر میں BP-OSD کی وضاحت کی۔ یہاں ہم دکھاتے ہیں کہ سرکٹ پر مبنی شور ماڈل میں BP-OSD کو کیسے بڑھایا جائے، تفصیلات کے لیے اضافی معلومات [su_cite: Supplementary Information] دیکھیں۔ ہمارا طریقہ refs کی قریبی پیروی کرتا ہے۔ [su_cite:45,46,47,48] سنڈروم پیمائش سرکٹ کا ایک شور والا ورژن کئی قسم کے ناقص آپریشنز پر مشتمل ہو سکتا ہے جیسے کہ بیکار ڈیٹا یا چیک کیوبٹس پر میموری کی غلطیاں، ناقص CNOT گیٹس، کیوبٹ ابتدائی سازی اور پیمائش۔ ہم سرکٹ پر مبنی شور ماڈل [su_cite:10] پر غور کرتے ہیں جس میں ہر آپریشن آزادانہ طور پر p کے امکان کے ساتھ ناکام ہو جاتا ہے۔ منطقی غلطی pL کا امکان p، سنڈروم پیمائش سرکٹس کی تفصیلات، اور ڈیکوڈنگ الگورتھم پر منحصر ہے۔ فرض کریں Nc سنڈروم سائیکل کرنے کے بعد منطقی غلطی کا امکان PL(Nc) ہے۔ منطقی غلطی کی شرح کو pL = PL(Nc)/Nc کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ غیر رسمی طور پر، pL کو فی سنڈروم سائیکل منطقی غلطی کے امکان کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ عام رواج کے مطابق، ہم فاصلہ-d کوڈ کے لیے Nc = d کا انتخاب کرتے ہیں۔ اعداد و شمار 3 جدول 1 سے کوڈز کے ذریعہ حاصل کردہ منطقی غلطی کی شرح دکھاتا ہے۔ منطقی غلطی کی شرح کا عددی طور پر p ≥ 10⁻³ کے لیے حساب لگایا گیا اور فٹنگ فارمولا کے ذریعے کم شرحوں تک بڑھایا گیا (طریقے [su_cite: Methods])۔ سوڈو-تھریشولڈ p₀ کو بریک-ایون مساوات pL(p) = kp کے حل کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ یہاں kp کیوبٹ کی غلطی کا امکان ہے جو کم از کم k غیر انکوڈ شدہ کیوبٹس کو متاثر کرتا ہے۔ BB کوڈز 0.7% کے قریب ایک سوڈو-تھریشولڈ پیش کرتے ہیں، جدول 1 دیکھیں، جو سطح کوڈ کی غلطی کی حد کے قریب ہے [su_cite:49] اور مصنفین کے علم میں موجود تمام اعلیٰ شرح LDPC کوڈز کی حد سے تجاوز کرتا ہے۔ , BB LDPC کوڈز کے چھوٹے مثالوں کے لیے منطقی بمقابلہ جسمانی غلطی کی شرح۔ pL کا ایک عددی تخمینہ (ہیرے) فاصلہ-d کوڈ کے لیے d سنڈروم سائیکلوں کی سمولیشن سے حاصل کیا گیا تھا۔ زیادہ تر ڈیٹا پوائنٹس میں نمونہ کاری کی غلطیوں کی وجہ سے تقریباً pL/10 کے برابر ایئر بار ہوتے ہیں۔ , 12 منطقی کیوبٹس اور فاصلہ d ∈ {9, 11, 13, 15} والے سطح کوڈز کے ساتھ [[144, 12, 12]] BB LDPC کوڈ کے درمیان موازنہ۔ 12 منطقی کیوبٹس والے فاصلہ-d سطح کوڈ کی لمبائی n = 12d² ہوتی ہے کیونکہ ہر منطقی کیوبٹ سطح کوڈ جالی کے الگ d × d پیچ میں انکوڈ کیا جاتا ہے۔ a b مثال کے طور پر، فرض کریں کہ جسمانی غلطی کی شرح p = 10⁻³ ہے، جو قریبی مدتی مظاہروں کے لیے ایک حقیقت پسندانہ ہدف ہے۔ ٹیبل 1 سے فاصلہ-12 کوڈ کا استعمال کرتے ہوئے 12 منطقی کیوبٹس کو انکوڈ کرنے سے منطقی غلطی کی شرح 2 × 10⁻⁷ پیش کی جائے گی، جو تقریباً 1 ملین سنڈروم سائیکلوں کے لیے 12 منطقی کیوبٹس کو محفوظ کرنے کے لیے کافی ہے۔ اس انکڈنگ کے لیے درکار جسمانی کیوبٹس کی کل تعداد 288 ہے۔ ٹیبل 1 سے فاصلہ-18 کوڈ کے لیے 576 جسمانی کیوبٹس کی ضرورت ہوگی جبکہ غلطی کی شرح کو 10⁻³ سے 2 × 10⁻¹² تک دبانے سے تقریباً سو ارب سنڈروم سائیکل ممکن ہو سکیں گے۔ موازنے کے لیے، سطح کوڈ کے الگ پیچوں میں 12 منطقی کیوبٹس کو انکوڈ کرنے کے لیے غلطی کی شرح کو 10⁻³ سے 10⁻⁷ تک دبانے کے لیے 3,000 سے زیادہ جسمانی کیوبٹس کی ضرورت ہوگی (تصویر 3)۔ اس مثال میں، فاصلہ-12 BB کوڈ سطح کوڈ کے مقابلے میں جسمانی کیوبٹس کی تعداد میں 10 گنا بچت فراہم کرتا ہے۔ کوانٹم غلطی کی اصلاح کی ایک تجویز تب ہی مفید ہوتی ہے جب منطقی کیوبٹس قابل رسائی ہوں۔ خوش قسمتی سے، BB LDPC کوڈز منطقی میموری کے طور پر کام کرنے کے لیے مطلوبہ خصوصیات رکھتے ہیں۔ جیسا کہ fig. 1c میں دکھایا گیا ہے، ٹینر گراف کی توسیع جو کوہن وغیرہ [su_cite:50] کی تکنیکوں کا فائدہ اٹھاتی ہے، اضافی سطح کوڈ کے ساتھ مربوط فالٹ ٹولرنٹ پیمائش آپریشنز کو فعال کرتی ہے۔ یہ پیمائشیں کوانٹم ٹیلی پورٹیشن اور کچھ منطقی یونٹریز کے ذریعے لوڈ-اسٹور آپریشنز کو فعال کرتی ہیں، جو کیوبٹس کو BB کوڈ میں اور باہر لے جاتی ہیں۔ ہماری تحقیق کوانٹم کیوبٹس کے ساتھ قریبی مدتی کوانٹم پروسیسرز کے ساتھ فالٹ ٹولرنٹ کوانٹم میموری کو قابل بنانے کے لیے اہم ہارڈویئر چیلنجز کو اجاگر کرتی ہے: (1) موٹائی-2 فن تعمیر میں کم نقصان والے دوسرے درجے کی ترقی؛ (2) سات کنکشنز (چھ بسیں اور ایک کنٹرول لائن) سے جڑے کیوبٹس کی ترقی؛ اور (3) طویل رینج کے کپلرز کی ترقی۔ یہ سب حل کرنے میں مشکل ہیں لیکن ناممکن نہیں۔ پہلے چیلنج کے لیے، ہم IBM کوانٹم ایگل پروسیسر [su_cite:52] کے لیے تیار کی گئی پیکجنگ [su_cite:51] میں ایک چھوٹی تبدیلی کا تصور کر سکتے ہیں۔ سب سے آسان یہ ہوگا کہ اضافی بسوں کو چپ کی دوسری طرف رکھا جائے۔ اس کے لیے اعلیٰ Q تھرو سبسٹریٹ ویز کی ترقی کی ضرورت ہوگی جو کپلنگ بسوں کا حصہ ہوں گی اور اس طرح یہ یقینی بنانے کے لیے کہ یہ تھرو سبسٹریٹ ویز مائیکروویو پروپیگیشن کی حمایت کر سکیں جبکہ بڑی ناپسندیدہ کراس ٹاک متعارف نہ کرائیں، گہری مائیکروویو سمولیشن کی ضرورت ہوگی۔ دوسرا چیلنج سات کنکشنز تک کپلر کی تعداد کا توسیع ہے (چھ بسیں اور ایک کنٹرول لائن)۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ کراس-ریسنس گیٹ، جو پچھلے کچھ سالوں سے بڑے کوانٹم سسٹمز میں استعمال ہونے والا بنیادی گیٹ رہا ہے، آگے کا راستہ نہیں ہوگا۔ کراس-ریسنس گیٹس میں کیوبٹس ٹیون ایبل نہیں ہیں اور اس طرح بہت سارے کنکشن والے بڑے ڈیوائس کے لیے توانائی کے تصادم کا امکان (صرف کیوبٹ لیولز ہی نہیں بلکہ ٹرانسمون کے اعلیٰ لیولز بھی) بہت تیزی سے ایک تک پہنچ جاتا ہے۔ [su_cite:54] تاہم، IBM کوانٹم ایگریٹ میں ٹیون ایبل کپلر [su_cite:55,56] کے ساتھ اور اب IBM کوانٹم ہیرون کے لیے تیار کیا جا رہا ہے، یہ مسئلہ اب موجود نہیں ہے کیونکہ کیوبٹ کی فریکوئنسیوں کو دور رکھنے کے لیے ڈیزائن کیا جا سکتا ہے۔ یہ نیا گیٹ گوگل کوانٹم AI [su_cite:57] کے ذریعہ استعمال کردہ گیٹس کے بھی مشابہ ہے، جس نے دکھایا ہے کہ مربع جالی کا arrangement ممکن ہے۔ سات کنکشنز تک کپلنگ میپ کو توسیع دینے کے لیے نمایاں مائیکروویو ماڈلنگ کی ضرورت ہوگی؛ تاہم، عام ٹرانسمون میں تقریباً 60 fF کی کیپسیٹینس ہوتی ہے اور ہر گیٹ کے لیے مناسب کپلنگ طاقت کے لیے تقریباً 5 fF ہوتا ہے، اس لیے ٹرانسمون کیوبٹس کے طویل کوہیرنس ٹائم اور استحکام کو تبدیل کیے بغیر اس کپلنگ میپ کو تیار کرنا بنیادی طور پر ممکن ہے۔ آخری چیلنج سب سے مشکل ہے۔ ان بسوں کے لیے جو اتنی چھوٹی ہیں کہ بنیادی موڈ استعمال کیا جا سکتا ہے، معیاری سرکٹ کوانٹم الیکٹروڈائنامکس ماڈل درست ہے۔ تاہم، 144 کیوبٹ کوڈ کو ظاہر کرنے کے لیے کچھ بسیں اتنی لمبی ہوں گی کہ ہمیں فریکوئنسی انجینئرنگ کی ضرورت ہوگی۔ اسے حاصل کرنے کا ایک طریقہ فلٹرنگ ریزونیٹرز کے ساتھ ہے، اور ref میں پروف آف پرنسپل کا تجربہ مظاہرہ کیا گیا تھا۔ [su_cite:58] خلاصہ یہ کہ، ہم ایک نیا نقطہ نظر پیش کرتے ہیں کہ کس طرح ایک فالٹ ٹولرنٹ کوانٹم میموری کو قریبی مدتی کوانٹم پروسیسرز کے ساتھ کم کیوبٹ اوور ہیڈ کے ساتھ حاصل کیا جا سکتا ہے۔ اگرچہ یہ LDPC کوڈز جیومیٹرکلی مقامی نہیں ہیں، سنڈروم پیمائش کے لیے درکار کیوبٹ کنیکٹیویٹی کو موٹائی-2 گراف کے ذریعہ بیان کیا گیا ہے جسے کیوبٹ کپلرز کی دو پلانر ڈگری-3 تہوں کا استعمال کرتے ہوئے لاگو کیا جا سکتا ہے۔ یہ سپرہ کنڈکٹنگ کیوبٹس پر مبنی پلیٹ فارمز کے لیے ایک درست فن تعمیراتی حل ہے۔ سرکٹ پر مبنی شور ماڈل کے لیے کیے گئے عددی سمولیشن سے پتہ چلتا ہے کہ تجویز کردہ LDPC کوڈز 0.1% ≥ p کے عملی طور پر متعلقہ غلطی کی شرحوں کی حد میں سطح کوڈ کے ساتھ موافق ہیں، جو کیوبٹ اوور ہیڈ میں 10 گنا کمی کے ساتھ غلطی کو دبانے کی وہی سطح پیش کرتے ہیں۔ اس دوران، یہ واضح نہیں ہے کہ آیا ہمارے کوڈ کی مثالوں کو بڑی کوڈ لمبائی کی حد میں اعلیٰ انکڈنگ ریٹ کو برقرار رکھتے ہوئے اسکیل اپ کیا جا سکتا ہے۔ طریقے کوڈ کی تعمیر ہم BB کوڈز کی رسمی تعریف سے شروع کرتے ہیں۔ فرض کریں ℓ × ℓ سائز کی شناخت میٹرکس اور سائیکلک شفٹ میٹرکس بالترتیب Iℓ اور Sℓ۔ Sℓ کی i-th قطار میں کالم پر ایک ہی غیر صفر انٹری ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، میٹرکس پر غور کریں نوٹ کریں کہ xy = yx، xTx = yTy = Iℓm، اور xℓ = ym = Iℓm۔ ایک BB کوڈ کو میٹرکس کے ایک جوڑے سے بیان کیا گیا ہے جہاں ہر میٹرکس Ai اور Bj x یا y کی طاقت ہے۔ یہاں اور ذیل میں بائنری میٹرکس کی اضافی اور ضرب موڈولو دو پر کی جاتی ہے، جب تک کہ دوسری صورت میں نہ کہا گیا ہو۔ اس طرح، ہم یہ بھی فرض کرتے ہیں کہ Ai الگ ہیں اور Bj الگ ہیں تاکہ شرائط کو منسوخ کیا جا سکے۔ مثال کے طور پر، کوئی A = x³ + y + y² اور B = y³ + x + x² کا انتخاب کر سکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ A اور B میں ہر قطار اور ہر کالم میں بالکل تین غیر صفر اندراجات ہیں۔ مزید برآں، AB = BA کیونکہ xy = yx۔ مندرجہ بالا ڈیٹا ایک BB کوانٹم کوڈ QC(A, B) کو n = 2ℓm لمبائی اور چیک میٹرکس کے ساتھ بیان کرتا ہے
