```html Authors: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Özet Fiziksel hataların birikmesi , , mevcut kuantum bilgisayarlarında büyük ölçekli algoritmaların yürütülmesini engeller. Kuantum hata düzeltme , fiziksel hataların istenen bir hesaplamayı kabul edilebilir bir doğrulukla çalıştırmaya yetecek kadar bastırıldığı bir durumda, büyük bir fiziksel kübit sayısı üzerine mantıksal kübiti kodlayarak bir çözüm vaat eder. Kuantum hata düzeltme, fiziksel hata oranının kuantum kodu, sendrom ölçüm devresi ve kod çözme algoritmasının seçimine bağlı bir eşik değerinin altına düştüğünde pratik olarak gerçekleştirilebilir hale gelir . Düşük yoğunluklu parite kontrolü (LDPC) kodları ailesine dayanan hataya dayanıklı bellek uygulayan uçtan uca bir kuantum hata düzeltme protokolü sunuyoruz . Yaklaşımımız, standart devre tabanlı gürültü modeli için %0,7'lik bir hata eşiği elde eder, bu da hata eşiği açısından 20 yıldır önde gelen kod olan yüzey kodu , , , ile aynı seviyededir. Ailemizdeki uzunluk- bir kod için sendrom ölçüm döngüsü, CNOT kapıları, kübit başlatmaları ve ölçümlerinden oluşan 8 derinliğinde bir devre ve yardımcı kübit gerektirir. Gerekli kübit bağlantısı, iki kenar ayrık düzlemsel alt grafiklerden oluşan 6 dereceli bir grafiktir. Özellikle, fiziksel hata oranı %0,1 olduğunda, 288 fiziksel kübit kullanarak yaklaşık 1 milyon sendrom döngüsü için 12 mantıksal kübitin korunabileceğini gösteriyoruz, oysa yüzey kodu bu performansı elde etmek için neredeyse 3.000 fiziksel kübite ihtiyaç duyacaktır. Bulgularımız, yakın vadeli kuantum işlemcilerin erişebileceği bir mesafede, düşük maliyetli hataya dayanıklı bir kuantum bellek gösterimleri getiriyor. 1 2 3 4 n k 5 6 7 8 9 10 n n Ana Kuantum hesaplama, en iyi bilinen klasik algoritmalara göre asimptotik olarak daha hızlı çözümler sunma yeteneği nedeniyle dikkat çekmiştir . İşlevsel, ölçeklenebilir bir kuantum bilgisayarın bilimsel keşif, malzeme araştırması, kimya ve ilaç tasarımı gibi alanlarda hesaplama problemlerini çözmeye yardımcı olabileceğine inanılmaktadır , , , . 5 11 12 13 14 Bir kuantum bilgisayar inşa etmenin ana engeli, çeşitli gürültü kaynaklarından etkilenmesi nedeniyle kuantum bilgisinin kırılganlığıdır. Bir kuantum bilgisayarın dış etkilerden izole edilmesi ve istenen bir hesaplamayı indüklemek için kontrol edilmesi birbiriyle çeliştiği için, gürültü kaçınılmaz görünmektedir. Gürültü kaynakları arasında kübitlerdeki kusurlar, kullanılan malzemeler, kontrol cihazları, durum hazırlama ve ölçüm hataları ve yerel yapay olanlardan (manyetik alanlar gibi) evrensel olanlara (kozmik ışınlar gibi) kadar çeşitli dış faktörler bulunmaktadır. Bir özet için ref. adresine bakınız. . Gürültünün bazı kaynakları daha iyi kontrol , malzemeler ve kalkanlama , , ile ortadan kaldırılabilirken, diğer birkaç kaynak giderilmesi zor görünmektedir. Son tür, yakalanmış iyonlarda kendiliğinden ve uyarılmış emisyon , ve süperiletken devrelerde banyo ile etkileşim (Purcell etkisi) gibi en önde gelen iki kuantum teknolojisini kapsamaktadır. Bu nedenle, hata düzeltme, işlevsel ölçeklenebilir bir kuantum bilgisayar inşa etmek için temel bir gereklilik haline gelmektedir. