```html مصنفین: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder خلاصہ بڑی تعداد میں کوانٹم کمپیوٹرز میں فزیکل ایرر کے جمع ہونے سے بڑے پیمانے پر الگورتھم کے عملدرآمد میں رکاوٹ آتی ہے۔ [1، 2، 3] کوانٹم ایرر کی اصلاح [4] کے ذریعے کے منطقی کیوبٹس کو n فزیکل کیوبٹس کے بڑے نمبر میں انکوڈ کیا جاسکتا ہے، تاکہ مطلوبہ کمپیوٹیشن کو قابل برداشت وفاداری کے ساتھ چلانے کے لیے فزیکل ایررز کو کافی حد تک دبایا جا سکے۔ کوانٹم ایرر کی اصلاح عملی طور پر اس وقت قابل حصول ہوجاتی ہے جب فزیکل ایرر کی شرح ایک حد سے نیچے آجاتی ہے جو کوانٹم کوڈ، سنڈروم پیمائش سرکٹ اور ڈی کوڈنگ الگورتھم کے انتخاب پر منحصر ہوتی ہے۔ [5] ہم ایک اینڈ ٹو اینڈ کوانٹم ایرر کی اصلاح پروٹوکول پیش کرتے ہیں جو کم کثافت والے پیرٹی-چیک (LDPC) کوڈز کے خاندان کی بنیاد پر فالٹ ٹالرنٹ میموری کو لاگو کرتا ہے۔ [6] ہمارا طریقہ کار سطح کوڈ [7، 8، 9، 10] کے ساتھ برابر 0.7% کے ایرر تھریشولڈ کو حاصل کرتا ہے، جو 20 سال سے ایرر تھریشولڈ کے لحاظ سے سب سے آگے ہے۔ ہمارے خاندان میں n-لمبائی کوڈ کے لیے سنڈروم پیمائش سائیکل کے لیے n غیر جانبدار کیوبٹس اور CNOT گیٹس، کیوبٹ کی ابتدائی کاری اور پیمائشوں کے ساتھ ایک گہرائی-8 سرکٹ کی ضرورت ہوتی ہے۔ مطلوبہ کیوبٹ کنیکٹیویٹی دو ایج-ڈسجوائنٹ پلینر سب گراف پر مشتمل ایک ڈگری-6 گراف ہے۔ خاص طور پر، ہم دکھاتے ہیں کہ 288 فزیکل کیوبٹس کا استعمال کرتے ہوئے، 0.1% کے فزیکل ایرر ریٹ کے تحت، 12 منطقی کیوبٹس کو تقریباً 1 ملین سنڈروم سائیکلوں کے لیے محفوظ کیا جا سکتا ہے، جبکہ سطح کا کوڈ اتنی کارکردگی حاصل کرنے کے لیے تقریباً 3000 فزیکل کیوبٹس کا استعمال کرے گا۔ ہمارے نتائج قریبی مدت کے کوانٹم پروسیسرز کی پہنچ میں فالٹ ٹالرنٹ کوانٹم میموری کی کم اوور ہیڈ کی مظاہرت کو لاتے ہیں۔ بنیادی کوانٹم کمپیوٹنگ نے اپنی صلاحیت کی وجہ سے توجہ حاصل کی ہے کہ یہ بہترین معلوم کلاسیکی الگورتھم کے مقابلے میں کمپیوٹیشنل مسائل کے ایک سیٹ کو تیزی سے حل کر سکے۔ [5] یہ یقین کیا جاتا ہے کہ ایک فعال سکبل کوانٹم کمپیوٹر سائنسی دریافت، مواد کی تحقیق، کیمسٹری اور ادویات کے ڈیزائن جیسے شعبوں میں کمپیوٹیشنل مسائل کو حل کرنے میں مدد کرسکتا ہے۔ [11، 12، 13، 14] کوانٹم کمپیوٹر بنانے میں سب سے بڑی رکاوٹ کوانٹم معلومات کی نازک پن ہے، جو اس پر اثر انداز ہونے والے مختلف قسم کے شور کی وجہ سے ہے۔ چونکہ کوانٹم کمپیوٹر کو بیرونی اثرات سے الگ کرنا اور اسے مطلوبہ کمپیوٹیشن کو متاثر کرنے کے لیے کنٹرول کرنا ایک دوسرے سے متصادم ہے، شور ناگزیر معلوم ہوتا ہے۔ شور کے ذرائع میں کیوبٹس، استعمال شدہ مواد، کنٹرولنگ اپریٹس، اسٹیٹ پریپریشن اور پیمائش کی غلطیاں، اور مقامی انسان ساختہ، جیسے غلط برقی مقناطیسی فیلڈز، سے لے کر کائنات کے اندرونی عوامل، جیسے کاسمک رے، تک شامل ہیں۔ خلاصہ کے لیے ref. [15] دیکھیں۔ جب کہ شور کے کچھ ذرائع کو بہتر کنٹرول [16]، مواد [17] اور شیلڈنگ [18، 19، 20] سے ختم کیا جاسکتا ہے، کئی دیگر ذرائع کو ہٹانا مشکل معلوم ہوتا ہے۔ آخری قسم میں پھنسے ہوئے آئنز میں خود بخود اور حوصلہ افزائی اخراج شامل ہوسکتا ہے [1، 2]، اور سپر کنڈکٹنگ سرکٹس میں غسل (Purcell effect) کے ساتھ تعامل [3] — دونوں سرکردہ کوانٹم ٹیکنالوجیز کا احاطہ کرتے ہیں۔ لہذا، ایک فعال سکبل کوانٹم کمپیوٹر بنانے کے لیے ایرر کی اصلاح ایک کلیدی ضرورت بن جاتی ہے۔ کوانٹم فالٹ ٹالرنس کا امکان اچھی طرح سے قائم ہے۔ [4] ایک منطقی کیوبٹ کو بہت سے فزیکل کیوبٹس میں فضول طریقے سے انکوڈ کرنا ممکن بناتا ہے کہ پیرٹی-چیک آپریٹرز کے سنڈروم کو بار بار ماپ کر غلطیوں کا پتہ لگایا اور درست کیا جا سکے۔ تاہم، ایرر کی اصلاح صرف اس صورت میں فائدہ مند ہوتی ہے جب ہارڈویئر ایرر کی شرح ایک مخصوص حد سے نیچے ہو جو ایک خاص ایرر کی اصلاح پروٹوکول پر منحصر ہو۔ کوانٹم ایرر کی اصلاح کے لیے پہلی تجاویز، جیسے کہ ملا ہوا کوڈ [21، 22، 23]، ایرر کی قلت کی نظریاتی امکان کو ظاہر کرنے پر مرکوز تھیں۔ جیسے کوانٹم ایرر کی اصلاح کی سمجھ اور کوانٹم ٹیکنالوجیز کی صلاحیتیں پختہ ہوئیں، توجہ عملی کوانٹم ایرر کی اصلاح پروٹوکولز تلاش کرنے کی طرف منتقل ہوگئی۔ اس کے نتیجے میں سطح کوڈ [7، 8، 9، 10] کی ترقی ہوئی جو تقریباً 1% کے قریب ایک اعلی ایرر تھریشولڈ، تیز ڈی کوڈنگ الگورتھم، اور دو جہتی (2D) مربع جالی کیوبٹ کنیکٹیویٹی پر انحصار کرنے والے موجودہ کوانٹم پروسیسرز کے ساتھ مطابقت پیش کرتا ہے۔ ایک منطقی کیوبٹ کے ساتھ سطح کوڈ کے چھوٹے مثالوں کو پہلے ہی کئی گروہوں نے تجرباتی طور پر مظاہرہ کیا ہے۔ [24، 25، 26، 27، 28] تاہم، سطح کے کوڈ کو 100 یا اس سے زیادہ منطقی کیوبٹس تک بڑھانا اس کی خراب انکڈنگ کارکردگی کی وجہ سے ناقابل برداشت طور پر مہنگا ہوگا۔ اس نے کم کثافت والے پیرٹی-چیک (LDPC) کوڈز [6] کے نام سے زیادہ عام کوانٹم کوڈز میں دلچسپی کو جنم دیا۔ LDPC کوڈز کے مطالعہ میں حالیہ پیشرفت سے پتہ چلتا ہے کہ وہ بہت زیادہ انکڈنگ کارکردگی کے ساتھ کوانٹم فالٹ ٹالرنس حاصل کرسکتے ہیں۔ [29] یہاں، ہم LDPC کوڈز کے مطالعہ پر توجہ مرکوز کرتے ہیں، کیونکہ ہمارا مقصد کوانٹم ایرر کی اصلاح کوڈز اور پروٹوکولز تلاش کرنا ہے جو کوانٹم کمپیوٹنگ ٹیکنالوجیز کی حدود کو دیکھتے ہوئے عملی طور پر ممکن اور موثر دونوں ہوں۔ کوانٹم ایرر ٹھیک کرنے والا کوڈ LDPC قسم کا ہوتا ہے اگر کوڈ کا ہر چیک آپریٹر صرف چند کیوبٹس پر عمل کرتا ہے اور ہر کیوبٹ صرف چند چیکس میں حصہ لیتا ہے۔ حال ہی میں LDPC کوڈز کے کئی تغیرات تجویز کیے گئے ہیں جن میں ہائپربولک سطح کوڈز [30، 31، 32]، ہائپرگراف پروڈکٹ [33]، متوازن پروڈکٹ کوڈز [34]، فائنائٹ گروپس پر مبنی دو بلاک کوڈز [35، 36، 37، 38]، اور کوانٹم ٹینر کوڈز [39، 40] شامل ہیں۔ مؤخر الذکر کو ایسیمپٹوٹکلی 'اچھا' دکھایا گیا ہے اس معنی میں کہ وہ مستقل انکڈنگ ریٹ اور لکیری فاصلہ پیش کرتے ہیں: ایک پیرامیٹر جو درست ہونے والی غلطیوں کی تعداد کو ظاہر کرتا ہے۔ اس کے برعکس، سطح کوڈ کا ایسیمپٹوٹکلی صفر انکڈنگ ریٹ اور صرف مربع جڑ کا فاصلہ ہے۔ سطح کوڈ کو اعلی-شرح، اعلی-فاصلے والے LDPC کوڈ سے بدلنے سے اہم عملی مضمرات ہوسکتے ہیں۔ سب سے پہلے، فالٹ ٹالرنس اوور ہیڈ (فزیکل اور منطقی کیوبٹس کے درمیان کا تناسب) نمایاں طور پر کم کیا جاسکتا ہے۔ دوم، اعلی-فاصلے والے کوڈز منطقی ایرر ریٹ میں بہت تیز کمی دکھاتے ہیں: جیسے ہی فزیکل ایرر کی احتمال تھریشولڈ ویلیو سے گزرتی ہے، کوڈ کے ذریعے حاصل ہونے والی ایرر کی قلت کی مقدار فزیکل ایرر ریٹ میں معمولی کمی کے ساتھ بھی کئی گنا بڑھ سکتی ہے۔ یہ خصوصیت اعلی-فاصلے والے LDPC کوڈز کو قریبی مدت کی مظاہرت کے لیے پرکشش بناتی ہے جو غالباً قریب-تھریشولڈ ریجیم میں کام کریں گی۔ تاہم، یہ پہلے یقین کیا جاتا تھا کہ حقیقت پسندانہ شور کے ماڈلز بشمول میموری، گیٹ اور اسٹیٹ پریپریشن اور پیمائش کی غلطیوں کے لیے سطح کوڈ سے بہتر کارکردگی حاصل کرنے کے لیے 10،000 سے زیادہ فزیکل کیوبٹس والے بہت بڑے LDPC کوڈز کی ضرورت پڑسکتی ہے۔ [31] یہاں ہم اعلی-شرح LDPC کوڈز کی کئی ٹھوس مثالیں پیش کرتے ہیں جن میں چند سو فزیکل کیوبٹس ہیں جن میں کم گہرائی کے سنڈروم پیمائش سرکٹ، ایک موثر ڈی کوڈنگ الگورتھم، اور انفرادی منطقی کیوبٹس کو ایڈریس کرنے کے لیے ایک فالٹ ٹالرنٹ پروٹوکول شامل ہے۔ یہ کوڈز 0.7% کے قریب ایرر تھریشولڈ دکھاتے ہیں، قریب-تھریشولڈ ریجیم میں بہترین کارکردگی کا مظاہرہ کرتے ہیں، اور سطح کوڈ کے مقابلے میں انکڈنگ اوور ہیڈ میں 10 گنا کمی پیش کرتے ہیں۔ ہمارے ایرر کی اصلاح پروٹوکولز کو حاصل کرنے کے لیے ہارڈویئر کی ضروریات نسبتاً معمولی ہیں، کیونکہ ہر فزیکل کیوبٹ صرف چھ دیگر کیوبٹس کے ساتھ دو-کیوبٹ گیٹس کے ذریعے جڑا ہوا ہے۔ اگرچہ کیوبٹ کنیکٹیویٹی گراف 2D گرڈ میں مقامی طور پر ایمبیڈ نہیں کیا جاسکتا ہے، اسے دو پلینر ڈگری-3 سب گراف میں تقسیم کیا جاسکتا ہے۔ جیسا کہ ہم ذیل میں بحث کرتے ہیں، ایسی کیوبٹ کنیکٹیویٹی سپر کنڈکٹنگ کیوبٹس پر مبنی فن تعمیر کے لیے موزوں ہے۔ ہمارے کوڈز میکے اور ساتھیوں [41] کے ذریعہ تجویز کردہ بائی سائیکل کوڈز کی جنرلائزیشن ہیں اور ref. [35، 36، 42] میں مزید گہرائی میں مطالعہ کیا گیا ہے۔ ہم نے اپنے کوڈز کو بائی ویریٹ بائی سائیکل (BB) کا نام دیا ہے کیونکہ وہ بائی ویریٹ پولینومیلز پر مبنی ہیں، جیسا کہ طریقوں میں تفصیلی ہے۔ [Sec2] یہ Calderbank–Shor–Steane (CSS) قسم [43، 44] کے سٹیبلائزر کوڈز ہیں جنہیں پالینومیل X اور Z پر مشتمل چھ-کیوبٹ چیک (سٹیبلائزر) آپریٹرز کے ایک مجموعہ سے بیان کیا جاسکتا ہے۔ اونچے درجے پر، BB کوڈ دو جہتی ٹورک کوڈ [7] سے مشابہت رکھتا ہے۔ خاص طور پر، BB کوڈ کے فزیکل کیوبٹس کو پیریڈک باؤنڈری کنڈیشنز کے ساتھ دو جہتی گرڈ پر رکھا جاسکتا ہے تاکہ تمام چیک آپریٹرز کو گرڈ کے افقی اور عمودی شفٹوں کو لاگو کرکے X اور Z چیکس کی ایک ہی جوڑی سے حاصل کیا جاسکے۔ تاہم، ٹورک کوڈ کو بیان کرنے والے پلیٹ اور ورٹیکس سٹیبلائزرز کے برخلاف، BB کوڈز کے چیک آپریٹرز جیومیٹرکلی مقامی نہیں ہیں۔ مزید برآں، ہر چیک چار کیوبٹس کے بجائے چھ کیوبٹس پر عمل کرتا ہے۔ ہم کوڈ کو ٹینر گراف G کے ذریعہ بیان کریں گے تاکہ G کا ہر ورٹیکس یا تو ڈیٹا کیوبٹ یا چیک آپریٹر کی نمائندگی کرے۔ ایک چیک ورٹیکس i اور ایک ڈیٹا ورٹیکس j ایک ایج سے جڑے ہوتے ہیں اگر ith چیک آپریٹر jth ڈیٹا کیوبٹ پر غیر معمولی طور پر عمل کرتا ہے (Pauli X یا Z کو لاگو کرکے)۔ بالترتیب سطح اور BB کوڈز کے مثال ٹینر گراف کے لیے Fig. [1a، b] دیکھیں۔ کسی بھی BB کوڈ کے ٹینر گراف میں ورٹیکس ڈگری چھ اور گراف موٹائی [29] دو ہوتی ہے، جس کا مطلب ہے کہ اسے دو ایج-ڈسجوائنٹ پلینر سب گراف میں تقسیم کیا جاسکتا ہے۔ [Sec2] تھکنس-2 کیوبٹ کنیکٹیویٹی سپر کنڈکٹنگ کیوبٹس کے لیے موزوں ہے جو مائیکروویو ریزونیٹرز کے ذریعہ جڑے ہوئے ہیں۔ مثال کے طور پر، دو پلینر لیئرز کے کپلر اور ان کے کنٹرول لائنز کو کیوبٹس کی میزبانی کرنے والے چپ کے اوپر اور نیچے کی طرف سے منسلک کیا جاسکتا ہے، اور دونوں اطراف کو ملا دیا جاسکتا ہے۔ , موازنہ کے لیے سطح کوڈ کا ٹینر گراف۔ , [[144, 12, 12]] پیرامیٹرز والے BB کوڈ کا ٹینر گراف جو ایک ٹورس میں ایمبیڈ کیا گیا ہے۔ ٹینر گراف کا کوئی بھی ایج ڈیٹا اور چیک ورٹیکس کو جوڑتا ہے۔ q(L) اور q(R) رجسٹروں سے وابستہ ڈیٹا کیوبٹس نیلی اور اورنج دائروں سے دکھائے گئے ہیں۔ ہر ورٹیکس میں چار مختصر رینج ایجز (شمال، جنوب، مشرق اور مغرب کی طرف اشارہ کرتے ہوئے) اور دو طویل رینج ایجز سمیت چھ انسیڈنٹ ایجز ہوتے ہیں۔ ہم رش سے بچنے کے لیے صرف چند طویل رینج ایجز دکھاتے ہیں۔ ڈیشڈ اور ٹھوس ایجز ٹینر گراف کو پھیلانے والے دو پلینر سب گراف کی نشاندہی کرتے ہیں، [Sec2] طریقوں کو دیکھیں۔ , ref. [50] کی پیروی کرتے ہوئے X اور Z کی پیمائش کے لیے ٹینر گراف کی توسیع کا خاکہ، جو سطح کوڈ سے منسلک ہوتا ہے۔ X پیمائش سے وابستہ اینسیلا کوانٹم ٹیلی پورٹیشن اور کچھ منطقی یونٹریز کے ذریعے تمام منطقی کیوبٹس کے لیے لوڈ-اسٹور آپریشنز کو فعال کرکے سطح کوڈ سے منسلک کیا جاسکتا ہے۔ یہ توسیعی ٹینر گراف بھی A اور B ایجز [Sec2] کے ذریعے ایک موٹائی-2 فن تعمیر میں عملدرآمد کے قابل ہے۔ a b c [[n, k, d]] پیرامیٹرز والا BB کوڈ k منطقی کیوبٹس کو n ڈیٹا کیوبٹس میں انکوڈ کرتا ہے جو d کوڈ فاصلہ پیش کرتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ کوئی بھی منطقی خرابی کم از کم d ڈیٹا کیوبٹس کو پھیلاتی ہے۔ ہم n ڈیٹا کیوبٹس کو q(L) اور q(R) کے رجسٹروں میں n/2 ہر ایک میں تقسیم کرتے ہیں۔ کوئی بھی چیک q(L) سے تین کیوبٹس اور q(R) سے تین کیوبٹس پر عمل کرتا ہے۔ کوڈ سنڈروم کی خرابی کی پیمائش کے لیے n اینسیلری چیک کیوبٹس پر انحصار کرتا ہے۔ ہم n چیک کیوبٹس کو q(X) اور q(Z) کے رجسٹروں میں n/2 کے سائز میں تقسیم کرتے ہیں جو بالترتیب X اور Z اقسام کے سنڈروم جمع کرتے ہیں۔ کل ملا کر، انکڈنگ 2n فزیکل کیوبٹس پر منحصر ہے۔ خالص انکڈنگ ریٹ اس لیے r = k/(2n) ہے۔ مثال کے طور پر، معیاری سطح کوڈ فن تعمیر فاصلہ-d کوڈ کے لیے k=1 منطقی کیوبٹ کو n=d2 ڈیٹا کیوبٹس میں انکوڈ کرتا ہے اور سنڈروم پیمائشوں کے لیے n−1 چیک کیوبٹس استعمال کرتا ہے۔ خالص انکڈنگ ریٹ r ≈ 1/(2d2) ہے، جو تیزی سے عملی نہ ہونے والا بن جاتا ہے کیونکہ ہمیں، مثال کے طور پر، فزیکل ایررز کے تھریشولڈ ویلیو کے قریب ہونے کی وجہ سے، ایک بڑے کوڈ فاصلے کا انتخاب کرنے پر مجبور کیا جاتا ہے۔ اس کے برعکس، BB کوڈز میں انکڈنگ ریٹ r ≫ 1/d2 ہوتا ہے، کوڈ مثالوں کے لیے ٹیبل [1] دیکھیں۔ ہماری معلومات کے مطابق، ٹیبل [1] میں دکھائے گئے تمام کوڈز نئے ہیں۔ فاصلہ-12 کوڈ [[144, 12, 12]] قریبی مدت کی مظاہرت کے لیے سب سے زیادہ امید افزا ہو سکتا ہے، کیونکہ یہ بڑے فاصلے اور اعلی خالص انکڈنگ ریٹ r = 1/24 کو جوڑتا ہے۔ موازنہ کے لیے، فاصلہ-11 سطح کوڈ میں خالص انکڈنگ ریٹ r = 1/241 ہے۔ ذیل میں، ہم دکھاتے ہیں کہ فاصلہ-12 BB کوڈ تجرباتی طور پر متعلقہ ایرر ریٹس کی حد میں فاصلہ-11 سطح کوڈ سے بہتر کارکردگی کا مظاہرہ کرتا ہے۔ خرابیوں کو جمع ہونے سے روکنے کے لیے ایرر سنڈروم کو کافی حد تک کثرت سے ماپنا ضروری ہے۔ یہ ایک سنڈروم پیمائش سرکٹ کے ذریعے حاصل کیا جاتا ہے جو ہر چیک آپریٹر کے تعاون میں ڈیٹا کیوبٹس کو CNOT گیٹس کے سلسلے کے ذریعہ متعلقہ غیر جانبدار کیوبٹ سے جوڑتا ہے۔ اس کے بعد چیک کیوبٹس کو ماپا جاتا ہے جو ایرر سنڈروم کی قدر ظاہر کرتا ہے۔ سنڈروم پیمائش سرکٹ کو لاگو کرنے میں لگنے والا وقت اس کی گہرائی کے متناسب ہوتا ہے: گیٹ لیئرز کی تعداد جو غیر اوورلیپنگ CNOTs پر مشتمل ہوتی ہے۔ چونکہ سنڈروم پیمائش سرکٹ کے عمل درآمد کے دوران نئی غلطیاں ہوتی رہتی ہیں، اس کی گہرائی کو کم سے کم کیا جانا چاہیے۔ BB کوڈ کے لیے سنڈروم پیمائش کا مکمل چکر Fig. [2] پر دکھایا گیا ہے۔ سنڈروم سائیکل کے لیے صرف سات CNOT لیئرز کی ضرورت ہوتی ہے، کوڈ کی لمبائی سے قطع نظر۔ چیک کیوبٹس سنڈروم سائیکل کے شروع اور آخر میں بالترتیب شروع اور ماپا جاتے ہیں (مکمل سرکٹ تفصیلات کے لیے طریقوں [Sec2] کا حوالہ دیں)۔ سرکٹ کوڈ کی زیریں شفٹ کی مطابقت کی عکاسی کرتا ہے۔ سات CNOTs کی تہوں پر انحصار کرنے والے سنڈروم کی پیمائش کا مکمل چکر۔ ہم سرکٹ کا ایک مقامی نظریہ فراہم کرتے ہیں جس میں q(L) اور q(R) میں سے ہر رجسٹر سے صرف ایک ڈیٹا کیوبٹ شامل ہے۔ سرکٹ ٹینر گراف کی افقی اور عمودی شفٹوں کے تحت متوازن ہے۔ ہر ڈیٹا کیوبٹ کو تین X-چیک اور تین Z-چیک کیوبٹس کے ساتھ CNOTs کے ذریعے جوڑا جاتا ہے: مزید تفصیلات کے لیے طریقوں [Sec2] کا حوالہ دیں۔ مکمل ایرر کی اصلاح پروٹوکول Nc ≫ 1 سنڈروم پیمائش سائیکلوں کو انجام دیتا ہے اور پھر ایک ڈیکوڈر کو کال کرتا ہے: ایک کلاسیکی الگورتھم جو ان پٹ کے طور پر ماپا ہوا سنڈروم لیتا ہے اور ڈیٹا کیوبٹس پر حتمی ایرر کا اندازہ آؤٹ پٹ کرتا ہے۔ ایرر کی اصلاح اس صورت میں کامیاب ہوتی ہے جب اندازہ شدہ اور حقیقی ایرر چیک آپریٹرز کی ایک پروڈکٹ کے ماڈیولو سے مماثل ہوں۔ اس صورت میں، دونوں ایررز کسی بھی انکوڈ شدہ (منطقی) حالت پر ایک ہی عمل کرتے ہیں۔ اس طرح، اندازہ شدہ ایرر کے الٹ کو لاگو کرنے سے ڈیٹا کیوبٹس ابتدائی منطقی حالت میں واپس آجاتے ہیں۔ بصورت دیگر، اگر اندازہ شدہ اور حقیقی ایرر ایک غیر معمولی منطقی آپریٹر سے مختلف ہوتی ہے، تو ایرر کی اصلاح ناکام ہوجاتی ہے جس کے نتیجے میں منطقی ایرر ہوتا ہے۔ ہمارے عددی تجربات Panteleev اور Kalachev [36] کے تجویز کردہ آرڈرڈ سٹیٹسٹکس ڈیکوڈر (BP-OSD) کے ساتھ بلief پروپیگیشن پر مبنی ہیں۔ اصل کام [36] نے صرف میموری ایررز والے ایک کھلونا شور ماڈل کے تناظر میں BP-OSD کو بیان کیا۔ یہاں ہم دکھاتے ہیں کہ سرکٹ پر مبنی شور کے ماڈل میں BP-OSD کو کیسے بڑھایا جائے، تفصیلات کے لیے اضافی معلومات [MOESM1] دیکھیں۔ ہمارا نقطہ نظر ref. [45، 46، 47، 48] کی قریبی پیروی کرتا ہے۔ سنڈروم پیمائش سرکٹ کا ایک شور والا ورژن کئی قسم کے ناقص آپریشنز پر مشتمل ہوسکتا ہے جیسے کہ بیکار ڈیٹا یا چیک کیوبٹس پر میموری ایررز، ناقص CNOT گیٹس، کیوبٹ کی ابتدائی کاری اور پیمائش۔ ہم سرکٹ پر مبنی شور کے ماڈل [10] پر غور کرتے ہیں جس میں ہر آپریشن p کے ساتھ آزادانہ طور پر ناکام ہوتا ہے۔ منطقی خرابی pL کی احتمال p، سنڈروم پیمائش سرکٹس کی تفصیلات، اور ڈی کوڈنگ الگورتھم پر منحصر ہے۔ فرض کریں کہ Nc سنڈروم سائیکلوں کے بعد منطقی خرابی کی احتمال PL(Nc) ہے۔ منطقی خرابی کی شرح کو PL = PL(Nc)/Nc کے طور پر بیان کریں۔ غیر رسمی طور پر، pL کو فی سنڈروم سائیکل منطقی خرابی کی احتمال کے طور پر دیکھا جاسکتا ہے۔ عام رواج کی پیروی کرتے ہوئے، ہم فاصلہ-d کوڈ کے لیے Nc = d کا انتخاب کرتے ہیں۔ ٹیبل [1] سے کوڈز کے ذریعہ حاصل کردہ منطقی ایرر ریٹ Fig. [3] دکھاتا ہے۔ منطقی ایرر ریٹ کو p ≥ 10−3 کے لیے عددی طور پر شمار کیا گیا تھا اور فٹنگ فارمولا [Sec2] کا استعمال کرتے ہوئے کم ایرر ریٹس تک بڑھایا گیا تھا۔ سوڈو-تھریشولڈ p0 کو بریک-ایون مساوات pL(p) = kp کا حل کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ یہاں kp k غیر انکوڈ شدہ کیوبٹس میں سے کم از کم ایک میں خرابی کا شکار ہونے کی احتمال کا تخمینہ ہے۔ BB کوڈز 0.7% کے قریب سوڈو-تھریشولڈ پیش کرتے ہیں، ٹیبل [1] دیکھیں۔ جو کہ سطح کوڈ [49] کے ایرر تھریشولڈ کے تقریباً برابر ہے اور مصنفین کے علم میں موجود تمام اعلی-شرح LDPC کوڈز کے تھریشولڈ سے زیادہ ہے۔ , BB LDPC کوڈز کی چھوٹی مثالوں کے لیے منطقی بمقابلہ فزیکل ایرر ریٹ۔ pL کا عددی تخمینہ (ڈائمنڈز) ایک فاصلہ-d کوڈ کے لیے d سنڈروم سائیکلوں کی سمولیشن سے حاصل کیا گیا تھا۔ زیادہ تر ڈیٹا پوائنٹس میں نمونہ لینے کی غلطیوں کی وجہ سے تقریباً pL/10 کے برابر ایرر بار ہوتے ہیں۔ , [[144, 12, 12]] BB LDPC کوڈ اور 12 منطقی کیوبٹس اور فاصلہ d ∈ {9, 11, 13, 15} والے سطح کوڈز کے درمیان موازنہ۔ 12 منطقی کیوبٹس والے فاصلہ-d سطح کوڈ کی لمبائی n = 12d2 ہے کیونکہ ہر منطقی کیوبٹ کو سطح کوڈ جالی کے الگ d × d پیچ میں انکوڈ کیا جاتا ہے۔ a b مثال کے طور پر، فرض کریں کہ فزیکل ایرر کی شرح p = 10−3 ہے، جو قریبی مدت کی مظاہرت کے لیے ایک حقیقت پسندانہ ہدف ہے۔ ٹیبل [1] سے فاصلہ-12 کوڈ کا استعمال کرتے ہوئے 12 منطقی کیوبٹس کو انکوڈ کرنے سے 2 × 10−7 کی منطقی ایرر ریٹ ملے گی، جو تقریباً 1 ملین سنڈروم سائیکلوں کے لیے 12 منطقی کیوبٹس کو محفوظ کرنے کے لیے کافی ہے۔ اس انکڈنگ کے لیے مطلوبہ کل فزیکل کیوبٹس کی تعداد 288 ہے۔ ٹیبل [1] سے فاصلہ-18 کوڈ کے لیے 576 فزیکل کیوبٹس کی ضرورت ہوگی جبکہ ایرر ریٹ کو 10−3 سے 2 × 10−12 تک دبانے سے تقریباً سو ارب سنڈروم سائیکلوں کو فعال کیا جاسکے گا۔ موازنہ کے لیے، سطح کوڈ کے الگ پیچ میں 12 منطقی کیوبٹس کو انکوڈ کرنے سے 10−3 سے 10−7 تک ایرر ریٹ کو دبانے کے لیے 3000 سے زیادہ فزیکل کیوبٹس کی ضرورت ہوگی (Fig. [3])۔ اس مثال میں، فاصلہ-12 BB کوڈ سطح کوڈ کے مقابلے میں فزیکل کیوبٹس کی تعداد میں 10 گنا بچت پیش کرتا ہے۔ کوانٹم ایرر کی اصلاح کی تجویز صرف اس صورت میں مفید ہوتی ہے جب منطقی کیوبٹس قابل رسائی ہوں۔ خوش قسمتی سے، BB LDPC کوڈز میں منطقی میموری کے طور پر کام کرنے کے لیے مطلوبہ خصوصیات موجود ہیں۔ Fig. [1c] میں دکھایا گیا ہے کہ کوہن اور ساتھیوں [50] کی تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے ٹینر گراف کی توسیع فالٹ ٹالرنٹ پیمائش آپریشنز کو فعال کرتی ہے جس میں ایک اینسیلری سطح کوڈ شامل ہوتا ہے۔ یہ پیمائشیں فالٹ ٹالرنٹ لوڈ-اسٹور آپریشنز کو فعال کرتی ہیں۔ تفصیلات کے لیے اضافی معلومات [MOESM1] دیکھیں۔ ہمارا کام سپر کنڈکٹنگ کیوبٹس کے ساتھ نئے کوڈز کو فعال کرنے کے لیے کلیدی ہارڈویئر چیلنجز کو اجاگر کرتا ہے: (1) موٹائی-2 فن تعمیر میں کم نقصان والے دوسرے تہہ کی ترقی؛ (2) سات کنکشنز (چھ بسیں اور ایک کنٹرول لائن) سے جڑے کیوبٹس کی ترقی؛ اور (3) طویل رینج کپلرز کی ترقی۔ یہ سب حل کرنے میں مشکل ہیں لیکن ناممکن نہیں۔ پہلے چیلنج کے لیے، ہم IBM کوانٹم ایگل پروسیسر [51، 52] کے لیے تیار کی گئی پیکجنگ [50] میں ایک چھوٹی تبدیلی کا تصور کرسکتے ہیں۔ سب سے آسان اضافی بسوں کو چپ کے مخالف طرف رکھنا ہوگا۔ اس کے لیے ہائی Q سبسٹریٹ ویاس کی ترقی کی ضرورت ہوگی جو کپلنگ بسوں کا حصہ ہوں گی اور اس طرح ان سبسٹریٹ ویاس کے مائیکروویو پروپیگیشن کی حمایت کرنے کے لیے کافی مائیکروویو سمولیشن کی ضرورت ہوگی جبکہ بڑی ناپسندیدہ کراس ٹاک کو متعارف نہ کرائیں۔ دوسرا چیلنج کپلرز کی تعداد کو ہیوی ہیکس لیٹیس arrangements [53] سے سات تک بڑھانا ہے، جو چار (تین کپلر اور ایک کنٹرول) ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ کراس ریزوننس گیٹ، جو پچھلے کچھ سالوں سے بڑے کوانٹم سسٹم کے لیے بنیادی گیٹ رہا ہے، آگے کا راستہ نہیں ہوگا۔ کراس ریزوننس گیٹس میں کیوبٹس ٹیون ایبل نہیں ہیں اور اس طرح بہت سے کنکشنز والے بڑے ڈیوائس کے لیے انرجی کے ٹکراؤ (نہ صرف کیوبٹ لیولز بلکہ ٹرانسمون کے بلند ترین لیولز بھی) کی امکان بہت تیزی سے ایک کی طرف بڑھ جاتی ہے [54]۔ تاہم، IBM کوانٹم ایگریٹ میں ٹیون ایبل کپلر [55، 56] کے ساتھ اور اب IBM کوانٹم ہیرون کے لیے تیار کیا جا رہا ہے، یہ مسئلہ اب موجود نہیں ہے کیونکہ کیوبٹ کی فریکوئنسیوں کو زیادہ دور ڈیزائن کیا جاسکتا ہے۔ یہ نیا گیٹ گوگل کوانٹم AI [57] کے ذریعہ استعمال کیے جانے والے گیٹس سے بھی مشابہت رکھتا ہے، جنہوں نے دکھایا ہے کہ مربع لیٹیس arrangement ممکن ہے۔ سات کنکشنز تک کپلنگ میپ کو بڑھانے کے لیے قابل ذکر مائیکروویو ماڈلنگ کی ضرورت ہوگی؛ تاہم، عام ٹرانسمون میں تقریباً 60 fF کی کیپیسیٹنس ہوتی ہے اور ہر گیٹ مناسب کپلنگ طاقتوں کے لیے بسوں کے ساتھ تقریباً 5 fF ہوتا ہے، لہذا ٹرانسمون کیوبٹس کی طویل کوہیرنس ٹائمز اور استحکام کو تبدیل کیے بغیر اس کپلنگ میپ کو تیار کرنا بنیادی طور پر ممکن ہے۔ آخری چیلنج سب سے مشکل ہے۔ ان بسوں کے لیے جو کافی چھوٹی ہیں تاکہ بنیادی موڈ کا استعمال کیا جاسکے، معیاری سرکٹ کوانٹم الیکٹروڈائنامکس ماڈل لاگو ہوتا ہے۔ تاہم، 144-کیوبٹ کوڈ کو ظاہر کرنے کے لیے کچھ بسیں اتنی لمبی ہوں گی کہ ہمیں فریکوئنسی انجینئرنگ کی ضرورت ہوگی۔ اسے حاصل کرنے کا ایک طریقہ فلٹرنگ ریزونیٹرز کے ساتھ ہے، اور ref. [58] میں ایک ثبوت کے اصول کا تجربہ مظاہرہ کیا گیا تھا۔ خلاصہ میں، ہم قریبی مدت کے کوانٹم پروسیسرز کے ساتھ کم کیوبٹ اوور ہیڈ کے ساتھ فالٹ ٹالرنٹ کوانٹم میموری کو کیسے محسوس کیا جاسکتا ہے اس پر ایک نیا نقطہ نظر پیش کرتے ہیں۔ اگرچہ یہ LDPC کوڈز جیومیٹرکلی مقامی نہیں ہیں، سنڈروم پیمائش کے لیے درکار کیوبٹ کنیکٹیویٹی کو ایک موٹائی-2 گراف کے ذریعہ بیان کیا جاتا ہے جسے کیوبٹ کپلرز کی دو پلینر ڈگری-3 تہوں کا استعمال کرکے لاگو کیا جاسکتا ہے۔ یہ سپر کنڈکٹنگ کیوبٹس پر مبنی پلیٹ فارمز کے لیے ایک درست فن تعمیراتی حل ہے۔ سرکٹ پر مبنی شور ماڈل کے لیے کیے گئے عددی سمولیشن اشارہ کرتے ہیں کہ تجویز کردہ LDPC کوڈز عملی طور پر متعلقہ ایرر ریٹس p ≥ 0.1% کی حد میں سطح کوڈ کے ساتھ سازگار ہیں جو کیوبٹ اوور ہیڈ میں 10 گنا کمی کے ساتھ ایرر کی قلت کی یکساں سطح پیش کرتے ہیں۔ دریں اثنا، یہ واضح نہیں ہے کہ آیا ہمارے کوڈ مثالوں کو بڑے کوڈ لمبائی کی حد میں اعلی انکڈنگ ریٹ کو برقرار رکھتے ہوئے بڑے پیمانے پر بڑھایا جاسکتا ہے۔ طریقے کوڈ کی تعمیر ہم BB کوڈز کی رسمی تعریف سے شروع کرتے ہیں۔ فرض کریں کہ Iℓ اور Sℓ بالترتیب ℓ × ℓ سائز کی شناخت میٹرکس اور سائیکلک شفٹ میٹرکس ہیں۔ Sℓ کی i-th قطار میں j=i mod ℓ کے کالم میں ایک ہی غیر صفر اندراج ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر: میٹرکس پر غور کریں نوٹ کریں کہ xy = yx، xTx = yTy = Iℓm، اور xℓ = ym = Iℓm۔ ایک BB کوڈ کو میٹرکس کے جوڑے سے بیان کیا جاتا ہے جہاں ہر میٹرکس Ai اور Bj x یا y کی ایک طاقت ہے۔ یہاں اور آگے بائنری میٹرکس کے اضافے اور ضرب کو دو کے ماڈیولو پر کیا جاتا ہے، جب تک کہ دوسری صورت میں بیان نہ کیا جائے۔ اس طرح، ہم یہ بھی فرض کرتے ہیں کہ Ai الگ ہیں اور Bj الگ ہیں تاکہ شرائط کی منسوخی سے بچا جا سکے۔ مثال کے طور پر، A = x3 + y + y2 اور B = y3 + x + x2 کا انتخاب کیا جاسکتا ہے۔ نوٹ کریں کہ A اور B میں ہر قطار اور ہر کالم میں بالکل تین غیر صفر اندراجات ہیں۔ مزید برآں، AB = BA کیونکہ xy = yx۔ مندرجہ بالا ڈیٹا QC(A, B) کے ذریعہ BB کوانٹم کوڈ کو طول n = 2ℓm اور چیک میٹرکس کے ساتھ بیان کرتا ہے یہاں عمودی بار میٹرکس کو افقی طور پر اسٹیک کرنے کی نشاندہی کرتا ہے اور T میٹرکس کے ٹرانسپوز کو ظاہر کرتا ہے۔ دونوں میٹرکس HX اور HZ کا سائز (n/2) × n ہے۔ HX کی ہر قطار i
