Yazarlar: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Özet Fiziksel hataların birikmesi , , mevcut kuantum bilgisayarlarında büyük ölçekli algoritmaların yürütülmesini engellemektedir. Kuantum hata düzeltme , fiziksel hataların istenen bir hesaplamayı kabul edilebilir bir doğrulukla çalıştırmak için yeterince bastırılacağı şekilde, sayıda mantıksal kübitin daha büyük bir sayı olan sayıda fiziksel kübite kodlanmasıyla bir çözüm vaat eder. Kuantum hata düzeltme, fiziksel hata oranı, kuantum kodunun seçimine, sendrom ölçüm devresine ve kod çözme algoritmasına bağlı bir eşik değerinin altında olduğunda pratik olarak gerçekleştirilebilir hale gelir . Düşük yoğunluklu parite kontrol kodları ailesine dayanan hataya dayanıklı bellek uygulayan uçtan uca bir kuantum hata düzeltme protokolü sunuyoruz . Yaklaşımımız, standart devre tabanlı gürültü modeli için %0,7'lik bir hata eşiği elde eder, bu da 20 yıldır hata eşiği açısından önde gelen kod olan yüzey kodu ile eşdeğerdir , , , . Ailemizdeki uzunluk- kod için sendrom ölçüm döngüsü, CNOT kapıları, kübit başlatmaları ve ölçümleri içeren bir derinlik-8 devresiyle yardımcı kübit gerektirir. Gerekli kübit bağlantısı, iki kenar ayrık düzlem alt grafiklerinden oluşan bir derece-6 grafiktir. Özellikle, 0.1% fiziksel hata oranı varsayımıyla, toplam 288 fiziksel kübit kullanarak 12 mantıksal kübitin neredeyse 1 milyon sendrom döngüsü boyunca korunabileceğini gösteriyoruz; oysa yüzey kodu aynı performansı elde etmek için neredeyse 3.000 fiziksel kübit gerektirecektir. Bulgularımız, düşük maliyetli hataya dayanıklı kuantum belleğin gösterimlerini yakın vadeli kuantum işlemcilerin ulaşabileceği bir duruma getiriyor. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Ana Kuantum hesaplama, en iyi bilinen klasik algoritmalarla karşılaştırıldığında bir dizi hesaplama problemine asimptotik olarak daha hızlı çözümler sunma yeteneği nedeniyle dikkat çekti . Ölçeklenebilir bir kuantum bilgisayarın işlevsel hale gelmesinin, bilimsel keşif, malzeme araştırması, kimya ve ilaç tasarımı gibi alanlarda hesaplama problemlerini çözmeye yardımcı olabileceğine inanılıyor , , , . 5 11 12 13 14 Bir kuantum bilgisayar inşa etmenin önündeki ana engel, çeşitli gürültü kaynaklarının onu etkilemesi nedeniyle kuantum bilgisinin kırılganlığıdır. Bir kuantum bilgisayarını dış etkilerden izole etmek ve istenen bir hesaplamayı indüklemek için kontrol etmek birbiriyle çeliştiği için, gürültü kaçınılmaz görünüyor. Gürültü kaynakları arasında kübitlerdeki kusurlar, kullanılan malzemeler, kontrol aparatı, durum hazırlama ve ölçüm hataları ve yerel insan yapımı, örneğin başıboş elektromanyetik alanlardan, Evren'in kendilerine özgü, kozmik ışınlar gibi çeşitli dış faktörler yer alır. Bir özet için bkz. ref. . Gürültü kaynaklarının bazıları daha iyi kontrol ile elimine edilebilirken , malzemeler ve kalkanlama , , , diğer birçok kaynak, eğer mümkünse ortadan kaldırılması zor görünüyor. Son tür, yakalanmış iyonlarda rastgele ve uyarılmış emisyonu içerebilir , , ve süperiletken devrelerde banyo ile etkileşim (Purcell etkisi) —en önde gelen iki kuantum teknolojisini de kapsar. Böylece, hata düzeltme, işlevsel bir ölçeklenebilir kuantum bilgisayar inşa etmek için önemli bir gereklilik haline gelir. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 Kuantum hataya dayanıklılık olasılığı iyi kurulmuştur . Bir mantıksal kübitin çok sayıda fiziksel kübite fazlalıkla kodlanması, parite kontrol operatörlerinin sendromlarını tekrarlı olarak ölçerek hataları teşhis etmeyi ve düzeltmeyi mümkün kılar. Ancak, hata düzeltme yalnızca donanım hata oranının belirli bir eşik değerinin altında olması durumunda faydalıdır ve bu değer belirli bir hata düzeltme protokolüne bağlıdır. Birleştirilmiş kodlar gibi ilk kuantum hata düzeltme önerileri , , , hata bastırmanın teorik olasılığını göstermeye odaklandı. Kuantum hata düzeltme anlayışı ve kuantum teknolojilerinin yetenekleri olgunlaştıkça, odak pratik kuantum hata düzeltme protokolleri bulmaya kaydı. Bu, yaklaşık %1'e yakın bir hata eşiği, hızlı kod çözme algoritmaları ve iki boyutlu (2D) kare kafes kübit bağlantısına dayanan mevcut kuantum işlemcilerle uyumluluk sunan yüzey kodunun geliştirilmesine yol açtı , , , . Tek bir mantıksal kübite sahip yüzey kodunun küçük örnekleri zaten çeşitli gruplar tarafından deneysel olarak gösterilmiştir , , , , . Ancak, yüzey kodunu 100 veya daha fazla mantıksal kübite ölçeklendirmek, zayıf kodlama verimliliği nedeniyle yasaklayıcı derecede pahalı olacaktır. Bu, düşük yoğunluklu parite kontrol (LDPC) kodları olarak bilinen daha genel kuantum kodlarına olan ilgiyi artırdı . LDPC kodlarının incelenmesindeki son ilerlemeler, daha yüksek kodlama verimliliği ile kuantum hataya dayanıklılığı sağlayabileceklerini göstermektedir . Burada, amacımız hem verimli hem de kuantum hesaplama teknolojilerinin sınırlamaları göz önüne alındığında pratik olarak gösterilebilen kuantum hata düzeltme kodları ve protokolleri bulmak olduğu için LDPC kodlarının incelenmesine odaklanıyoruz. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 Kuantum hata düzeltme kodu, her kontrol operatörü yalnızca birkaç kübit üzerinde hareket ederse ve her kübit yalnızca birkaç kontrole katılırsa LDPC türündedir. Son zamanlarda hiperbolik yüzey kodları , , , hipergraf çarpımı , dengeli çarpım kodları , sonlu gruplara dayanan iki bloklu kodlar , , , ve kuantum Tanner kodları , dahil olmak üzere çeşitli LDPC kodları önerilmiştir. Sonuncuların, sabit bir kodlama oranı ve doğrusal mesafe (düzeltilebilir hata sayısını ölçen bir parametre) sunma anlamında asimptotik olarak 'iyi' olduğu gösterilmiştir , . Buna karşılık, yüzey kodunun asimptotik olarak sıfır kodlama oranı ve yalnızca karekök mesafesi vardır. Yüzey kodunu yüksek oranlı, yüksek mesafeli bir LDPC kodu ile değiştirmek, önemli pratik sonuçlar doğurabilir. Birincisi, hataya dayanıklılık maliyeti (fiziksel ve mantıksal kübit sayısı arasındaki oran) önemli ölçüde azaltılabilir. İkincisi, yüksek mesafeli kodlar, mantıksal hata oranında çok keskin bir düşüş gösterir: fiziksel hata olasılığı eşik değerini geçtiğinde, kodun elde ettiği hata bastırma miktarı, fiziksel hata oranının küçük bir azaltılmasıyla bile katlanarak artabilir. Bu özellik, yüksek mesafeli LDPC kodlarını, eşik rejimine yakın çalışan yakın vadeli gösterimler için cazip hale getirir. Ancak, daha önce bellek, kapı ve durum hazırlama ve ölçüm hatalarını içeren gerçekçi gürültü modelleri için yüzey kodunu geçmenin 10.000'den fazla fiziksel kübit ile çok büyük LDPC kodları gerektirebileceğine inanılıyordu . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Burada, düşük derinlikli bir sendrom ölçüm devresi, verimli bir kod çözme algoritması ve bireysel mantıksal kübitleri ele almak için hataya dayanıklı bir protokol ile donatılmış, birkaç yüz fiziksel kübitli yüksek oranlı LDPC kodlarının birkaç somut örneğini sunuyoruz. Bu kodlar, %0,7 civarında bir hata eşiği gösterir, eşik rejimi yakınında mükemmel performans sergiler ve yüzey koduyla karşılaştırıldığında kodlama maliyetinde 10 kat azalma sunar. Hata düzeltme protokollerimizi gerçekleştirmek için donanım gereksinimleri nispeten hafiftir, çünkü her fiziksel kübit, altı diğer kübitle iki kübitli kapılarla bağlanmıştır. Kübit bağlantı grafiği 2D bir kafese yerel olarak gömülemez olsa da, iki kenar ayrık düzlem alt grafiklerinden oluşan bir kalınlık-2 grafiğe ayrılabilir. Aşağıda tartıştığımız gibi, böyle bir kübit bağlantısı, süperiletken kübitlere dayanan mimariler için uygundur. Kodlarımız, MacKay ve ark. tarafından önerilen ve ref.'lerde daha derinlemesine incelenen bisiklet kodlarının bir genellemesidir . , , . Kodlarımızı, yöntemlerde ayrıntılı olarak belirtildiği gibi iki değişkenli polinomlara dayandığı için iki değişkenli bisiklet (BB) olarak adlandırıyoruz . Bunlar, Calderbank-Shor-Steane (CSS) türünde stabilizatör kodlarıdır , , Pauli X ve Z'den oluşan altı kübitlik bir kontrol (stabilizatör) operatörleri koleksiyonu ile tanımlanabilir. Üst düzeyde, bir BB kodu, iki boyutlu torik koduna benzer . Özellikle, bir BB kodunun fiziksel kübitleri, periyodik sınır koşulları olan iki boyutlu bir kafese yerleştirilebilir, böylece tüm kontrol operatörleri, kafesin yatay ve dikey kaymaları uygulanarak tek bir X ve Z kontrol çiftinden elde edilir. Ancak, torik kodunu tanımlayan plaket ve köşe stabilizatörlerinin aksine, BB kodlarının kontrol operatörleri geometrik olarak yerel değildir. Dahası, her kontrol dört kübit yerine altı kübit üzerinde etki eder. Kodu, her köşe ya bir veri kübitini ya da bir kontrol operatörünü temsil eden bir Tanner grafiği G ile tanımlayacağız. Bir kontrol köşesi i ve bir veri köşesi j, i'ninci kontrol operatörü j'inci veri kübiti üzerinde (X veya Z Pauli uygulayarak) etkili olursa bir kenar ile birbirine bağlanır. Örnek yüzey ve BB kodlarının Tanner grafikleri için bkz. Şekil 1a,b. Herhangi bir BB kodunun Tanner grafiği altı köşe derecesine ve ikiye eşit grafik kalınlığına sahiptir , yani iki kenar ayrık düzlem alt grafiğine ayrılabilir (Bkz. ). Kalınlık-2 kübit bağlantısı, mikrodalga rezonatörleri tarafından bağlanan süperiletken kübitler için çok uygundur. Örneğin, kuantum kübitlerini barındıran çipin üst ve alt tarafına iki düzlem kuplör katmanı ve bunların kontrol hatları eklenebilir ve iki taraf birleştirilebilir. 