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 Kuantum hataya dayanıklılık olasılığı iyi kurulmuştur . Bir mantıksal kübiti birçok fiziksel kübite yedekli olarak kodlamak, parite kontrol operatörlerinin sendromlarını tekrarlı olarak ölçerek hataları teşhis etmeyi ve düzeltmeyi mümkün kılar. Ancak, hata düzeltme yalnızca donanım hata oranı belirli bir eşik değerinin altındaysa faydalıdır ve bu değer belirli bir hata düzeltme protokolüne bağlıdır. Katlanmış kodlar , , gibi kuantum hata düzeltmesi için ilk teklifler, hata bastırmanın teorik olasılığını göstermeye odaklandı. Kuantum hata düzeltme anlayışı ve kuantum teknolojilerinin yetenekleri olgunlaştıkça, odak pratik kuantum hata düzeltme protokolleri bulmaya kaydı. Bu, %1'e yakın yüksek bir hata eşiği, hızlı kod çözme algoritmaları ve iki boyutlu (2D) kare kafes kübit bağlantısına dayanan mevcut kuantum işlemcilerle uyumluluk sunan yüzey kodunun , , , geliştirilmesine yol açtı. Tek bir mantıksal kübitli yüzey kodunun küçük örnekleri zaten birkaç grup tarafından deneysel olarak gösterilmiştir , , , , . Ancak, yüzey kodunu 100 veya daha fazla mantıksal kübite ölçeklendirmek, kötü kodlama verimliliği nedeniyle maliyetli olacaktır. Bu, düşük yoğunluklu parite kontrolü (LDPC) kodları olarak bilinen daha genel kuantum kodlarına ilgi uyandırdı. LDPC kodlarının incelenmesindeki son ilerlemeler, kuantum hataya dayanıklılığı çok daha yüksek bir kodlama verimliliği ile elde edebileceklerini göstermektedir . Burada, amacımız kuantum hesaplama teknolojilerinin sınırlamaları göz önüne alındığında hem verimli hem de pratik olarak gösterilebilen kuantum hata düzeltme kodları ve protokolleri bulmak olduğu için LDPC kodlarının incelenmesine odaklanıyoruz. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 Bir kuantum hata düzeltme kodu, her kontrol operatörünün yalnızca birkaç kübite etki ettiği ve her kübitin yalnızca birkaç kontrole katıldığı durumda LDPC türündedir. Hiperbolik yüzey kodları , , , hipergraf ürünü , dengeli ürün kodları , sonlu gruplara dayanan iki bloklu kodlar , , , ve kuantum Tanner kodları , dahil olmak üzere birkaç LDPC kodu varyantı son zamanlarda önerilmiştir. Sonuncusu, sabit bir kodlama oranı ve doğrusal mesafe sağlama anlamında asimptotik olarak "iyi" olduğu gösterilmiştir: düzeltilebilen hata sayısını ölçen bir parametre. Buna karşılık, yüzey kodunun asimptotik olarak sıfır kodlama oranı ve yalnızca karekök mesafesi vardır. Yüzey kodunun yüksek oranlı, yüksek mesafeli bir LDPC kodu ile değiştirilmesi önemli pratik sonuçlara yol açabilir. İlk olarak, hataya dayanıklılık aşırı yükü (fiziksel ve mantıksal kübit sayısı arasındaki oran) önemli ölçüde azaltılabilir. İkinci olarak, yüksek mesafeli kodlar, mantıksal hata oranında çok keskin bir azalma gösterir: fiziksel hata olasılığı eşik değerini geçtiğinde, kod tarafından elde edilen hata bastırma miktarı, fiziksel hata oranında küçük bir azalma ile bile kat kat artabilir. Bu özellik, yüksek mesafeli LDPC kodlarını, eşik rejimi yakınında çalışan kısa vadeli gösterimler için çekici kılar. Ancak daha önce, bellek, kapı ve durum hazırlama ve ölçüm hatalarını içeren gerçekçi gürültü modelleri için yüzey kodunu geçmenin 10.000'den fazla fiziksel kübit içeren çok büyük LDPC kodları gerektirebileceğine inanılıyordu . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 31 Burada, düşük derinlikli bir sendrom ölçüm devresi, verimli bir kod çözme algoritması ve bireysel mantıksal kübitleri ele almak için hataya dayanıklı bir protokol ile donatılmış birkaç yüz fiziksel kübite sahip yüksek oranlı LDPC kodlarının birkaç somut örneğini sunuyoruz. Bu kodlar %0,7'ye yakın bir hata eşiği gösterir, eşik rejimi yakınında mükemmel performans gösterir ve yüzey koduna kıyasla kodlama aşırı yükünde 10 kat azalma sağlar. Hata düzeltme protokollerimizi gerçekleştirmek için gereken donanım gereksinimleri nispeten hafiftir, çünkü her fiziksel kübit yalnızca altı başka kübitle iki kübit kapılarıyla bağlanmıştır. Kübit bağlantı grafiği 2B bir kafese yerel olarak yerleştirilemez olsa da, iki kenar ayrık düzlemsel alt grafiklerden oluşan 6 dereceli bir grafikten oluşabilir. Aşağıda tartışacağımız gibi, böyle bir kübit bağlantısı süperiletken kübitlere dayalı mimariler için uygundur. Kodlarımız, MacKay ve arkadaşları tarafından önerilen bisiklet kodlarının bir genellemesidir ve ref adreslerinde daha derinlemesine incelenmiştir. , , . Kodlarımıza bisikletli bisiklet (BB) adını verdik çünkü yöntemlerde ayrıntılı olarak açıklandığı gibi bisikletli polinomlara dayanmaktadırlar. . Bunlar, Pauli ve 'den oluşan altı kübitlik kontrol (stabilizatör) operatörleri koleksiyonuyla tanımlanabilen Calderbank–Shor–Steane (CSS) türü , stabilizatör kodlarıdır. Genel düzeyde, bir BB kodu, iki boyutlu torik kod benzer. Özellikle, bir BB kodunun fiziksel kübitleri periyodik sınır koşullarına sahip iki boyutlu bir kılavuz üzerine yerleştirilebilir, böylece tüm kontrol operatörleri, kılavuzun yatay ve dikey kaydırmaları uygulanarak tek bir ve kontrol çiftinden elde edilir. Ancak, torik kodu tanımlayan plaka ve köşe stabilizatörlerinin aksine, BB kodlarının kontrol operatörleri geometrik olarak yerel değildir. Dahası, her kontrol altı kübite etki eder, dördü yerine. Kodu, her köşe ya bir veri kübitini ya da bir kontrol operatörünü temsil eden bir Tanner grafiği ile tanımlayacağız. Bir kontrol köşesi ve bir veri köşesi arasında bir kenar varsa, bu . kontrol operatörü . veri kübitine (Pauli veya uygulayarak) etkili bir şekilde etki eder. Ayrıntılı Tanner grafikleri için Fig. adresine bakınız. Herhangi bir BB kodunun Tanner grafiği 6 köşe derecesine ve 2 kalınlığında grafik kalınlığına sahiptir, bu da onun iki kenar ayrık düzlemsel alt grafiklerin birleşimine ayrılabileceği anlamına gelir (Yöntemler bölümüne bakınız). Kalınlık-2 kübit bağlantısı, mikrodalga rezonatörleriyle bağlanan süperiletken kübitler için çok uygundur. Örneğin, kuplörlerin ve kontrol hatlarının iki düzlemsel katmanı, kübitlere ev sahipliği yapan çipin üst ve alt tarafına takılabilir ve iki taraf birbirine eşleştirilebilir. 41 35 36 42 Yöntemler X Z 43 44 7 X Z G i j i j X Z 1a,b 29 , Karşılaştırma için bir yüzey kodunun Tanner grafiği. , Bir torusa gömülü [[144, 12, 12]] parametrelerine sahip bir BB kodunun Tanner grafiği. Tanner grafiğinin herhangi bir kenarı bir veri ve bir kontrol köşesini birbirine bağlar. ( ) ve ( ) kayıtlarına karşılık gelen veri kübitleri mavi ve turuncu dairelerle gösterilmiştir. Her köşe dört kısa menzilli kenar (kuzey, güney, doğu ve batı yönünde) ve iki uzun menzilli kenar içeren altı bitişik kenara sahiptir. Kalabalığı önlemek için yalnızca birkaç uzun menzilli kenar gösterilmiştir. Kesikli ve düz kenarlar, Tanner grafiğini kapsayan iki düzlemsel alt grafiği gösterir, bkz. Yöntemler bölümü. . , Ref. 'ye göre ve ölçümlerini izleyen bir Tanner grafiği uzantısının taslağı, bir yüzey koduna eklenir. ölçümüne karşılık gelen yardımcı kübit, kuantum teleportasyonu ve bazı mantıksal uniteler aracılığıyla tüm mantıksal kübitler için yükleme-depolama işlemleri sağlayan bir yüzey koduna bağlanabilir. Bu genişletilmiş Tanner grafiği, ve kenarları aracılığıyla kalınlık-2 mimarisinde de bir uygulamaya sahiptir (Yöntemler bölümüne bakınız). . a b q L q R Yöntemler c 50 X Z X A B Yöntemler [[ , , ]] parametrelerine sahip bir BB kodu, mesafesi sunan veri kübitine mantıksal kübiti kodlar, bu da herhangi bir mantıksal hatanın en az veri kübitini kapsadığı anlamına gelir. veri kübitini her biri /2 boyutunda ( ) ve ( ) kayıtlarına ayırırız. Her kontrol, ( ) ve ( ) 'den üçer kübite etki eder. Kod, hata sendromunu ölçmek için yardımcı kontrol kübitine dayanır. kontrol kübitini her biri /2 boyutunda ( ) ve ( ) kayıtlarına ayırırız ve sırasıyla ve türlerinin sendromlarını toplarız. Toplamda, kodlama 2 fiziksel kübit gerektirir. Net kodlama oranı bu nedenle = /(2 )'dir. Örneğin, standart yüzey kodu mimarisi, mesafeli bir kod için = 1 mantıksal kübiti = 2 veri kübitine kodlar ve sendrom ölçümleri için − 1 kontrol kübiti kullanır. Net kodlama oranı ≈ 1/(2 2)'dir, bu da, örneğin, fiziksel hataların eşik değerine yakın olması nedeniyle büyük bir kod mesafesi seçilmeye zorlanıldığında hızla pratik olmaktan çıkar. Buna karşılık, BB kodlarının kodlama oranı ≫ 1/ 2'dir, kod örnekleri için Tablo 'e bakınız. Bildiğimiz kadarıyla, Tablo 'de gösterilen tüm kodlar yenidir. Mesafe-12 kodu [[144, 12, 12]], büyük mesafeyi ve yüksek net kodlama oranını = 1/24 birleştirdiği için kısa vadeli gösterimler için en umut verici olanıdır. Karşılaştırma için, mesafe-11 yüzey kodunun net kodlama oranı = 1/241'dir. Aşağıda, mesafe-12 BB kodunun, deneysel olarak ilgili hata oranları aralığında mesafe-11 yüzey kodundan daha iyi performans gösterdiğini gösteriyoruz. n k d d n k d n n q L q R q L q R n n n q X q Z X Z n r k n d k n d n r d r d 1 1 r r Hataların birikmesini önlemek için hata sendromunu yeterince sık ölçebilmek