41 35 36 42 Yöntemler 43 44 7 29 Yöntemler , Karşılaştırma için bir yüzey kodunun Tanner grafiği. , Bir torusa yerleştirilmiş [] parametrelerine sahip bir BB kodunun Tanner grafiği. Tanner grafiğinin her kenarı bir veri ve bir kontrol köşesini bağlar. q(L) ve q(R) kayıtlarına karşılık gelen veri kübitleri mavi ve turuncu dairelerle gösterilir. Her köşe, dört kısa menzilli kenar (kuzey, güney, doğu ve batı yönlü) ve iki uzun menzilli kenar dahil olmak üzere altı bitişik kenara sahiptir. Kalabalığı önlemek için yalnızca birkaç uzun menzilli kenar gösterilmiştir. Kesikli ve düz kenarlar, Tanner grafiğini kapsayan iki düzlem alt grafiğini gösterir, bkz. . , Ref. 'ye göre X ve Z ölçümlerini genişletmek için bir Tanner grafiği taslağı, bir yüzey koduna eklenir. X ölçümüne karşılık gelen yardımcı, kuantum telekomünikasyonu ve bazı mantıksal birimler aracılığıyla tüm mantıksal kübitler için yükleme-depolama işlemleri sağlayarak bir yüzey koduna bağlanabilir. Bu genişletilmiş Tanner grafiği, A ve B kenarları aracılığıyla kalınlık-2 mimarisinde bir uygulamaya da sahiptir (bkz. ). a b Yöntemler c 50 Yöntemler [[n, k, d]] parametrelerine sahip bir BB kodu, d kod mesafesi sunan n veri kübitine kodlanmış k mantıksal kübiti kodlar, bu da herhangi bir mantıksal hatanın en az d veri kübitini kapsadığı anlamına gelir. n veri kübitini her biri n/2 boyutunda olan q(L) ve q(R) kayıtlarına ayırırız. Her kontrol, q(L)'den üç kübite ve q(R)'den üç kübite etki eder. Kod, hata sendromunu ölçmek için n yardımcı kontrol kübitine dayanır. n kontrol kübitini sırasıyla n/2 boyutunda q(X) ve q(Z) kayıtlarına ayırarak X ve Z tipli sendromları toplarız. Toplamda, kodlama 2n fiziksel kübite dayanır. Bu nedenle net kodlama oranı r = k/(2n)'dir. Örneğin, standart yüzey kodu mimarisi, d mesafeli bir kod için k=1 mantıksal kübiti n=d2 veri kübitine kodlar ve sendrom ölçümleri için n-1 kontrol kübiti kullanır. Net kodlama oranı r ≈ 1/(2d2)'dir, bu da, örneğin, fiziksel hataların eşik değerine yakın olması nedeniyle büyük bir kod mesafesi seçmeye zorlandıkça hızla pratik olmaktan çıkar. Buna karşılık, BB kodlarının kodlama oranı r ≫ 1/d2'dir, bkz. Tablo 1 kod örnekleri için. Bildiğimiz kadarıyla, Tablo 1'de gösterilen tüm kodlar yenidir. Mesafe-12 kodu [], büyük mesafe ve yüksek net kodlama oranı r = 1/24'ü birleştirdiği için yakın vadeli gösterimler için en umut verici olanı olabilir. Karşılaştırma için, mesafe-11 yüzey kodunun net kodlama oranı r = 1/241'dir. Aşağıda, mesafe-12 BB kodunun, mesafe-11 yüzey kodundan deneysel olarak ilgili hata oranları aralığında daha iyi performans gösterdiğini gösteriyoruz. Hataların birikmesini önlemek için hata sendromunu yeterince sık ölçebilmek gerekir. Bu, her kontrol operatörünün destekindeki veri kübitlerini ilgili yardımcı kübitle bir dizi CNOT kapısı ile bağlayan bir sendrom ölçüm devresi tarafından gerçekleştirilir. Ardından kontrol kübitleri ölçülerek hata sendromunun değeri ortaya çıkarılır. Sendrom ölçüm devresini uygulamak için geçen süre, derinliği ile orantılıdır: üst üste binmeyen CNOT'lardan oluşan kapı katmanlarının sayısı. Sendrom ölçüm devresi yürütülürken yeni hatalar oluşmaya devam ettiği için derinliği minimize edilmelidir. Bir BB kodunun tam sendrom ölçüm döngüsü Şekil 2'de gösterilmektedir. Sendrom döngüsü, kod uzunluğundan bağımsız olarak yalnızca yedi CNOT katmanı