gerekir. Bu, her kontrol operatörünün verileriyle ilgili kübitleri ilgili yardımcı kübitle bir dizi CNOT kapısı ile birleştiren bir sendrom ölçüm devresi ile gerçekleştirilir. Ardından kontrol kübitleri ölçülerek hata sendromunun değeri ortaya çıkarılır. Sendrom ölçüm devresini uygulamak için geçen süre, derinliği ile orantılıdır: üst üste binmeyen CNOT katmanlarının sayısı. Sendrom ölçüm devresi uygulanırken yeni hatalar oluşmaya devam ettiği için, derinliği en aza indirilmelidir. Bir BB kodu için sendrom ölçümünün tam döngüsü Şekil 2'de gösterilmiştir. . Sendrom döngüsü, kod uzunluğundan bağımsız olarak yalnızca yedi CNOT katmanı gerektirir. Kontrol kübitleri, sendrom döngüsünün başında ve sonunda başlatılır ve ölçülür (ayrıntılar için Yöntemler bölümüne bakınız). . Devre, altta yatan kodun döngüsel kaydırma simetrisine saygı duyar. Şekil 2 Yöntemler Yedi CNOT katmanına dayanan tam sendrom ölçüm döngüsü. Devrenin yerel bir görünümünü sunuyoruz, bu da yalnızca her bir ( ) ve ( ) kaydından bir veri kübitini içerir. Devre, Tanner grafiğinin yatay ve dikey kaydırmaları altında simetriktir. Her veri kübiti, üç -kontrolü ve üç -kontrolü kübiti ile CNOT'lar aracılığıyla bağlanır: daha fazla ayrıntı için Yöntemler bölümüne bakınız. . q L q R X Z Yöntemler Tam hata düzeltme protokolü, c ≫ 1 sendrom ölçüm döngüsü gerçekleştirir ve ardından ölçülen sendromları girdi olarak alan ve veri kübitlerindeki nihai hata tahminini çıkaran bir klasik algoritma olan bir kod çözücü çağırır. Hata düzeltmesi, tahmin edilen ve gerçek hata, kontrol operatörlerinin bir çarpımına göre örtüşürse başarılı olur. Bu durumda, iki hata herhangi bir kodlanmış (mantıksal) durum üzerinde aynı eyleme sahiptir. Böylece, tahmin edilen hatanın tersini uygulamak veri kübitlerini başlangıçtaki mantıksal duruma geri döndürür. Aksi takdirde, tahmin edilen ve gerçek hata aşikar olmayan bir mantıksal operatör ile farklılık gösteriyorsa, hata düzeltmesi başarısız olur ve bir mantıksal hataya neden olur. Sayısal deneylerimiz, Panteleev ve Kalachev tarafından önerilen inanış yayılımı ile sıralı istatistik kod çözücüye (BP-OSD) dayanmaktadır. Orijinal çalışma BP-OSD'yi yalnızca bellek hatalarına sahip bir oyuncak gürültü modeli bağlamında tanımlamıştır. Burada, BP-OSD'yi devre tabanlı gürültü modeline nasıl genişleteceğimizi gösteriyoruz, ayrıntılar için Ek Bilgilere bakınız. . Yaklaşımımız ref adreslerini yakından takip etmektedir. , , , . N 36 36 Ek Bilgiler 45 46 47 48 Sendrom ölçüm devresinin gürültülü bir versiyonu, boşta duran veri veya kontrol kübitlerinde bellek hataları, hatalı CNOT kapıları, kübit başlatmaları ve ölçümleri gibi çeşitli türde hatalı işlemler içerebilir. Bağımsız olarak olasılıkla başarısız olan her işlemle, devre tabanlı gürültü modelini dikkate alıyoruz. Mantıksal bir hatanın olasılığı L hata oranı 'ye, sendrom ölçüm devrelerinin ayrıntılarına ve kod çözme algoritmasına bağlıdır. c sendrom döngüsü gerçekleştirildikten sonra mantıksal hata olasılığını L( c) olarak p 10 p p N P N