gerektirir. Kontrol kübitleri, sendrom döngüsünün başında ve sonunda başlatılır ve ölçülür (detaylar için bkz. ). Devre, altta yatan kodun döngüsel kaydırma simetrisine uyar. Yöntemler Yedi CNOT katmanına dayanan tam sendrom ölçümleri döngüsü. Devreye, her bir q(L) ve q(R) kaydından yalnızca bir veri kübitini dahil eden yerel bir görünüm sağlıyoruz. Devre, Tanner grafiğinin yatay ve dikey kaymaları altında simetriktir. Her veri kübit, üç X kontrolü ve üç Z kontrol kübitiyle CNOT'lar aracılığıyla bağlanır: daha fazla ayrıntı için bkz. . Yöntemler Tam hata düzeltme protokolü, Nc ≫ 1 sendrom ölçüm döngüsü gerçekleştirir ve ardından bir kod çözücü çağırır: girdisi ölçülen sendromlar ve çıktı veri kübitlerindeki nihai hatanın bir tahmini olan klasik bir algoritma. Hata düzeltme, tahmin edilen ve gerçek hata, kontrol operatörlerinin bir çarpımının modülünde çakışırsa başarılı olur. Bu durumda, iki hata, herhangi bir kodlanmış (mantıksal) durum üzerinde aynı eyleme sahiptir. Böylece, tahmin edilen hatanın tersini uygulamak veri kübitlerini orijinal mantıksal duruma döndürür. Aksi takdirde, tahmin edilen ve gerçek hata aşikar olmayan bir mantıksal operatörle farklılık gösterirse, hata düzeltme başarısız olur ve bir mantıksal hatayla sonuçlanır. Sayısal deneylerimiz, Panteleev ve Kalachev tarafından önerilen sıralı istatistik kod çözücülü (BP-OSD) inanış yayılımına dayanmaktadır . Orijinal çalışma , yalnızca bellek hataları olan oyuncak bir gürültü modeli bağlamında BP-OSD'yi tanımladı. Burada, BP-OSD'yi devre tabanlı gürültü modeline nasıl genişleteceğimizi gösteriyoruz, ayrıntılar için bkz. . Yaklaşımımız, ref. , , , yakından takip eder. 36 36 Ek Bilgiler 45 46 47 48 Sendrom ölçüm devresinin gürültülü bir versiyonu, boşta veri veya kontrol kübitlerindeki bellek hataları, hatalı CNOT kapıları, kübit başlatmaları ve ölçümleri gibi çeşitli türde hatalı işlemler içerebilir. Her işlem olasılık p ile bağımsız olarak başarısız olduğu devre tabanlı gürültü modelini dikkate alıyoruz. Mantıksal bir hata olasılığı pL, hata oranı p'ye, sendrom ölçüm devrelerinin ayrıntılarına ve kod çözme algoritmasına bağlıdır. Nc sendrom döngüsü gerçekleştirildikten sonra mantıksal hata olasılığını PL(Nc) olarak tanımlayalım. Mantıksal hata oranını pL = PL(Nc)/Nc olarak tanımlayalım. Gayri resmi olarak, pL, sendrom döngüsü başına mantıksal hata olasılığı olarak görülebilir. Yaygın uygulamayı takip ederek, d mesafeli bir kod için Nc = d seçiyoruz. Şekil 3, Tablo 1'deki kodların elde ettiği mantıksal hata oranını göstermektedir. Mantıksal hata oranı, p ≥ 10−3 için sayısal olarak hesaplanmış ve daha düşük hata oranlarına bir uyum formülü kullanılarak ekstrapole edilmiştir (bkz. ). Sözde eşik p0, pL(p) = kp denkleminin bir çözümü olarak tanımlanır. Burada kp, k kodlanmamış kübitten en az birinin hata yapması olasılığının bir tahminidir. BB kodları, Tablo 1'e bakınız, yüzey kodunun hata eşiğine neredeyse eşit olan ve yazarların bildiği tüm yüksek oranlı LDPC kodlarının eşiğini aşan yaklaşık %0,7'lik bir sözde eşik sunar. 10 Yöntemler , BB LDPC kodlarının küçük örnekleri için mantıksal ve fiziksel hata oranı. pL'nin sayısal bir tahmini (elmaslar), mesafe-d a
